А.А.Чекмарев - Начертательная геометрия и черчение. 476 стр., М.; ГИЦ Владос, 2002 (975500), страница 23
Текст из файла (страница 23)
Рассмотренные особенности характерных точек позволяют легко проверить правильность построения линии пересечения поверхностей, если она построена по произвольно выбранным 141 точкам. В данном случае десяти точек достаточно для проведения плавных проекций линии пересечения. При необходимости может быть построено любое количество промежуточных точек.
Проекция 1' низшей точки построена с помощью проекций параллели сферы. Проекция 2' высшей точки построена с помощью проекций окружности радиуса о'г?' на поверхности сферы, плоскость которой параллельна плоскости )г. Аналогичные построения остальных проекций точек линии пересечения ясны из чертежа.
Построенные точки соединяют плавной линией с учетом особенностей их положения и видимости. а Ь В чем заключается общий способ построения линии пересечения Р двух поверхностей? 2. Какие точки линии пересечения поверхностей называют характерными? 3. В каких случаях для построения линии пересечения одной поверхности другой рекомендуется применять вспомогательные секущие плоскости, параллельные плоскостям проекций? 4. В каких случаях возможно и целесообразно применять вспомогательные секущие сферы? 5. По каким линиям пересекаются между собой: а) цилиндрические поверхности, образующие которых параллельны между собой; б) конические поверхности с общей вершиной? 6. Какие линии пересечения получаются при взаимном пересечении двух поверхностей вращения, описанных вокруг общей для них сферы? 7. По каким линиям пересекаются между собой соосные поверхности вращения? Глава одиннадцолп ая АКСОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРОЕКЦИИ При изложении настоящего курса для наглядного изображения расположенных в пространстве относительно выбранных плоскостей проекций точек, линий, плоскостей, многогранников, сечений конической поверхности плоскостями использовались проекции, называемые аксонометрическими (от древнегреческого «аксон» вЂ” ось, «метрио» вЂ” измеряю) или аксонометрией (см.
рис. 1.22, 2.1, 3.2, 4.10, 7.3 и др.). Их часто используют для наглядного изображения конструкций приборов, машин на чертеже, особенно на начальных этапах конструирования. Способ аксонометрического проецирования состоит в том, что данная фигура вместе с осами прямоугольных координат, к которым она отнесена в пространстве, проецируется параллельно на некоторую плоскость, принятую за плоскость аксонометрических проекций (эту плоскость называют также картинной плоскостью).
При параллельном проецировании, если направление проецирования перпендикулярно к аксонометрической плоскости проекций, аксонометрическую проекцию называют прямоугольной, если направление проецирования не перпендикулярно к плоскости проекций, аксонометрическую проекцию называют косоугольной. В прямоугольной аксонометрической проекции оси присоединенных прямоугольных координат располагают непараллельно плоскости аксонометрических проекций. Применяемые в отечественной конструкторской документации аксонометрические проекции стандартизованы в ГОСТ 2.317 — 69. Рассмотрим обраюванне аксонометрической проекции на примере изображения параллелепипеда с квадратным основанием (рис.
11.1) путем последовательного преобразования его ортогональных проекций вместе с осями. При повороте параллелепи- из «« У« ««У« й Рис. ыл а) ым педа (рис. 11.1, а) с осями х и у вокруг оси г по стрелке А на 45' получаем его изображение (рис. 11.1, б) с повернутыми осями х, и у, и сохранившейся вертикальной осью в При повороте изображения на профильной проекции с осями ~, х7, у, по стрелке Б на угол 30' получаем изображение (рис.
11.1, в) с осями го хн у, расположенными под некоторыми углами к картинной плоскости Р(Р ). Параллельная проекция (рис. 11.1, г) по стрелке В на плоскости Р и является аксонометрической проекцией параллелепипеда с осями на плоскости Р.
Аксонометрическую плоскость при этом не обозначают (ею является плоскость бумаги). Проекции осей координат х„у„г, на плоскости аксонометрических проекций называют аксонометрическими осями (в дальнейшем индекс уь будет опускаться). При различном взаимном расположении осей координат в пространстве и плоскости аксонометрической проекции и при разных направлениях проецирования можно получить множество аксонометрических проекций, отличающихся друг от друга направлением аксонометрических осей и масштабами по ним. Это положение доказано теоремой К. Полысе, которы утверждает: три отрезка произвольной длины, лежшвие в одной плоскости и выходящие из одной точки под произвольными углами друг к друзу, представляют параллельную проекцию трех равных отрезков, отложенных на прямоугольных осях координат от начала.
Рассмотрим направление аксонометрических осей и масштабы по ним для направления проецирования, перпендикулярного аксонометрической плоскости проекций, т. е. для прямоугольной аксонометрической проекции. Коэффициент искажения. На рисунке 11.2 изображена пространственная система ортогональных координат Ох, Оу, Ог, единичные отрезки е на осях координат и их проекции в направлении Х на некоторую плоскость Р, являющуюся аксонометрической плоскостью проекций.
Проекции е„, е„е, отрезка е на соответствующих аксонометрических осях О,хм О,у„О,~, в общем случае не равны отрезку е и не равны между собой. Отрезки е„, е„е, являются единицами измерения по аксонометрическим осям — аксонометрическими единицами (аксонометрическими масштабами). Отношения — "=Й -~=т -~=л е„е е е е е называют коэффициентами искажения по аксонометрическим осям. В частном случае положение картинной плоскости можно выбрать таким, что аксонометрические единицы — отрезки е„, е„е, — будут все равны между собой или будет равна между собой пара этих отрезков. При е„= е„= е, (к =т =и) аксонометрическую проекцию называют изометрической; искажения по всем осям в ней одинаковы.
При равенстве аксонометрических единиц по двум осям, обычно при е„= е, ~ е, (к =л;с т), имеем диметрическую проекцию. Если е„~ е, ~ е„то проекцию называют триметрической. Картинная плоскость Р на рисунке 11.3 изображена так, что она пересекает все три координатные оси Ох, Оу, Ог в точках х, у, ~ соответственно. Рассмотрим прямоугольную аксонометрию. В этом случае отрезок 00, перпендикулярен плоскости Р. Отрезки О,х,-О,у, О.г. являются аксонометрическими проекциями отрезков Ох, Оу, 0~ и представляют собой катеты прямоугольных треугольников, гипотенузы которых— Рис. 11.3 Рис.
11.2 145 отрезки Ох, Оу, 0~. Обозначим углы между осями координат и их проекциями на плоскости Р через а, р, у. Тогда О.х О.г 0 г — =соз а; —" =соз 13; — 4- = соз у. Ох ' Оу ' О~ Эти опюшения являются коэффициентами искажения, т. е.
Й = соз а; т = соз р; и = соз у. Известно, что для отрезка 00,3 Р сумма квадратов направляющих косинусов равна единице: ссж' (и/2 — а) + соз' (я/2 — р) + соз' (я/2 — у) = 1. Отсюда зш'а + з1п'р + зш'у = 1 1 — соз'а + 1 — соз'В + 1 — соз'у = 1. Тогда соз'а + соз'13 + соз'у = 2 или /с' + т' + и' = 2, т. е.
сумма квадратов коэффициентов искажения равна 2. Изометрическая проекция. В изометрической проекции все коэффициенты равны между собой: ~ = т = и; )с2 + т' + и' = 2. Тогда 3/с'= 2, откуда /с = «(2/3 = 0,82. Следовательно, при построении изометрической проекции размеры предмета, откладываемые по аксонометрическим осям, умножают на 0,82.
Такой перерасчет размеров неудобен. Поэтому изометрическую проекцию для упрощения, как правило, выполняют без уменьшения размеров (искажения) по осям х, у, ~, т. е. используют приведенный коэффициент искажения, который принимают равным 1. Получаемое при этом изображение предмета в изометрической проекции имеет несколько боль- 146 шие размеры, чем в действительности. Увеличение в этом случае составляет 22% (выражается числом 1„22 = 1: 0,82).
Каждый отрезок, направленный по осям х, у, с или параллельно им, сохраняет свою величину. Расположение осей изометрической проекции показано на рисунке 11.4. На рисунках 11.5, а, 11.6, а показаны ортогональные, а на рисунках 11.5, б, 11,6, б — изометрические проекции точки А и отрезка АВ. Шестигранная призма в изометрии.
Построение шестигранной призмы по данному чертежу в системе ортогональных проекций (слева на рис. 11.7) приведено на рисунке 11.7. На изометрической оси с откладывают высоту Н, проводят линии, параллельные осям х и у. Отмечают на линии„параллельной оси х, положение точек 1 и 4. Для построения точки 2 определяют координаты этой точки на чертеже — х2 и у2 — и, откладывая эти координаты на аксонометрическом изображении, строят точку 2.
Таким же образом строят точки 3, 5 и б. Построение точки верхнего основания соединяют между собой, проводят ребро из точки 1 до пересечения с осью х, Х д у а) 1 б) Рис. 11.6 Рис. 11Л а) Рис, 11Л 147 1Л затем — ребра из точек 2, 3, б. Ребра нижнего основания проводят параллельно ребрам верхнего. Построение точки А, расположенной на боковой грани, по координатам х„(или у„) и г.„ очевидно из рисунка 11.7.
Диметрическая проекция. Коэффициенты искажения в диметрической проекции выбирают следующими: 1с=п; т=1/21с. Тогда 2/с'+ 1/4 7с2; /с = 1 8/9 = 0,94; т 0,47. В целях упрощения построений, как и в изометрических проекциях, приведенный коэффициент искажения по осям х и ~ принимают равным 1; по оси у коэффициент искажения равен 0,5. По осям х и ~ или параллельно им все размеры откладывают в натуральную величину, по оси у размеры уменьшают вдвое. Увеличение в этом случае со- ставляет 6% (выражается числом Рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
