341_3- Сборник задач по математике для втузов. В 4-х ч. Ч.3_ (ред) Ефимов А.В, Поспелов А.С_2002 -576с (987779), страница 68
Текст из файла (страница 68)
Сходитсн. 12.65. Сходится. 12.66. Расходится. 12.6Т. Сходится. 12.68. Сходится. 12.69. Сходится. 12.ТО. Расходится. 12.Т1. Расходится. 12.72. Расходится. Указание. и„.ь,/и„> 1. 12.73. Сходится. 12.74. Сходится, 12.75. Расходится. 12.76. Сходится. 12.Т7. Расходится. 12.ТВ. Расходится. 12.79. Сходится.
12.80. Сходится. 12.81. Сходится. 12.82. Расходится. 12.83. Расходитсн. 12.84. Сходитсн абсолютно. 12.85. Расходится. 12.86. Сходится абсолютно. 12.87. Если р > 1, то ряд сходится при всех и, а если р < 1, то расходится. Если р = 1, то ряд сходится при о > 1 и расходится при а < 1. 12.88.
Если р > 1, то ряд сходится при любых а и !У, а если р < 1, то расходится. Если р = 1, то рял сходитсн при а > 1 и любых !у и расходитсн при а < 1. Если юе р = а = 1, то рял сходитсн при Д > 1 и расходится при ~3 < 1. 12.90. Сходится условно. 12.91. Сходится абсолютно. 12.92. Расходится. 12.93. Сходится абсолютно. 12.94. Расходится. 12.95. Сходится условно. 12.96. Сходится абсолютно. 12.9Т. Сходитсн абсолютно.
12.98. Сходится абсолютно при а > 1, условно— при 0 < а ( 1 и расходится при я < О. 12.99. Абсолютна сходится. 12.100. Условно сходится. 12.101. Абсолютно сходитсн при всех а б К. 12.102. Расходится. 12.103. Сходится условно. 12.104. Сходится абсолютно. 12.105. Сходится условно. Указание. Рассъютреть частичные суммы с номерами Вп, в которых сгруппировать члены с номерами 8!с+1 и 8!с + 5, Вй+ 2 и 8!с+ б, Вй + 3 и 81 + 7. Убедиться в существовании предела !!ш Яз„.
Лалее, как и при доказательстве признака Лейбница, 1 хп воспользоваться соотношением !пп — зш — = О. 12.106. Сходится я 4 условно. 12.10Т. Расходитсн. 12.108. Абсолютно сходится. 12.109. Расходится. 12.110. Расходитсн. Указание, Рассмотреть частичиыс суммы с четными номерами. 12.111. Сходится условно. 12.112. Сходится абсолютно. 12.113. Расходится. 12.114. У к а з а н и е.
Воспользоваться неравенством (а 5! < — ()а! + )Ь! ). 12.115. Сходится. з Оценим с„. 3 2 2 Ответы и указания 474 Имеем [1[ с„= ~ 1 1 — + У 1г Зв-вы ь=[-",]-гг 1 (сг . 2 — ь-ьг < 1 1 Аг Аг < — 2[1) Злы 1 Полученные слагаемые являются членами сходящихся рядов А1 у 1 и Аг ~~ — г. ~> в=1 ( 1)п -/се! 12.116. Сходится. Указание. Для оценки с„ г ~ (сг(п гс 1 1) ь=г " 1 воспользоваться разложением дроби на простейшие кг(п — к + 1) 1 1 /1 1 + [ — + и показать, что числа б„= = ( — 1)"+' — г — монотонно убывают по абсолютной величине. и+1 Гг ь=г 12.117. Расходится. У к а з а н и е.
Воспользоваться разложением дроби из 1 ~" 1 предыдущей задачи на простейшие и оценить члены д„= п+1с Йг ь=г 1 1 снизу. 12.118. Расходится. Указание, с„= ~ >— ~-~ lсь(п — /с+ 1) и при п > 2. 12.124. (О, +ос); абсолютно сходится при х 6 (1, +ос). 12.125. К; сходимость всюду абсолютная. 12.126. Расходится во всех точках. 12.127. КЦ вЂ” 3); сходимость всюду абсолютная. 12.128. (-со, — 1); сходимость всюду абсолютная. 12.129. ( — 1, — 1/2[ 0 (1/2, 1); сходится абсолютно при х 6 ( — 1, — 1/2) 0 (1/2, 1).
12.130. [О, +со) 0 (1ся[й = = — 1, — 2, ...); сходимость всюду абсолютная. 12.131. ( — 2, 2); сходимость всюду абсолютная. 12.132. (О, +ос); сходимость всюду абсолютная. 12.133. [1/е, е); сходится абсолютно при т Е (1/е, е). 12.134. [г — 2[ > 1.
12.135. [г+ Ц > 1. 12ЛЗ6. [з — 31[ > т/2. 12.137. Полуплоскость Ке з > О. 12.138. (г[ — я/4 < аг8 г < л/4 и Зя/4 < агбз < Ответы и з казакия 475 < 5х/4). 12.139. Рте«< О. 12.140. Вс«> 1. Указание. Сравнить вырааюнис (( — 1)"и -! с членом и " рида Дирихле. 12.141. 1щ«> О. У к а з а н и е. Воспользоваться тем, что дробно-линейная функция и = о««о = ем отображает верхнюю полуплогкость во внутренность еди— «о пичного круга.
12.142. («( > 1. Указание. При (а! > 1 функции и « ю = с'е отображает внешносп единичного круга ((«( > 1) на 1 — а« внутренность ((п~! < 1). 12.143. («/(1 — «)! < 1, т.с. Вс«< 1/2. Указание. См. задачу 11.190. 12.144. Сходитсн при х 6 (О, +со), равномерно сходптсн при т 6 (а, +со) длп ли~бого а > О. 12.145. Схо- дитсн прп х б ( — ю, — 3) 0 ( — 1, +ос), равномерно сходится при х б б ( — са, — 3 — б) 0 [ — 1, +со) для любого Б > О. 12.146. Равномерно сходится на всей оси.
12.147. Сходитсн на всей оси, кроме точек ж — 1, — 2, ... Сходится равномерно на множестве, получающемся из оси поглс удалении интервалов ( — бь — А, -9 + Б',), 9 6 И, где бь и б' сколь угодно ма.чы. 12.148. Во < О; сходимость всюду равномсрнап. 12.149.
(« — 1( < 1; сходимость всюду равномерная. 12.150. Сходится при Вс «> 1, равномерно сходится при Вс «> а > 1. 12.151. Сходитсн вне круга («+ 2! > 1, равномерно сходится вне любого круга («+ 2) > 00 г х > а > 1. 12.152. Указание. Вычислить Л„(х) (1 Е т«)ь Й=п-ь1 и показать, что Вщ Лв(х) = 1 ф Л„(0) = О. 12.155. Рнд сходитсп в .с — ~о области, состоящей пз внутренногти единичного круга («! < 1, точки « = 1 и внешности единичного круга («( > 1; рлд равномерно схо- дится в объединении замкнутого круга )«( < 1 — у и замкнутой внеш- ности круга ф > 1 + б длн любых 7, б > О. Сумма рида Л(«) 1/2 при («( > 1, — 1/2 при ф < 1, 12159.Указание.Воспользоватьслутвер- 0 при «=1.
ждснием задачи 12.158. 12.162. Если степенной ряд (1) сходитсн в точке « = «~ ~ «о, то он абсолютао сходится в круге (« — «о! < («~ — «о( и рав- номерно сходитсн в любом замкнутом круге )« — «о( < г < ( ~ — «о!. Если рнд (1) расходится в точке « = «о, то он расходится и вне круга (« — «о! > > («« — «о(. 12.163.
Указание. Для доказательства утверждений а) и б) воспользоватьсн теоремой Абели и теоремой Всйерштрасса, а для доказа- 476 Ответы н указания тельства утверждения в) — теоремой Абеля, утверждением задачи 12.188 —.Г1с4 —.. г— и учесть, что !пп ~! ' = !пп ~(!сл!. 12.164. Указание. Восполь« — ~ я+1 ни зоваться утверждением б) задачи 12.163. 12.165. Сходится абсолютно и равномерно в области )х — Ц < 2. 12.166. Сходится абсолютно и равномерно в области !г + 1! < 2. 12.167. Абсолютно сходится, если !г + 2! < 1; равномерно сходится, если !л + 2! < г < 1.
В точках х = — 3 и х = — 1 сходится условно. На отрезке — 3 < х < — 1 сходится равномерно. 12.168. Абсолютно сходится в области !г — 4! < 1/2; равномерно сходится в области )г — 4! < г < 1/2. В точке х = 9/12 сходится условно. в точке 7/2 расходится. На любом отрезке 7/2 < т < х < 9/2 сходится равномерно.
12.169. Сходится абсолютно в области !г-2! < 1/ь/2; равно- 1 мерно сходится в области !г — 2! < г < 1/~/2. В точках 2ж — расходится. ь/2 12.176. Сходится абсолютно в области !г — 3! < т/3; равномерно сходится в области (г — 3! < т < ь/3. В точках х = 3 ж ь/3 сходится условно, и на отрезке 3 — т/3 < х < 3+ ~/3 — равномерно. 12.171. Сходится абсолютно в области !е! < 3, равномерно сходится в области !х! < г < 3, в точк< х = -3 сходится условно, а в точке х = 3 расходится.
12.172. Сходится абсолютно в области !е! < 1, сходитсн равномерно в области !х! < г < 1, в точках х = ж1 расходится. 12.173. Сходится абсолютно в области )х + 1! < ь/2/3, сходится равномерно в области !е + 1! < г < т/2/3, охот/2 ь/2 дится условно в точке х = — 1 + — и расходится в точке х = -1 + — . 3 3 12.174. Сходится абсолютно в области )г! < 4, сходится равномерно в области !х! < т < 4, в точках х = ж4 расходнтсн. 12.175. Сходится абсолютно в области )х! < 1. Сходится равномерно в области (г! ( т < 1; расходится на окружности )г! = 1. 12.176. Сходитсл абсолютно в области (х! < 1; сходится равномерно в области )г! < г < 1; расходитсн на окружности (х! = 1.
12.177. Сходится абсолютно во всей плоскости, равномерно — в любой ограниченной области. 12.178. Сходится абсолютно в области )г — 1! < 8; сходится равномерно в области !г — 1! < т < 8; в точках х = — 7 и х = 9 расходится. 12.1Т9. Расходится во всех точках, кроме точки ео = 1. 12.180. Сходится абсолютно в области !х — 3! < т/3, сходится равномерно в области )г — 3! < г < х/3, в точках х = Зж ~/3 расходитсн. 12.181. Сходитсн абсолютно во всей плоскости, равномерно— 477 Ответы и указания в любой ограниченной области.
12.182. Сходится абсолютно в области )г — Ц < 1; сходится равномерно в области (з — Ц < т < 1; на окружности )з — 1! = 1 расходится. 12.183. Сходитсн абсолютно в области (з — 3! < 4; сходится равномерно в области )з — 3! ( т < 4; в точке х = 7 сходится условно, в точке х = — 1 расходитсл. На любом отрезке -1 < 1 < х < 7 сходитсн равномерно.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
