341_3- Сборник задач по математике для втузов. В 4-х ч. Ч.3_ (ред) Ефимов А.В, Поспелов А.С_2002 -576с (987779), страница 67
Текст из файла (страница 67)
— — — = 1, — + —. = 4. 11,19. з) 1юнические поверхности с х 2 ' х 2у2 вершинами в начале координат, направлпюшитш которых служат заданные замкнутыс кривые; б) тороидальные поверхности, образованные окружностями с центрами на прямой х = у = 2, лежащими в плоскостнт х+ у+ 2 = С, сеченилми которых служат заданные замкнутые кривые. 11.24. — = .
1123. —. 11.26.. 11.27. )6, ) 4 6), ). 11 26 2) ) — 2), ) . 1131.13)3. 11 32 4)63. 11 3314)3. 11.34. 1)) ) . 11.23. 6) 622 4 4 4 4 г. И .36. 1 = — 47 41. ди 1 .. 1 11.37. — = 2т/6, и = — (2! + 1 + 14), 11.38. — (2! + 31 — 214). дн т)76 т)'17 Ответы и указания 468 11.46.
хг — уг = С, хг — гг Сг 11.39. Р(З, 3, -3). 11.45. ху = С. 11.47. У=Сгх, г = Сг/х. з/5+ 3 11.49. 1п 11.48. т/2 + 1. 11.50. О. ь'"' 21 с +— г // — — + 1+— откуда ~ (а, Ыг) = Л 2 / 1+с+сг 2Л2 2С+ 1 2кЛ2 — агсс — с' т/3 т/З т/3 ' 11.77. 2каг. 11.78. 2т/2 — — аз. 11.79. 4гз/3. 11.80. -4п. 3/ 11 81 лгз/2 11 82 1 11 83 аз/6 11.84.
42са. 11.85 4НЛз/15 11.51. — аз 11 52 †((1 + 4з.г)з/г 1) 11 53 11 54 з а гзг 1 аз/ГО 15 3 т/2 9 9, й~~/3 11.55. — Ьгаз. 11.56. 2Ссхат/2а. 11.57. Ьпа . 11.58. 64 2 М2ПС 2 4 11.59' г з/г ' 11.60. огг. 11 61. -/Зг~. 11 62 т/3/360. 3 з ВСгаз 11.63. 2з/2п/3. 11.64. 4п, 11.65. -лаз 11 66 †(т/2 + 1) 4 15 11.67. —. 11.68. — (Зт/3 — 1). 11.69. — Сга . 11.70. — а~ь/а(зз/2— ла з/2 йка~ 27 з лСг 2 3 2 4 — !п(1+ з/2)). 11.71. — каЬ. 11.Т2. а) 2/3; б) 0,7; в) 0,7; г) 1; д) 1. 2 Лг 11.73.2пЛ2. 11.Т4.91/60. 11.75.222агЬ. 11.76. 2™ . < г = Л вЂ” х — у, ъ/3 хг + уг + (Л вЂ” х — у)г = Лг, или хг + ху + уг = Л(х + у).
Положим Л(1 + с) Л(с + сг) Л у = Сх. Тогда имеем: х = ~У= = Л— 1+ С+ С2' 1+ С+ Сг 1+ С+ С2' Лс г . Значению с = 0 соответствует точка А(Л, О, 0), значс1+с+сг ниим С = хоо — точка В(0, Л, О), значению С = — 1 — точка С(0, О, Л). Обходу в положительном направлении относительно оси 02 соответствует обход ВСАВ, т.е, изменение с от — оо через — 1 и 0 до +ос. Палее, Л(с' + 2с) Л(2с + 1) Л(с' — Ц дх (1 1 С+ С2)2 ' (1+ С+ С2)2 ' (1+ С+ С2)2 сс, су= й, гС2 й. Лг(1+ 2С + ЗС2 + 2Сз + Са) Лг й Получаем 2 ах+ хну+ у аз— (1+ с+ сг)з й= 1+ с + с2' Ответы и указания 469 11.86. тЛ4)2. 11.87.
пЛгН]З. 11.88. пЛСН]4, 11.89. хЛгНг)З. 11 90 пЛ478 11 91 О 11 92 пЛ4 11 93 ЛгН~З 11 94 О 11 95 х + + у+я. 11.96. — 2/(х+у+г)з!з 1197 14 11.98.8. 11.99.0. 11.100.0. 11.101. О. 11.103. аз, 11.104. 4пЛг. 11.105. — 2пЛз. Указание. Замкнуть поверхность, добавив основание параболического сеглсснта, и вычесть соответствУющУю смУ часть потока.
11.106. Если а = а л+ ав,С, то поток вектора а через дугу АН определится формулой (а, н) сСз = АВ а, сгх — ав сгу. Теорема Гаусса-Остроградского для плоского поля: АВ уз, )4 =у .су — „4.= с) ( — ' «)сус*. ь С сз / с" ссда, да„лс 11.107.)л ахсСх+а„сСу= ~( ~ — в — — *)с(хсСу (формула Грина). Укв,у/ [лдх ду) ь сС зание. Положить в предыдущей форлсулс (задвча 11.106) а, = ага а = — а . 11.108. —.
11.109.. 11.110. х(г — у )л + у(х — г )1+ г г 3 2 ссдС;С дРлс +з(уг — хг)1с 11 111 — — — 1с. 11.113. — 2у1+ 2х) — 2(Зх+ 2у)1с. ' [,дх ду) 11.114. О. 11.115. гас 44 = 2сп. Указание. Скорость 44 точки Р(г), вращающейся с угловой скоростью ы вокруг оси, проходящей через начало координат, равна [сп, г). 11.118. а) аг.
Указание. Перейти к параметрической форлсе, положив у = Сх; петле соответствует излсе- 3 аз бе 4 3 пение С от О до +со. б) -гг —. 11.119. -пЛз. 11.120. -пЛ4. 8 с'г 3 2 Лз 11.121. —. 11 122. сйсч(си) = (с, Вгас)и), сйт(аи) = ис)гка+(а, ВгасС44). 3 11.123. Вгас1(а, с) = [с, гоСа) + (с, лт)а, ВгасС(а, Ь) = [Ь, гоСа]+ + [а, гог, Ь) + (Ь, лу)а + (а, ч)Ъ. а Найдем предварительно [с, гоС а).
Имеем: [с, гоСа) = [с, [л', а)] = (а, с)З7 — (с, ч)а = С7(а, с) — (с, лу)а. Отсюда лт(а, с) = [с, гоС.а] + (с, лу)а, далее, Вгас) (а, Ь) = ~7(а, Ь) + + л(Ь, а) и используем предыдущий результат. С> 11.124. сССг [а, с] = = (с, гоС а), сССг[а, Ь) = (Ь, гаса) — (а, гоСЬ). 11.125. гоС(си) = [ВгасСи, с), гоС(аи) = игаса+ [ВгасСи, а], гоС[а, Ь] = (Ь, лг)а — (а,з7)Ь+ ас)СнЬ— — ЬсСьча. Указание.
См. решение примера 5. 11.126. с(Счбгаби = 470 Ответы и указания дги дги дги, д(йч а), д(сПн а) . = 17~и = — + — + —, бгас)йча= н(Ч, а) = г+ 1+ дхг д, г дгг ду + 1с, госгоса = [й, [и, а[[ = T(н, а) — нга = йгас1сПча — н а, д[с)И а) г . г, н ~а = зч ~а 3+ '5г~ичу + н ~а,)с. 11.127. бг = 6[х)+ У1+ г1с). 11.128. О. 11.129. 4г = 4(х) + уз + г)с). 11.130.
исйнрас) и + 2(бгас) п, рас! с) + + и сйн бгас) и. 11.131. 8гас! сйн [ис) = (с, зУ) рас1 и, бгад сПн (на) = ибгас)йна+йч абгас1и+ [бгас)и, гога)+(бгас)и, и')а+ (а, и) дгас1п. 11.132. госгос(ис) = (с, н) бга<1и — снги. 11.133. хзу — хуз + С. хгу уггг 11.134.
2 соэгхгбпгу+ з1п хсоэг у+С. 11.135. хуг — — + — +С. 2 2 х 11.136. — + — + — + С. Указание. За начальную точку А принять х у точку (1, 1, 1) или любую другую точку, нс лежащую на осях коорди- уг хз ху нат. 11.137. — + — — — + С. Указание. Сьь указание к прс- хг уг гг дыдущей задаче. 11.138. з Если бы во всюду непрсрывнолс потенцп- альном поле могли существовать замкнутые векторные линии, то циркуляция по такой линии не могла бы быть равной нулю, так как произведение (а, с)г) вдоль всей линии сохраняло бы постоянный знак, и поэтому ~(а, с1г) ф О. С 11.139. Особая точка 0[0, О), циклическая постоянная равна 2к. 11.140.
Указание. Взять два произвольных замкнутых контура, обходящих данную особую точку: АМА и ВМВ. Соединить точки М и сн отрезком прямой и к сложному контуру АМЫВуч'ЫА применить формулу Грина. 11.141. Указание. Использовать при определении потенциала пути, обходящие по нскольку раз и в различных направлениях особые точки. 11.147. Указание. Применить теорему Гаусса-Остроградского и учесть, что на боковой поверхности трубки (а, и) = О.
11.149. Увазание. Применить теорему Гаусса — Остроградского и учесть, что для гармонических функций 'нги = О. 11.150. Нет. 11.151. Нет. 11.152. Да. 11.153. Тольао при .4 + С = О. 11.154. Только если А + С = В + О = О. 11.155. Да. 11.156. Только при ам +агг+азз — — О. 11.157. Только если ам~+аьгг + + асзз = о11г + оггг + огзз = омз+ оггз + оззз = О. 11.158. Линии У вЂ” Уо г — га х — хо У з — го х: 1 О О ' О 1 О линии у: линии х — хо У вЂ” Уо — 11.159. Линии г; у = до, г = го (лучи, О 0 1 Ответы и указания 471 ди '! д ), дг т д„,» д»» ди 1ди ди 1 11.167.
— е„+ — — ее+ — е,. 11.168.— дг" гд!з д» ' ' 'т 1 !'д(тат) дат да, ! сс1 да- дат'! 11.169. — ~ — + — ~ + т — ). 11.170. ( -= — — ) е, + т <, дт дср д») ~,т д~р д» ) ссдат да,'! 1 с'д(га ) да„! ди 1ди + ~ —" — — 'т! е„, + — ~ — — ) е..
11.171. — е, + - — ед + 1 ди + — е„. 11.172., в!п 0 — т» — + — яп 0 — + гв!пддср ~' т»в!пВ ~ дг <, дг) дВ ~,' дВ) 1 д»и! г + —,— . 11.173. —, ~в!п — (г»ат)+г — (адв!пВ) + т — и). в!пВ дсз») ' ' ' т'в!п0 <, дт ' дВ дд ) 11.174. ~ — (а, в!пВ) — — ) е„+ — < —,—" — — (тае) ее + гяпВ 1,дВ д!з) " т 1,в!пВ др дт 1 с' д дат'! + — ~ — (гав) — — ) е„.
11.176. а) сдче =-, тосе„=О; б) й!чег = О, т ~дт дВ) ' -т 2 О. 11.177. а) йч е„= —, тосе„= 0; т с18 0 в) йче„= О, го!е„= — е,— т ес гоСег — — —, в) йче, = О, тосе, = г' с!80 ет б) йчед = —, гас ее = г т 1 — -ед. 11.178. а) и = Сс !и г+ С»! 'б) т и = Сс~р+ Ст, 'в) и = Сс» + С». исходящие из точек оси О», лежащие в горизонтальных плоскостях); линии ср: т = то, » = »о (окружности с центрами на оси О» радиуса то, лежащие в плоскостях» = »о); линии»: г = то, р = !оо (прямые, параллельные оси О»). 11.160.
Линии т: 0 = Во, ~р = ~ро (лучи, исходящие из начала координат); линии 0: г = то, ~р = до (полуокружности радиуса го с центром в начале координат, лежащие в полуплоскостях р = ро, проходящих через ось О», т.е. меридианы). Линии ух т = то, 0 = Во (окружности радиуса то япус с центром на оси О», лежащие в горизонтальных плоскостях, т.е, параллели). 11.161. с., = Ьч = Ь, = 1. 11.162. Х„ = Ь, = 1, У„, = г. 11.163. Ь, = 1, Ьд = г, Е„, = тяпу. 11.164. йв, = йх, йвч = с!у, йв.- = й»; йо, = = йуй», йоч — — йхй», йо, = йхйу; йо = йхйуй».
11.165. йв„= йт, йвг = тйх, йв, = й»; йо„= гйсрй», йо = йгй», йа, = тйгйсз; йв = тйгйрй». 11.166. йв„= йт, йвв = гйВ, йве = гв!пуйр; йа„= = т»в!пуйуйср, йств = тяпуй Щ йог = тйтйВ; йи = т»в!пВйтйуйр. Ответы и указания 472 11.179. а) и = — + Сг, б) и = Сг!пс8 — + Сг, в) и = С~~Р+ Сг. С В т 2 11180.и = тг в1п2гРсов2В, бгас(и = 2г в1п2~Рсов2Вет — Яп2РЯп2Вев + сов 2вг сов 2В +, ее, ~т~и = 2вш2Вг(1 — 2сг8~В). 11.181. и = г яп2~р+ япВ + гсов2гг, бгаг1и = (вягг2у+ сов2Вг)е„+ 2(гсов2р — вш2у)е~ + Зи + гвш2~ре., 17 и = — —. 11.182.
а = япде„, г)1ча = О, гога .г ' 1 = — (2совВе„— япдев). 11.183. а = гг(е„— е,), 65ха = 2в — г, т г гог,а = (т+ г)е„, 11.184. 8гас)и =,7'(г)е„= )'(т)-, вуги = у "(г) + т + . 11.185. ради = )'(г)е„= 1''(т)-, ~7ги = 1' (г) + —. 27" (т),, г г „У'(т) г г ди 1дГ д~Е 2дР 1 дгР сгбддР 11.186.8габи = — е„+- — ев, ~7ги — — +- — + — — +— дт " гдВ ' дт' т дт тг дВг гг дВ' дь дР дгР 1 дь дг с 11.187. 8габ и = — е„+ — е„хгги = —. + — — + —. дт " дг " дтг г дт дгг' Глава 12 1 23 1 11 3 бе — ег — 1 12.1. —. 12.2.
—. 12.3. —. 12.4. —. 12.5. — . Укв- 4 45 2 12 2 (Зе — 1)(З вЂ” е) и+ее зание. Использовать формулу Эйлера сов1и = . 12.6. 1+ С 2 12.19. Расходится. 12.20. Сходится. 12.21. Сходится. 12.22. Сходится. 12.23. Расходится. 12.24. Расходится. 12.25. Сходится. 12.26. Сходится. 12.27. Расходится. 12.28. Сходится. 12.29. Сходится. 12.30. Сходится. 12.31. Сходится. 12.32. Расходится. 12.33.
Сходится. 12.34. Сходится. 12.35. Расходится. 12.36. Сходится. 12.37. Сходится. 12.38. Сходится абсолютно. 12.39. Сходится абсолютно. 12.40. Сходится. 12.41. Расходится. 12.42. Расходится. 12.43. Сходится. 12.44. Сходится. 12.45. Сходится. 12.46. Сходится. 12.47. Сходится абсолютно.
12.48. Сходится абсолютно. 12.49. Сходится. 12.50. Расходится. 12.51. Расходится. Ответы и указания 473 12.52. Сходится. 12.53. Сходится. 12.54. Сходится. 12.55. Сходитсн. 12.56. Сходится. 12.57. Расходится. 12.58. Сходится. 12.59. Сходится. 12.60. Сходитгя. 12.61. Сходитсн. 12.62. Сходится. 12.63. Сходится. 12.64.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
