341_3- Сборник задач по математике для втузов. В 4-х ч. Ч.3_ (ред) Ефимов А.В, Поспелов А.С_2002 -576с (987779), страница 64
Текст из файла (страница 64)
к/2 17.414../(у(, уг) = (у(уг — у(уг) с/х; у((0) = рг(0) = О, о у((11/2) = 1, У2(зг/2) = -1. 1 17.415.,/(У(, Уг) = (У(У2+ У11/2) г/х; У((0) = Уг(0) = О, 'о у((1) = е, уг(1) = 1/е. З б. Вариационное исчисление 447 1 17.416. 7(уг, уг) = (У1уо+ бху1+ 12х ут) г)х; у1(0) =уз(0) = о = О, у,(1) = у,(Ц = 1. з 17.417. У(у1, уо) = (ху1 + ут + хугуо) г]х; У1(1) = 1, ут(1) = 1 = ут(3) = О, у1(3) = !п 3+ 1.
17.418.,7(у1, ут) = (у', — у~а + 2угут+ 2У1 сов х+ 2ут) г[х, о у1(0) = — 1, уз(0) = уг(п) = О, 111(п) = 1 + и. 1 17.419.,7(у1, уз) = (у1 +уч +2уг)дх, у1(0) = ут(0) = 1, о у1(1) = 3/2, уэ(1) = 1. 3. Задачи с подвижными границами. В задачах вариационного исчисления с подвижными границами в отличие от ранее рассмотренных задач граничные условия на функцию у(х), х Е [а; Ь] на концах отрезка [а; Ь не зафиксированы. ростейшая задача вариационного исчисления с подвижными границами состоит в определении функции у(х) Е Сг[а; Ь] и точек хо, хг Е [а; Ь], хо < хг, для которых функционал гг ,у[у(х)] = г'(х, у, у~) сГх во (13) достигает слабого 'э) экстремума при условиях у(хо) = уо(хо) у(х1) = Фг(хг). (14) 12 ) Напомним, что слабым называется локальный экстремум в пространстве Сг [а1 Ь].
В задаче с подвижными границами нв кривой у (х) с абсциссами концов хо и х] функционал (13) достигает локального экстремума в С~ [о; Ь], если существует число е > О такое, что для всех кривых У(х) Е Сг[о; Ь] и точек хо и хм удовлетворяющих неравенствам ]]у* — у]]г < «, ]х„" — хо] < е, ]х[ — хг] < ж справедливо Г[у'(х)] <,у[у(х)) (локальный минимум) или у[у" (х)] ) .7[у(х)) (локальный максимум), (ЗдесыРо(х), сэг(х) Е Сг[а; Ь], г(х, У, «) — заданные фУнкцин и Е(х, у, «) имеет непрерывные частные производные до второго порядка включительно по всем аргументам.) 448 Гл. 17.
Методы оптимизации Эту задачу можно сформулировать и следующим образом. Пусть на плоскости заданы гладкие кривые 7)) у = Ро(х) и уг) у = »))(х). х б [а; Ь]. Требуется найти такую гладкую кривую у = у(х), которая соединяет какую-либо точку кривой 7) с какой-либо точкой кривой уг и доставляет слабый экстремум функционалу (13).
Приведем обобшение теоремы 1 для простейшей задачи варнационного исчисления с подвижными границами. Теорема 4. Для того чтобы функционал (13) достнгал на функции у(х) б С) [а; Ь] слабого экстремума при условиях (14), необходимо, чтобы эта функция удовлетворяла уравнению Эйлера Р— — Г» 0 г(х и условиям трансверсальности (15) Таким образом, для определения экстремалей в простейшей задаче г подвижными границами необходимо найти обшее решение у(х, С), Сг) уравнения Эйлера, после чего из условий (15) и уравнений у(хо, С), Сг) = 'Ро(хо), у(х), С), Сэ) = эо)(х)) (15) определить постоянные Сг и Сг и концы отрезка [хо, .х)].
Если на одном из концов искомой кривой у(х) задано обычное граничное условие (у(а) = уо или у(Ь) = у)), то условие трансверсальностн (15) следует записать только для другого конца кривой. Частным случаем задачи с подвижными границами является задача, в которой задана абсцисса одного из концов кривой у(х), например хг = Ь, но граничное условие для х = Ь отсутствует. Это означает, что граничная точка (Ь, у(Ь)) кривой у(х) может перемешаться по вертикальной прямой х = Ь, и вместо второго условия трансверсальности (15) следует записать естпесгпвенное граничное условие (17) Пример 7.
Найти экстремали функционала в следующей задаче г подвижными границами: я) 3)у)*)) = 1» ) +»' »*; »)* ) =* » 2, у),) = яО < Так как функция уг(х, у, у') = ~/1+ у)~ зависит только от у', то обшес решение уравнения Эйлера имеет вид у(х) = С) х + С . (18) З 6. 12ариацнонное исчисление 449 Запишем условия трансверсальности (15): т/1+ у'2+ (2х — у') /1+уз с ! Ф + у'2 + (1 - у') — —, 1+ у" Из (18) находим у'(хо) = у'(х1) = С1. Отсюда с учетом равенств (16) получаем систему четырех уравнений для определения С1, С2, хо и х1 „/1 + С2 + (2хо — С1 ) = О, ,/1+ С2 ь/Г+ С2 + (1 — С1 ) = О, /1+ С2 С1хо + С2 = хог + 2 С1х1 + С2 — — х1, решив которую, находим С1 = — 1, С2 — — 11/4,хо = 1/2, х1 — — 11/8.
11 Следовательно, уравнение экстрсмали имеет вид у(х) = — х + —, 1 11 ХО = -, Х1 = —. 2' 8 Отметим, что функционал /[у(х)] в данной задаче с подвижными границами представляет собой длину дуги кривой между точками (хо, у(хо)) и (х1, у(х1)), поэтому геометрический смысл этой задачи состоит в определении гладкой кривой минимальной длины, соединяюшей параболу у = х2 + 2 и прямую у = х.
Найденное решение позволлет определить расстояние л между уцазанныыи параболой и прямой: 11/8 Я = 1+ ( — 1)2 4/х = — = т/2. 7 8 1/2 Пример 8. Найти экстремали функционала в следующей задаче: ./[у(х)] = (у' — у )дх, у(О) = 1. о О В этой задаче отсутствует граничное условие при х = т/'4, следовательно, правый конец кривой у(х) может перемешаться по прямой х = и/4, и необходимо использовать естественное граничное условие (17) .
450 Гл. 17. Методы оптимизации Уравнение Эйлера имеет вид до+ у = О, а его общее решение у(х) = = С) совх+ Схсйпх. Из условия у(0) = С) —— 1 находится постоянная , ггрт, л гг С), а из условия (17) 2у' ~ — ) = — ейп — + Сз сов — = 0 — постоянная 'г4р' 4 4 С~ = 1, откуда у(х) = сов х + гбпх. > Найти зкстремали функционала в следуюгцих задачах с подвижными границами: х) 1Т.420.
У(у) = у' )1х; у(0) = О, у(х)) = -х) — 1. о хг 1Т.421. У(у) = у' г)х; у(0) = О, у(х)) = 1 — х) о хг гг.ргг. г)р) = ) р)г гр р" рх р)р) = р, р) ,) = — ,. 1 х) о хг гр.ргг. 3)р) = ) р)гррррхр(щ)= г,р( )= — 5. о цг 17.424. 7(у) = (у — у' ) дх; у(0) = О. о 1 17.425.,7(у) = (у' + д) р1х; д(1) = О. о х/2 17.426.,7(у) = (у' — у ) г1х; у(0) = О. о хг 1Т.427. У(у) = (у' + у ) дх; у(0) = О, у(х)) = 1. а ),/Г+ у' 17.428.,7(у) = / дх; у(0) = 1, у(хв) = х) — 1. у о х/4 17.429.,7(у) = (у' — у + 4усовх) сЬ; у(О) = О. о Э 6. Вариационнос исчисление 451 К задачам вариационного исчисления с подвижными границами относится и задачи Больна, состоящая в определении функции у(х) Е С1 [а; 5], доставляющей слабый экстремум функционалу д[у( )] = Р(х, у, у') дх+ у(у(а), у(У)), (19) где у(и, о) — заланная функция, имеющая непрерывные производные поиис. Необходимое условие экстремума функционала (19) формулируется следующим образом.
Теорема 5. Длл того тиобы убуикиионал (19) достигал на функиии у(х) Е С|[а; 5] слабого экстремуми, необходимо, чтобы зти 1буикиил удиилетаорлли уравнению Эйлера Р,— — Г =0 и ( ц и условиям трансвсрсальности для задачи Больна Ä— =О, Ги + — =0 (20) Условия (20) используются для определения постоянных С~ и Сэ из общего решения у(х, Сы Сг) уравнения Эйлера.
П р и м е р 9. Найти экстрсмали функционала д[у( )] = / Ь' — уг)д — ут(0)+ 2у( — ) о з Уравнение Эйлера уи + у = 0 имеет общее решение у (х) = Ся соя х + Сг я1п х, (21) Записав условия трансверсальности (20) [2у'+ 2у], о = 2[ — С~ я!пх+ С,соях+ С1 соях+ Стя1пх],=о = =2С~+2Сз =О, [2у' + 2],,у. — — 2[ — С1 яш х + Сг соя х + Ц, „уэ — — — 2С1 + 2 = О, находим С1 —— 1, Сг —— — 1. Таким образом, функция у(х) = соя хв — я1пх является единственной кривой возможного экстремума функционала й[у(х)] > Гл. 17.
Методы оптимизации 452 Найти экстремали следующих функционалов: 17.430.,У(у) = у' г(х + у~(0) — 2у~(1). о ! 17.431.,У(у) = (у' + у~) г)х — 2аЬ1у(1). о 17.432. У(у) = (у', + у~ — 4уэгпх) с(х+2у~(0)+2У(п) — у~(п). о з 17.433..У(у) = 4у' у~ йх + У4(0) — 8у(3). о е 17.434. У(у) = 2у'(ху'+ у) г(х+ Зу~(1) — у~(е) — 4у(е). ! ! 17.435.,У(у) = е*+!(у' + 2у~) ггх + 2у(1)(у(0) + 1). о 17.436.,У(у) = еду' г(х+ 4ев(~) + 32е в0). о хУ2 п~к.
зы = у ь' — и)а +~(о! — ~'(-) +ь(-). 2 2 о 4. Задачи на условный экстремум. Задачи вариационного исчисления, в которых на искомые функции накладываются, помимо граничных условий, дополнительныс ограничения, называются зада гами на условный экстремум. Рассмотрим следующую задачу об экстремуме функционала, зависящего от нескольких функций, ,У(уг(х), ..., У„(х))= У'(х, уг(х), ..., у„(х), у',(х), ..., у'„(х)) гух (22) к с граничными условиями уь(а) =у, уь(О) =у., 1=1, ...,гг, (23) при дополнительных ограничениях, заданных уравнениями связи Рг(х У!, ", У , У„ , У„) = О, ! = 1, ..., т, и! < я. (24) 2 6.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
