Баскаков С.И., Карташев В.Г., Лобов Г.Д. и др. Сборник задач по курсу Электродинамика и распространение радиоволн. Под ред. С.И.Баскакова (1981) (977987), страница 14
Текст из файла (страница 14)
7.1 Рис, 7.2 (рис. 7.1) и круглого (риа. 7.2) сечений, реже — волноводы более сложного сечения, например П-образные и Н-образные. В волноводах а идеально проводящими стенками и однородным заполнением могут распространяться волны электрического типа (Е), 74 у которых Н, = — О, а Е, Фь О (направление оси г совпадает а продольной. осью волновода), и волны магнитного типа (Н), у которых Е, = О, а Н,4ь О. Анализ волн в волноводах производят посредством решения уравнения Гельмгольца для составляющих Е, или Н, при равенстве нулю тангенциальной составляющей вектора электрического поля на стенках волновода 12).
Предположим, что волново4 заполнен диэлектриком с относительной диэлектрической проницаемостью е и магнитной проницаемостью и = 1. Каждый конкретный тип волны в волноводе может распростра няться в том случае, если ХД~з <Х„„, ' (7.1) где Х, — длина волны генератора; Х, — критическая длина волны, которая определяется размерами и формой поперечного сечения волновода.
Для волн типа Е„„, и Н „в прямоугольном волноводе 2 л е $/(из/а)~ + (и/Ц~ где а, Ь вЂ” размеры поперечного сечения волновода (см. рис. 7.1) Для волн типа Е „в круглом волноводе 1~ир 2п4Ф'авве (7.3) где а — радиус волновода; ч „— п-'й корень уравнения 1„, (х) = О. Для волн типа Н „в круглом волноведе Х„р = 2ла/р„,„, (7.4) где р „— п-й корень .уравнения .1' (х) = О. Значения корней ~ „и р„„приведены в Приложении 1. Фазовая скорость волны в волноводе определяется величиной продольного волнового числа: Ь=~ ф'е — д', (7.5) где. р = 2п/Х,; д = 2ЫЛ„„— попервчног волновое число.
Если выполняется условие (7.1), то р'е ~ д', значение Ь действительное и данный тип волны распространяется. Если условие (7.1) не выполняется, то р'г ~ д~, значением мнимое н данный тнп волны'затухает, не распространяясь. В этом случае формула (7.5) позволяет определить коэффициент' ослабления волны. Для нахождения фазовой скорости и длины волны в волноводе можно воспользоваться соотношением 2'"~в ®~офв (7.61 где $ — длина волны в волноводе. Из (7.6) получаем расчетные формулы для фазовой скорости, длины волнй и групповой акорости. Фазовая скорость е/Уе .Оф— '--.'(ю Длина волны в волноводе. Х у1/е е 1"-~В (7.7) (7.8) (7.10) Рис. 7Л ° Выражения для аоатавляющнх векторов напряженностей полей волн типа Н н прямоугольном волноводе записываются в виде Е = !вам — Н,сов — ~ з!п ~ — "~ е- 3ТЛ / лтпх-~ .
/ лау ~ еЬ Й = — гавр —" Н, в1п — "" сов — ""У е-Уе, (7.1 1) Е 0 ! Групповая скорость пер ~ . ° (7.9) ' '3/е ' е 'Хер где с — скорость света в свободном пространстве. Решая уравнения Гельмгольца, можно получить следующие выражения для составляющих векторов напряженностей электрического и магнитного полей волн типа Е в прямоугольном волноводе: Е = — 1' — Еев1п~ — ~сов~ — ~е- У уЬ е ~ / ~ .Ь,) Е,=Еев1п — в1п У- е-У", Н =уев — Е,в1п~ —.~ соз~ — ~е~~у, -Вг еаь ~ а ) ~ Ь / 39И /пвх 1 .
(жу1 Н = — 1вз — Еесов ~ — ~в1п~ — ~е— Заа ~ а / ~ Ь '~ Н,=О. Низшей, из волн влектрнческого типа является волна Е„. Картина, силовых линий поля волны Е„изображена на рис. 7.3. Й„=~ — Н,з1п — соз — У е — Р","- Н,=-Н~соз — ~ соз — У е-~"'. (7.11) Рис. 7,4 Наибольшее практическое значение имеет волна типа И,о в пря- моугольном волноводе. Составляющие векторов поля этой волны опи- сываются выражениями: Е„=О, Е =Е,з(п ( — ""1е-р*, Е,=О, Ь . где~ Н„= — — Е„з1п ~ —.~ е — ~Р ~, (7.12) 0%а Н„=О, . я Ео /яхье Й, =! — — соз ~ ~е — ~Р 0'Ра Составляющие векторов поля волны типа Е,„„ъ круглом волноводе имеют вид Е,= — 1' — Ео3т (дг)соз(тле — ~н .
й К Ее=~ — Еоl (у) з1п(т~р) е — ~Р И~к Е = Ео ~ Мд) соз (~®Р) е «»' Н, = — ! — ' тЕо 1т (яг) зш (т~р) е-'."*, Нф — —. — 1 ~' ЕоЯЯ (цг)соз(т<р) е-~'", Ы Н, =О. (7.13) Основным типом волны в прямоугольном волноводе при а.: Ь является вол~а Н„, для которой Х„р = 2п> ближайшими высшими типами — волны Й„, Н91, Н„., Картина силовых линий поля простейших, волн магнитного типа изображена на рис. 7.4, лп Я~~ и„ Рис. 7.6 Выражения для составляющих векторов поля волн типа Н „в круглом волноводе имеют вид Й„= у ~' тНс1 (р)з1п(иир)е — 1"*, фк Е = г' ~' Н, 1' (р') соз (т~р) е — ~"*, Ю Е,=О, Е = — ! — Но Ут (р') соз (т~р) е — ~', а Йр=1 — Н,Л фг) з1п(т<р) е — Р"*, лй у Н, = Нс 1,„(р') соз (т~р) е — и'*.
'(7.14) Основным типом волны в круглом волноводе, имеющим наибольшую критическую длину, является волна Н„; для которой Х„р —— . = 3,413а. Из других волн магйитного типа в круглом волноводе часто используют волну Н„, для которой Х„р = 1,640а. Картина силовых линий поля 'волн Х Фч типов Н„и Нс, изображена на рис. 7.6. а а Кроме прямоугольных и круглых золноводов в технике СВЧ Рис. ЧЛ используют волноводы П- и Н- образного сечения (рис. 7.7). Их особенность состоит в том, что при тех же габаритных размерах а и Ь они имеют ббльшую критическую длину волны основного типа, чем прямоугольные волноводы, в то время как критическая длина волны высших Финов изменяется мало.
Вследствие этого рабочий диапазон чаатот П- и Н-образных волноводов значительно шире по сравнению в прямоугольными; Анализ П- и Н-образных волноводов Низшей среди волн электрического типа в круглом волноводе яв. ляется волна Ер1, для которой Х„р — — 2,613а, ближайшим высшим типом — волна Е„. Картина силовйх линий поля волн типов Е, и Е„изображена на рис. 7,5. Еу~ Еп и и„ производят численными методами. Критическая длина волны основного типа Н,~ (7.15) где $ — фактор понижения критической частоты, зависящий от размеров выступа д и е. Значения $ для некоторых размеров валноводов приведены на рис.
7.8, а, б. Более подробные сведения о П- и Н=образных волноводах можно найти в 16Е 02 Характеристическим сопротивлением Я, волновода называется отношение поперечных составляющих векторов Е и Н. Для волн электрического типа (7.16) Для волн магнитного типа (7.17) где У, — характеристическое сопротивление плоской волны в свободном пространстве. Мощность, переносимую волной любого типа в волноводе, опреде. ляют интегрированием вектора Пойнтинга по поперечному сечению волновода: Подставляя ввражеиия для составляющих векторов поля (7.12), в (7.18), получим формулу для расчета мощности,.переносимой волной типа Н„в прямоугольном -волноводе: аь 1/1 — (х~)(2а)1~ (7.19) Ов где Е, — максимальная амплитуда напряженности электрического поля в волноводе.
Аналогично выводится формула для расчета мощйости, переносимой волной типа Н,~ в круглом волноводе: (7.20) Максимальная переносимая мощность в волноводе определяется максимально допустимой . (пробивной) напряженностью электрического поля в волноводе.
Для сухого воздуха при атмосферном давлении Е „= 30 кВ/см. Затухание волн в,волноводах зависит от потерь в металлических стенках и в материале, заполняющем волновод.' Результирующий коэффициент ослабления волны в волноводе равен сумме коэффициентов ослабления, вызванных потерями в металлических стенках и в диэлектрике: с~общ ~м+ с~д. Коэффициент ослабления вследствие потерь в металлических стен-' 'ках для любой волны в волноводе произвольного сечения дЯ]й.
1'а а„=- —,, (7.21) 1н [ай! ив ' где Яз = ф — поверхностное сопротивление металла; Н~— составляющая магнитного поля, тангенциальная к поверхности металла. Интеграл в числителе выражения (7.21) берут по контуру сечения волиоведа, интеграл в знаменателе — по его поперечному сечению. Подставляя соотношения для составляющих векторов поля в общее выражение (7.21), получим расчетные формулы для коэффициентов ослабления конкретных типов волн .в волноводах: .для волн типа Н~~ в прямоугольном волноводе для волн типа Н „ в прямоугольном волноводе (а > !) 1+ — — ' +1 — — х г,Ь (7.23) для волн типа Е „в прямоугольном волноводе 2И~ гР— + т~ М ~о Ь ! — — й~ — + ~и~ для волн типа Н „в круглом во,йноводе "~'-( —:.)' " (7.24) (7.25) для волн типа Е „в круглом волноводе Р8 ам— (7.26) Я~а !— Расчетные формулы (7.20), (7.21),' (7.23) — (7.26) получены в предположении, что волновод имеет воздушное заполнение. Если волновод заполнен диэлектриком, то в эти фоРмулы вместо Х, следует подставлять значение длины волны в диэлектрике АД/з.
Для расчета коэффициента ослабления за счет потерь в диэлектрике можно воспользоваться формулой (7.5), где вместо е следует подставить комплексную проницаемость диэлектрика е = а (1 — ! 1я Ь,). В результате получимад=1гп1ЯРа(1 —.11д б ) — ф. (7 27) При Условии тЯ бэ (~ 1 формула (7.27) может быть упрощена: Р~в$аб~ (7.28) или $ У.З.
ПРИМЕРЫ РЕШЕИИЯ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ 7.1. Какие типы волн могут распространяться в круглом волноводе диаметром 3 см, заполненном диэлектриком с' относительной проницаемостью з 3,27 Частота колебаний 10 ГГц. Р е ш е н и е. В 'данном волноводе могут распространяться лишь те типы волн, для которых выполняется условие Х ~ Хвр, где 3„ = = Хв/ф~е = с/(ДГе) — длина волны в однородном безграничном диэлектрике.
В нашем случае Х = 1,675 см. Критическая длина волны в круглом волноводе равна Йай,„„ для волн типа Е „ и 2па/р,,„„ для волн типа Н „. Следовательно, для распространяющихся типов волн должны выполняться условия ~юпв «оп/1~в, ров(оп/1~вы 2ппйв — — 5,627, которым удовлетворяют следующие типы волн: Е„, Е„, Е„, Ем, Н„Н„, Н„, Н„, Н„, Н„. 7.2. В прямоугольном волноводе сечением 4 Х 3 см распространяется волна типа Н„. Волновод заполнен пенополистиролом с диэлектрической проницаемостью е = 1,15. Частота колебаний 8 ГГц. Определить фазовую скорость и длину волны в волноводе.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
