Mоделирование процессов и систем в Matlab (966709), страница 44
Текст из файла (страница 44)
Объединение систем аррепд раса!Нй лепет ТеедЬас)г зтаг соппест Проектирование С06 (цг,б(цг фу (цгб Кайпап Урок б ь Исследование линейных стационарных систем 2з9 Создание и преобразование СГ1-моделей ~оздание и йреобразование П1-моделей 1.Т1-модели можно создавать в виде ЯЗ-, ТГ- и ХРК-объектов. Для этого исполь- зуются соответственно процелуры-конструкторы зз, г1 и грл. Создание 1.Т!-моде- ли рассмотрим на примере модели трехстепенного астатического гироскопа. Урав- нения движения такого гироскопа можно представить в следующем виде: а + Л6 =- п(р); 6- Ла =-1(1). (6.1) здесь п(1) и 1(г) — моменты сил, которые действуют на гироскоп по осям подвеса; а и 6 — углы поворота гироскопа в пространстве; Л вЂ” частота собственных (нутаци- онных) колебаний гироскопа.
%-модель Чтобы создать Ю-модель, необходимо, прежде всего, привести дифференциаль- ные уравнения движения динамической системы к виду Коши: | — - =Ах+Вп; ~Их у =Сх+1зп. (6.2) Здесь и — вектор входных переменных; у -- вектор выходных переменных; х —. вектор переменных состояния системы. Из этого следует, что перед формирова- нием ЗЯ-модели необходимо: О определить, какие величины будут задаваться как явные функции времени, то есть какие величины составят вектор и входных переменных; О определить, какие величины будут образовывать вектор у выходных переменных (то есть будут определяться путем решения системы заданных дифференциальных уравнений); О установить, какие величины будут составлять вектор х переменных состояния системы (их число должно совпадать с порядком системы заданных дифференциальных уравнений); О привести заданную систему дифференциальных уравнений, с помощью введенных переменных состояния, к нормальной форме Коши, то есть к системе дифференциальных уравнений первого порядка, разрешенных относительно производных.
(6.3) х =Д хз а х, =а; Будем полагать, что моменты сил являются авходамив гироскопа, а углы поворо- та гироскопа — евыходамим Тогда система агироскопа будет иметь два входа(п(~) и 1(г)) и два выхода (а и 6). В качестве переменных состояния примем выходные переменные и их первые производные по времени: мо Тогда уравнения гироскопа в форме Коши приобретут такой вид: Х, =Хз, хз =х„; «3 = -3«4+ и(г)' '1«4 =)схз+т(г) (6.4) Теперь нужно образовать матрицы А, В, С и Т) в соответствии с формой (6.2) представления системы в пространстве состояния.
В рассматриваемом случае в качестве выходного вектора у примем: У=(п,Щ', (6.5) а в качестве входного вектора — вектор моментов сил: в=[в(С),1(0)~ . (6.6) Если предположить, что 1«1 «2 хз «43 т (6.7) то значения указанных матриц должны быть такими: О 0 1 0 0 0 0 О 0 1 0 0 0 0 0 -Х' 1 0 0 О Х 0 0 1 (6.8) [о ~ о о~' [о о~' Введем зтн матрицы в командном окне МАТЮКАВ, принимая )с =-10: » 'самоса 10: » А Хегоа14.4); А11.3) = 1: А(2,4) 1: А(3,4) = -)авьла: А14.3) = )авоеа; » В аего»14,2): В13.1) "1; В(4.2) 1 В 0 0 0 О 1 0 О 1 » С »его»(2,2); С = Сотадтс) Ц) С) С 1 О О 0 А 0 0 0 0 0 1 О 0 0 1 0 0 -)0 О 10 0 Урок В ° Исследование линейных стационарных систем 2б1 Создание н преобразование (П- делей Теперь можно приступить к созданию 1.Т1-объекта по имени 6УК0, используя мо- дель в пространстве состояния: » 6)ОВзз = зз(А,В.С.О) с= х1 х2 хЗ х4 у) 1 О а О у2 О 1 О О Сопг)пиона-С(ее поае1 Как видно, модель сформирована правильно.
Можно начать некоторые ее преобра- зования. Прежде всего найдем передаточные функции созданной системы. Оче- видно, их должно быть четыре (у нас два выхода и два входа). Для этого приме- ним процедуру преобразования ОГ: » 6)Ийт Ст(6)йоаз) Тгапз(ег Гипс((оп Ггоз 1прис 1 со оисриг... з — 8.882 -016 Ф1: 5 3 + 100 5 10 У2 з"3» 100 з ггапз(ег Гипс11оп Ггащ»ориг 2 Со оиорит, -10 ()1: з"3 » 100 з з - 8.882е-016 Ф2: з"3 + 100 з а= х1 х1 0 х2 О хЗ О х4 О Ь = и1 и2 х1 0 0 х2 О О хЗ 1 О х4 О 1 о" и1 и2 у1 О .О у2 О 0 х2 хЗ х4 0 1 0 0 О 1 О О -10 О 10 0 мг Теперь преобразуем введенную 3$-модель в ХРК-модель, используя для этого процедуру арх: //2 5(52 +100) Ввиду того, что первая ББ-модель (6/дОьа) была создана непосредственно процедурой-конструктором по заданным числовым данным, а последующие модели (Отй011 и бугоар) -- путем преобразования уже готовой модели, будем называть модель, созданную конструктором, основной, а остальные — вспомогательными.
Отметим, что ББ-модель в МАТ1.АВ можно создать и на основе системы дифференциальных уравнений первого порядка, не разрешенных относительно производных, то есть когда система описывается совокупностью уравнений вида: Š— = Ах+Вп; с о(х тй' у =Сх+1ап, (6.9) где Š—. произвольная квадратная матрица размером пхп, а и — порядок заданной системы дифференциальных уравнений. Для этого следует использовать уже не конструктор зз, а специальную процедуру 0зз, отличие которой от предыдущей состоит лишь в том, что она требует указания не четырех, а пяти матриц, причем последней должна быть матрица Е.
В качестве примера рассмотрим уравнения того же гироскопа в виде < .)'т ст + Н() = А/(2); ЛО-На = Т(г). (6.10) Вводя те же переменные (см. (6.3), (6.5), (6.6), (6.7)), получим систему уравне- ний, соответствующую (6.9), где матрицы А и Е будут иметь вид: (6.11) » 6%0гр = грй(6тдваа) 2ето/ро1е/0а!и /топ торо( 1 (о оотг(.. (/1: а (а"2 е 100) 10 (/2: Б (5 2 + 100) /его/ро1е/0ыо (тса теро( 2 (о оо(ро(..
-10 Ф1: Б (5"2 + Г00) 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 Н Урок б ° Исследоааниелинейных стационарных систеи 0 1 0 0 01) О 1 О О ~ Н 'ОООО! О О О О ЛЗ 243 Создание и преобразование ЕП-моделей Остальные матрицы — В, С и ):) — будут прежними (6.8). Введем новые матрицы при таких значениях параметрож Н = 10,,Д = 2„./~ = 3.
»Н 10: 31 2: 32=3: » А зегоз(4): Я(1.3) 1: А(2.4) 1; А(3,4) -Н: А(4,3) = Н Я- 0 0 1 0 О 0 О 1 0 0 0 -10 О О 10 О » Е еуе(4): Е(3.3) 31; Е(4,4) 2 Е- 1 0 0 О 0 1 0 О О О 7 0 0 О 0 3 Теперь зададим ББ-модель, пользуясь процедурой бзз: » Оугозз Озз(Я.Н.С.О,Е) ах1 х2 хЗ х4 х1 0 0 1 О х2 0 О 0 1 хЗ 0 О 0 -10 х4 0 0 10 0 Ь- и1 02 х1 0 0 х2 0 0 хЗ 1 О х4 О 1 сх) х2 хЗ х4 у1 1 О 0 0 у2 0 ) 0 О 0 01 о2 у1 О 0 у2 0 0 ех1 х2 хЗ х4 х1 1 О 0 0 х2 0 1 0 0 хЗ 0 0 2 О х4 0 0 О 3 соп(1пиооз-т1ае лют). соп11пиооз-11ае зузтеи Урок 6 ° Исследование линейных стационарных систеи .Ф Как и ранее, создадим на этой основе вспомогательные ТГ- и ЯРК-модели: » бугсят Ст(бусова) Тгапстег топс11оп тгое 1прот 1 Со оотрос 0.5 в — 1.Пе-016 (/1 в"3 + 16.67 т 1.667 (/2 с"3 + 16.67 с Тгапттег типс11оп тгсо 1прот 2 Со петры ..
-1.667 Ф) с"3 + 16.67 с 0.3333 с + 1.48е-016 Ф2 с"3 + 16.67 в ъ цугоар ерх(бугаев) тего/ро)е/ратп тгат !прот 1 то оотрит... 0,6 5 41 в(в"2 . ~ 16.67) 1.6667 в2 т(в"2 + !6.67) 2его/ро1е/ра)п тгап (про( 2 со оотрос.. -1.6667 Ф1: 5(5 2 е 16.67) 0.33333 т (12 вЬ"2 + 16.67) ТГ-модель В предыдущих примерах за основу была принята ББ-модель. Но в качестве основной можно выбрать и любую из двух других моделей. Примем, к примеру, в качестве основной модель в передаточных функциях, Система, описываемая уравнениями 16.
т 0)„если принять те же, что и ранее, входные и выходные величины, имеет четыре передаточных функции, которые образуют матрицу передаточных функций размером 2х2, Каждый из столбцов этой матрицы содержит передаточные функции, соответствующие некоторой входной величине по всем выходным величинам. Определенная строка матрицы, наоборот, содержит передаточные функции какой-то одной выходной величины по всем входам системы.
В целом матрица передаточных функций в рассматриваемом случае может быть представлена в следующем виде: 1®/т ) ~И/и (л) и/тг(з)1 РЪ(з) и/га(л)~ Создание и преобразование ЕТ1-моделей В соответствии с уравнениями (6 10) значения элементов этой матрицы такие: .зг Н %)(5) = г Л.)г5 +Н 5О~)25 +Н ) л ))г)(5) — г г ' гггг(5) = — — — — — — — —. 5();„)25 +Н ) /,.125 +Н (6.12) затем — вектор дополнительного множителя в некоторых знаменателях: У = 11,0]. Далее создадим вектор коэффициентов второго знаменателя путем свертки двух векторов (это соответствует перемножению полиномов): У,„г = сопч(У,м, У).
Сформируем массив оеп ячеек знаменателей по следующей схеме: )ог )г1 = 1 4 Гоггг =12 Оеп1ч1,22) = 1чгп)): епп епп Оеп11,2) ° 1Чгпгй Оеп12,1) = (Чгпг). Переходя к определению массива ячеек пои числителя, можно записать его таким образом: пов)=(02, -Н; Н, Л). Теперь можно сформировать ТР-модель, используя установленные матрицы яче- ек числителей и знаменателей: » Чгп1 = СЛ»)2,0,Н"23 Чгп1 6 0 100 »Ч 11. 03 Ч" 1 0 » Чт2 сопч(Чгп1,Ч) Чгп2 = б 0 100 0 » 1ог К1 1:2 гог К2 = 1:2 Оеп121,22) - 1Чгп)); Чтобы ввести эти передаточные функции и создать на их основе Тг -модель, нужно вначале создать два массива ячеек — массив ячеек размером 2х2 из векторов коэффициентов всех числителей передаточных функций и массив ячеек такого же размера из векторов коэффициентов знаменателей передаточных функций.
Для рассматриваемого случая это можно сделать следующим образом. Сначала создадим вектор коэффициентов общей части знаменателей: У-1 =1Л Л,О,Н ] 246 Урок 6 ° Исследование линейных стационарных систеи епб епб » беп11,2) (тап2)т беп12.1) - (тхп2) беп = ПхЗ бооб)е) 11»4 бопЫе) 11»4 бооЫе) ПхЗ бооЫе) » поа (32,-Н:Н.Л) поа- 1 3) 1-101 1101 1 2) » 0)поте СГ1поа.беп) тгап»тег Гопсыоп тгои тпэот 1 10 оотэпп . 3 61: б в"2 + 100 10 62; б »"3 » 100 » Тгапвтег тнпсстоп ггоа !проб 2 со оосрос ..
-10 61; б в"3+ 100» 2 62: б в"2 + 100 Преобразование моделей Часто возникает необходимость перехода от одной формы представления ЛСС к другой. Это можно сделать с помощью специальных функц)пт. При преобразованиях 1.Т1-модели нужно учитывать следующее. О Три формы представления 1.Т1-объектов не являются эквивалентными при численных расчетах; в частности, точность вычислений с передаточными функциями высокого порядка часто недостаточна; старайтесь работать по преимуществу со сбалансированными моделями пространства состояния и использовать передаточные функции только для отображения на экране или для интерпретации (расшифровки) результатов.
О Преобразование в формат передаточных функций может сопровождаться потерямн точности; в результате полюсы передаточной функции могут заметно отличаться от полюсов заданной ЯРК-модели или модели пространства состояния (для проверки наберите )те1 р гаобз). О Преобразование в формат пространства состояния не является однозначно определенным, если мы имеем дело с одномерной системой, и не гарантирует создание минимальной конфигурации, если система многомерная; так, заданная в пространстве состояния модель зуб при преобразовании бб11Пзуз) ) может сформировать модель с другими матрицами пространства состояния или даже Создание и преобразование П-иодеией с другим числом переменных состоивия во втором случае; таким образом, следует по возможности избегать преооразований моделей из одной формы в другую.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
