341_3- Сборник задач по математике для втузов. В 4-х ч. Ч.3_ (ред) Ефимов А.В, Поспелов А.С_2002 -576с (987779), страница 62
Текст из файла (страница 62)
руб., Лг = З,,Х~(и) = 0,12и, Ут(и) = = 0,0012и~, Лз(и) = О,Зби — 0,0024ит, 17.358. Найти решение задачи 17.342, если М = 3, Я = 9. 17.359. Найти решение задачи 17.342 с произвольными исходными данными. 17.360. Найти решение задачи 17.343, если и (и) = си, с > О. 17.361. Найти решение задачи 16.343 при следующих исходных данных: и (и) = 0,1и~, А = 5, а = 4, М = 3. 17.362. Найти решение задачи 17.344, если и'(и) = си, с > О, Азо > 5 17.363. Найти решение задачи 17.344 при следующих исходныхданных: Г(и)=0,1и~,А=5 а=4,5=5,М=З. 17.364. Найти решение задачи 17.345 со следующими исходными данными: М = 4, Я = 200 тыс. руб, Уг(и) = О,Зи, .7т(и) = 0,4и, Х1(и) = 0,8и, Яи) = 0,5и.
17.365. Найти решение задачи 17.345 при следующих исходных данных: М = 3, Я = 120 тыс. руб., У1(и) = 0,4и, Яи) = = О,би. Выделение средств предприятиям происходит в количествах, кратных 20 тыс. руб., а функции,Х4(и) и,уз(и) заданы следующей таблицей: 434 Гл. 17. Методы оптимизации 17.366. Найти решение задачи 17.346 со следующими исходными данными: Р = 10, )з' = 4, а = О. Коэффициенты сгь и Д, Й = 1, ..., 4, представлены в таблице: Считать, что к концу рассматриваемого периода база должна быть освобождена от продукции.
17.367. Найти решение задачи 17.346 при следующих исходных данных: Р = 12, )1( = 4, а = 5. Значения коэффициентов ггь, )Уь, й = 1, ..., 4, приведены в условии задачи 17.366. Считать, что к концу рассматриваемого периода на базе должно остаться 4 т продукции. Используя результат решения задачи 17.349, решить задачи целочисленного линейного программирования 17.368-17.371 методом динамического программирования: 17.368. Р(н) = — 4и(г) — Зи(т) — ~ ппп, 4и(1) + и(э) < 10, 2и(~) + Зи(э) < 8, и00 и(-) >О и(') и(г) ЕЯ. 17.369.
Р(п) = -и(1) — и(э) -+ пнп, 2и(1) + Зи(э) < 5, и(1), и(~) > 0; и(~) и(э) ~ У. 17.370. Р(н) = — 9и(1) — 11и(э) -+ пнп, иО) <5 4и(1) + Зи(~) < 10, и(~) + 2и(~) < 8, и(') и(э) > 0; и(1), и(э) е Ж. 17.371. Р(п) = — и(1) — 2и(э) — Зи(з) — + пнп, би(1) + 4и(') + Зи(з) < 25, 5и(') + Зи(э) + 2и(з) < 15, и(~) >О; и(~) ЕЖ, Й=1,2,3.
17.372. Имеется 7 т сырья, пригодного для производства изделий трех видов. Для изготовления одного изделия каждого вида требуется соответственно 1, 2 и 3 т сырья. 3 6. Вариационное ис гигление 435 Расходы Уь (и) на производство и изделий й-го вида, гс = 1, 2, 3, приведены в таблице (значения,уь(0) характеризуют штраф выплачиваемый в случае, если изделие Й-го вида нс производится): Спланировать выпуск изделий так, чтобы затраты на их производство были минимальны.
17.373. Судно грузоподъемностью 10 т загрулгается контейнерами трех типов. Массы контейнеров различных типов и стоимости грузов в них составляют соответственно 860 кг, 720 кг, 600 кг и 516 руб., 360 руб., 240 руб. Найти количества контейнеров каждого типа, которые необходимо загрузить, чтобы стоимость грузов на судне была максимальной. 17.374. Имеется 9 однотипных станков, каждый из которых можно наладить на производство изделий одного из трех видов.
Зависимость количества изделий каждого вила, изготовленных за смену, от количества станков, занятых для их производства, приведена в таблице: Найти количество станков, которые необходимо использовать для изготовления изделий каждого вида, чтобы общее число произведенных изделий было максимальным. 3 6. Вариационно е исчисление 1. Предварительные сведения. Простейшая задача вариациаинага исчисления. Существует ряд прикладных задач оптимизации, в которых качество выбранного решения не удается охарактеризовать с помощью целевой функции. Числовой показатель качества в этих задачах зависит Гл. 17.
Методы оптимизации 436 от функции (а не от одной илн нескольких переменных), определить которую необходимо так, чтобы этот показатель принял минимальное или максимальное значение. Числовыми показателями в указанных задачах являются функциоиальь Определение. Если каждому элементу у = у(х) множества С из некоторого функционального пространства Х поставлено в соответствие определенное, число у, то говорят, что на множестве С С Х задан функционал .7(у) = — у[у(х)!. В качестве функциональных пространств Х в вариационном исчислении используются пространства С„[а; 6), которые определяютсн следующим образом.
Линейное нормированное пространство С„[а; 6), и = О, 1,..., состоит из функций у(х), имеющих на отрезке [а; 6] непрерывные производные УОО(х) до и-го порядка включительно "), с нормой [[у[[„= ~~ твх [у~ 1(х)[. ве(ы Ь! Расстояние р(уы уэ) между функциями (кривыми) уг(х) и уэ(х) в пространстве С„[а; Ь] определяется формулой я Р(уы уэ)п [[уг уз[[я ~ твх ]ус (х) уг (х)] я О 1 (в1 ОО вг(ы 6) в=о Пусть функция у*(х) й С„[а; Ь) и г > Π— произвольное число. Множество функций (кривых) у(х) б С„[а; 6), для которых выполняется неравенство Р(у ~ У)я < г~ называетсн г-окрестностью и-го порядка припой у" (х).
Говорят, что функционал 7[у(х)] достигает на кривой у*(х),локального или относительного минимума (максимума), если для всех у(х) из некоторой с-окрестности кривой у*(х) выполняется неравенство э'[у'(х)] < э'[у(х)] (,7[у'(х)) > э'[у(х)]). (1) Локальные минимумы и максимумы функционала,У[у(х)) называются его локальными экстремумами. Если (1) выполняется для всех кривых у(х), принадлежащих некоторому множеству С С С„[а; 6], то говорят, что на кривой у'(х) достигается абсолютный экстремум функционала 7[у(х)] на множестве С. Пусть функционал э'[у(х)] определен на множестве С с Сс[а; 6]. Функции у(х) б С можно рассматривать не только как элементы пространства Сс[а; Ь), но н как элементы Со[а; 6]. Локальный экстремум н ) Под производной у~~~(х) нулевого порядка здесь понимается сама функция у( ) 6.
Варяационное исчисление 437 у(а) = уо, у(6) = у„ (2) найти ту функцию, на которой достигается слабый экстремум функцио- нала д[у(х)] = Г(х, у, у') дх. а (3) Другими словами, простейшая задача вариационного исчисления состоит в отыскании на множестве всех гладких кривых, проходящих через точки Мо(а, уо) и ЛХ1(6, у1), той кривой, на которой функционал (3) достигает слабого экстремума.
При ре~цении простейшей задачи вариационного исчисления используется следующая теорема. Теорема 1. Для того чтобы функционал (3) достигал на функции у(х) б С1[а; 6] слабого экстремума, необходимо, чтобы эта функция удовлетворяла уравнению Эйлера (4) Решения (интегральные кривые) уравнения (4) называют экстремалями функционала (3). Уравнение (4) в развернутом виле записывается следующим образом: уо(х)Г„„+ у'(х)Ров + Г,„— Го — — О.
Если о'„„фО, то оно представляет собой обыкновенное дифференциальное уравйение второго порядка, поэтому его общее решение зависит от двух произвольных постоянных, которые находятся с помощью граничных условий (2). Отметим, что так как всякий сильный экстремум функционала является и слабым, то теорема 1 дает необходимое условие и сильного экстремума функционала (3). Кроме того, так как абсолютный экстремум функционала (3) на мно- жестве С = ((х) б С1[а; 6][у(а) = уо, у(6) = у1) (5) функционала д[у(х)] в пространстве Со[а; Ь] называется сильным, а в пространстве С| [а; Ь] — слабым локальным экстремумом. Всякий сильный экстремум функционала является и слабым, а обратное, вообще говоря, неверно. Отметим, что всякий абсолютный экстремум функционала д[у(х)] является сильным и слабым локальным экстремумом, но не всякий локальный экстремум будет абсолютным.
Сформулируем простейспую задачу вариационного исчисления. Пусть функция Р(х, у, г) имеет непрерывные частные производные' до второго порядка включительно по всем своим аргументам. Требуется среди всех функций у(х) б С1[а; 6], удовлетворяющих граничным усло- виям Гл. 17. Методы оптимизации 438 является и локальным экстремумом (сильным и слабылэ), то теорема 1 определяет необходимое условие абсолютного экстрсмулга функционала (3) на множестве (5).
Таким образом, решение краевой задачи à — — г' =О, ~(х р(а) = ро, р(5) = д1 позволяет найти все кривые возможного экстремума функционала (3) на множестве функций (5). Пример 1. Найти гладкие экстремали функционала ,У[у(х)[ = (у' — 12ху) дх, о удовлетворяющие граничным условиям у(0) = О, у(1) = 1. з В данном случае Г(х, у, у') = у' — 12хр, поэтому уравнение Эйлера(4) гз имеет вил Ув + бх = О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
