341_3- Сборник задач по математике для втузов. В 4-х ч. Ч.3_ (ред) Ефимов А.В, Поспелов А.С_2002 -576с (987779), страница 63
Текст из файла (страница 63)
Его общее Решение У(х) = — хз + Сгх + Сэ. Из условий у(0) = О, у(1) = 1 получаем систему уравнений для определения С1 исэ: р(о) =с, =о, д(1) = -1+ с, + с, == 1, откупа находим С1 — — 2, Сэ — — О. Следовательно, в рассматриваемой задаче существует единственная экстрсмаль у(х) = — хэ + 2х, г Решение задачи (б) существует не всегда, а если оно существует, то может быть не единственным.
Пример 2. Найти глалкие экстрсмали функционала .У[у(х)[ = у[ (2х — р)у Нх, 1 удовлетворяющие граничным условиям у(1) = 1, р(2) = 3. З Уравнение Эйлера имеет вид х — у = О. Так как функция р(х) = х условию у(2) = 3 не удовлетворяет, данная задача нс имеет решений. Пример 3. Найти гладкие экстремали функционала Л .7[у(х)] = ~ (у' — р~) Нх, о удовлетворяющие граничным условиям р(0) = 1, р(я) = — 1. Гл. 17. Методы оптимизация 440 17.384.,7(у) = (у' + у~ — 4уа)ах) г)х; у(0) = О, у(6) = уы о 17.385. Показать, что функционал (р(х)у'+ гу(х)у + гх)~)г1х, а где р(х) Е С~(а; 6], о(х), г(х) Е Со(а; 6), не имеет экстремумов.
Уравнение Эйлера (4) не всегда интегрируется в квадратурах, а в ряде случаев его решение может вызвать затруднения. Перечислим частные случаи, в которых решение уравнения Эйлера упрощается по сравнению с общим случаем. 1. Функция Г из (3) не зависит от у', т.с. Г = Г(х, у). Уравнение (4) в этом случае принимает вид Г„(х, у) = О. Это конечное (н( дифференциальное) уравнение, его решение не содержит произвольных постоянных и, следовательно, удовлетворяет условиям (2) только в исключительных случаях. 2.
Функция Г зависит только от у'. Г = Г(у'). Уравнение Эйлера принимает вид Гэ э у" = О, а его общее решение у(х) = С~х+С . Таки~ образом, в данном случае экстрсмалями функционала 7[у(х)] являются всевозможные прямые. 3. Функция Г не зависит от у, т. е, Г = Г(х, у'). Тогда уравнение (4) 8 записывается в виде — Г (х, у') = О, откуда получаем первый интеграл 4 д уравнения Эйлера Г„(х, у') = См т.с. дифференциальное уравнение первого порядка, решив которое, найдем экстремали функционала. 4. Функция Г нс зависит явно от х, т.е. Г = Г(у, у').
Уравнение Эйлера принимает вид Гэ — Г„„у' — Г„э д" = О или (послс умножения обеих частей этого равенства на у ) — (à — у Г ) = О, откуда получаем бх первый интеграл уравнения Эйлера à — у'Г„= Сн Это дифференциальное уравнение первого порядва можно пройнтсгрировать, разрешив его относительно у' и разделив перемснныс, или путем введения параметра. Найти экстремали следующих функционалов у(у), удовлетворякэщие указанным граничным условиям; 17.388, .У(у) = (2ев .— у ) дх; у(0) = 1, у(1) = е.
о 1 17.387. Л(у) = (е™ вЂ” у — е4пх) дх; у(0) = О, у(1) = — 1. о 2 6. !Уариационнос исчисление 441 17.388,,/(у) = у' г!х; 9(0) = О, 9(1) = 1. 0 1 Г,„/1+ !/2 17.389.,/(9) = /, г!х; у( — 1) = О, у(1) = 1. 1/ -1 3/2 17.390.,/(9) = (р' + 2х) г!х; 9(0) = О., р — = 1. ~,2/ о 1 17.391.,/(9) = (х!/'+ у' ) г!х; 9( — 1) = 1, 9(1) = О. — 1 2 17.392.,У(9) = х"у' г/х, и Е И, и ~ 1; 9(1) = 1 — и 1 21-и Р(2) =, (у — !/~ ) г!х; 9(0) = у(1) = О. о 1 Г 1/1/'г/х; у(0) = 1, у(1) = т/4. 0 л/2 (29 + у~ — р'~) г!х; у(0) = 9 ( — ) = О. 0 17.393..У(у) 17.394.,У(у) 17.395.,У(р) В ряде случаев существование абсолютного экстремума функционала (3) на множестве функпий (5) и сто характср (минпмум или максимум) бывают очевидны из фиаическпх или геометрических соображений.
В таких случаях необходимое условие экстрсл1ума, сформулированное в теореме 1, позволяет найти функцию у(х), дающую абсолютный минимум или максимум фушсционалу (3) на множестве (5). !! р им е р 4, Найти гладкую кривую на плоскости, соединяющую две данные точки И/о(а, А) и М~(6, В) и имеющую минимальную длину. 442 Гл. 17.
Методы оптимизации З Длина луги гладкой кривой, описываемой уравнением у = у(х) н проь ходящей через точки с абсцнссами а и Ь, равна 11 1+ у' дх. еэ а Поэтому данную задачу можно сформулировать следующим образом: найти функцию у(х), минимизирующую функционал (6) в удовлетворяющую условиям р(а) = А, у(Ь) = В. Уравнение Эйлера для этой задачи имеет вид у" (х) = О, откуда у = Сьх + Сэ.
Найдя Сь и Сэ из условий на функцию 9(х) при х = а и  — А х = Ь, получим р(х) = (х — а) + А, т. е. необходимое условие эксЬ вЂ” а тремума функционала (6) выполняется на прямой, соединяющей точки Мо и Мь. Из геометрических соображений лспо, что среди гладких кривых, соединяющих данные точки, кривая минимальной длины должна существовать, а кривая максимальной длины — нет. Поэтому упомянутая прямая и лвллется искомой кривой. (> 1Т.396. Материальнан точка перемешается вдоль плоской кривой У = 9(х), соединнющей точки Мо(а, А) и Мь(Ь, В) со скоростью о = йу'. Найти гладкую кривую, времл движения вдоль которой из точки Мо в точку М~ будет минимальным.
17.39Т. Решить задачу 17.396, если Мо = (О, 0), Мь — — (1, 1), о=х. 17.398. Среди гладких кривых, соединяющих точки Мо(0, 1) и Мь(1, 1), найти ту, котораа при вращении вокруг оси Ох образует поверхность наименьшей плошади. 17.399*". Задача о брахистохроне. Найти гладкую кривую, соединяюшую' точки Мо(0, 0) и М~(хы 9~), при скатывании вдоль которой под действием силы тнжести материальная точка, зафиксированная первоначально в точке Мо, переместится в точку М~ за минимальное время (трением и сопротивлением воздуха пренебречь).
2. Обобщения простейшей задачи вариационного исчисления. Ниже рассмотрены два обобщения простейшей задачи вариационного исчисления. Первым из них являетсл задача на экстремум функционала 1(у(х)], зависящего от производных высших порядков функции у(х): Э 6. Вариационное исчисление 443 где функция Г(х, у, ..., урй) имеет непрерывные частные производные вплоть до (н + 1)-го порядка по всем аргументам, а у(х) б С„1а; Ь]. Граничные условия в этой задаче имеют вид »У(о) = Уо У (о) = Уо У (ц) = Уо (8) У(Ь) = Уы У01Я = »д~ ~~, ..., 1»~"1(Ь) = »д»0'~. Приведем обобшеш»е теоремы 1 применительно к рассл»атриваеь»ой задаче.
Теорема 2. Дяя того чтобы функционал (7) достигал на функции у(х) е С„]а; Ь] локального экстремума, невыход»»мо, чтобы эта функция удовлеп»воряяа уравнению Эйлера -Пуассона дэ дп Р, — — Г, <1~ + —. Р оо — ° . + ( — 1) в — Е ео = О. (9) »1х и дха дхч Подобно случаю простейшей задачи вариационного исчисления, решения уравнения 19) (экстрсь»али функционала (7)), удовлетворяюшие 'граничць»га условиям (8), являются кривыми возможного абсолютного экстремума этого функционала на множестве С = 1»д(х) Е С„1о; Ь]]у(а) = уо, ", у~"~(о) = уо, у(Ь) = уы ." (и)]Ь) (в)) П р и м е р 5.
Найти экстремали функционала д]у(х)] = (120ху — ув) дх, о удовлетворяющие граничным условиям У(0) =У'(О) =О, У11) =1, У'(1) =б. З Запишеь! уравнение Зйлсра-Пуассона: У1»» = 120х. Его обшее реше- ние У(х) = х + С»х~ + Сгх~ + Сзх+ С». Отсюда с помощью гРанич- ных условий получаем систему уравнений для определения постоянных С1,, С».' С»=0, Сэ=О, С» + Сг + Сз + С» = 01 ЗС» + 2Сэ + Сз = 1, из которой находим С» = 1, Сг = — 1, Сэ = С» — — О. Поэтому экстремум функционала может достигаться на кривой у(х) = хь + хз — хг. С 444 Гл.
17. Методы оптимизации В задачах 17.400-17.411 найти все зкстремали функционала ,У(у), удовлетворяющие указанным граничным условиям: 1 17.400. У(у) = уи сЬ; у(0) = у(1) = у'(1) = О, у'(О) = 1. о 1 17.401.,У(у) = (48у — уи ) Ыт; у(0) = у'(0) = О, у(1) = 1, о у'(1) = 4. 1 17.402.,У(у) = (уп — 24ту))Ь; у(О) = у'(0) = О, у(1) = —, о д'(1) = 1. иУ2 И.4ОЗ.
~)1) = У аи — Р')И; Р)О) =Р'(О) = ~, Р(-) = —, о у'Я =О. ь 17.404.,У(у) = (уи + у' ) 11Х; д(0) = у'(0) = у(Ь) = у'(О) = О. о 1 17.405.,У(у) = е *уи Нх; у(0) = О, у'(0) = 1, у(1) = е, о у'(1) = 2е. 17.406.,У(у) = (т+ 1) уи гУж; у(0) = 1, у'(0) = — 1, у(1) о 1, 1 2'' 4 т/2 ~ыи.~)р)=у )~ й~ *)~*;иа)=~,р)о)=~(1) о =О,у'(-) =-1. З 6. Вариационное исчисление 445 1 17.408. 3(у) = уо' с1х; у(0) = у'(0) = уо(0) = О, у(1) о у'(1) = 4, уо(1) = 12. 1 17.409. Я(у) = (уо' — уо )Их; у(0) = уо(0) = О, у'(0) о у(1) = уо(1) = э)г 1, у'(1) = с)11. 17.410.,У(у) = (уо' — уо )Их; у(0) = у'(0) = уо(0) о у(к) = к, у'(к) = 2, уо(к) = О. 17.411. У(уг) = (уо' — у' ) гЕх; у(0) = у'(0) = уо(0) у() () ', () +. = О, = О, Другим обобщением простейшей задачи вариационного исчисления является задача об экстремуме функционала, зависящего от нескольких функций: д[уг(х), ..., у„(х)] = Е(х, уг(х).
.. у„(х), у[(х), ..., у„'(х))сЕх, (10) где функция Р(...) имеет непрерывные частные производные до второго порядка включительно по всем своим аргументам и уь(х) Е Сг[а; Ь], й = 1, ..., и. Граничные условия в этой задаче имеют вид ув(а) = у„, ув(Ь) = у,, й = 1, ..., и. (11) д Ä— — Р„=О Ь=1,... я.
(12) Теорема 1 для данного случая обобщается следуюгцим образом. Теорема 3. Для того гтобьг набор функций уг(х), ..., ун(х) Е Е Сг[а; Ь] досглаоллл слабый экстремум функционалу (10), необходимо, чтобы эти функция удоелспгеоряли системе диффене нци,альных ураенений Эйлера Гл. 17. Методы оптимизации Пример 6. Найти функции у1(х) и уз(х) Е С1(а, Ь], на которых мозвет достигаться экстремум функционала к/г ./(У1(х), рз(х)) = (у1 + уг + 2 — 2У1уз) Пх о прп граничных условиях рз(О) = угО) = О, у1(т/2) = уг(л/2) = 1.
0 Систез1а уравнений Эйлера илзеет вид у~з~+рг = О, р,,"+у, =О. Исключая из второго уравнения функцию уз = — у,, получим 1/1~ и, РΠ— у1 — — О. Общее решение этого уравнения имеет вид у1(х) = С(е* + + Сзе * + Сз соз х + Сз гйп х. Отсюда находим Уг(х) = — У" (х) = — Сзе* — Сге *+ Сз созх+ С1гйпх. Из граничных условий следует, что С1 = Сз = Сз = О, Сз = 1, ПОЭТОМУ р1(Х) = З1П Х, уг(Х) = 8!П Х. Ск В задачах 17412-17.419 найти функции у((х) и уг(х) Е С( [а; Ь], на которых может достигаться экстремум функционала /(у(, уг) при указанных граничных условиях: к/2 17.412../(У( Уг) = (У( +Уг +2р(уг)с(х; у((0) = уг(0) = о = О, у((зг/2) = 1, уг(зг/2) = — 1. ( 17.413.,/(у(, уг) = (у( + уг — 2У(уг) с/и; у((0) = уг(0) = О, о у((1) = зП1, уг(1) = — е!11.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
