Бесекерский В.А., Попов Е.П. - Теория систем автоматического регулирования (963107), страница 55
Текст из файла (страница 55)
Этой системе соответствует так называемое основное движение. 8 8,101 ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТЬ СИСТЕМ РЕГУЛИРОВАНИЯ 241 Варьированной системой называют такую систему, у которой произошли вариации параметров, Движение ее нааывают варьированным движением. Дополнительным движением называют разность между варьнрованным и основным движением.
Пусть исходная система описывается совокупностью нелинейных уравнений первого порядка — '=-с1(х,, ..., х„, а„..., а,„) (».--=1, 2, ..., и). (8.96) Рассмотрим мгновенные вариации параметров Ла; () = 1, ..., т), так что параметры приняли значения а; + Лая Если изменения параметров пе вызывают изменения порядна дифференциального уравнения, то варьированное движение будет описываться совокупностью уравнений — ---с"1 (х„..., х„, а,+Ла„..., а„,+Ла,„) (1=1, 2, ..., и).
(8.97) Для дополнительно»"о движения можно записать Лх1 (») .=- х; (») — х» (»). (8.98) Прн условии днфференцируемостн х1 (») и х» (») по параметрам а» (у = — 1,..., т) дополнительное движение можно разложить в ряд Тейлора. Для малых вариаций параметров допустимо ограничиться линейными членамн разложения. Тогда получим уравнения первого приближения для дополнительного движения Лх;(», Ла„..., Ла )=..
~~~~~ ( — в») Ла;= ~8~~ иыЛар (8.99) »=-1 Частные производные, находящиеся в скобках, должны быть равны их аначенням при Ла, =- О. Таким обрааом, первое приближение для дополнительного движения может быть найдено прн известных функциях чувствительности. Заметим, что использование функций чувствительности удобнее для нахождения дополнительного двия»ения по сравнению с прямой формулой (8.98), так как последняя во многих случаях может дать большие ошибки вследствие необходимости вычитать две близкие величины.
Прн значительных вариациях Ла» может оказаться необходимым использование второго приближения с удерживанием в ряде Тейлора, кроме линейных, также и квадратичных членов. Дифференцирование исходных уравнений (8.96) по а, приводит к так называемым уравнениям чувствительности (8.100) (»:=-1, 2, ..., и; »' =-1, 2, ..., т). 1'ешение зтих уравнений дает функции чувствительности ись Однако уравнения (8.100) оказываются сложными и решение их затруднительно. Более целесообразен путь структурного построения модели, используемой для нахождения функций чувствительности (21, 53, 111). Обратимся теперь к линейным системам. Не снижая общности рассужденнй, можно рассматривать случай изменения одного у-го параметра. В некоторых случаях функции чувствительности получаются дифференцированием известной функции времени на выходе системы. Так, если 16 В, А Бвооввроииа, К. П.
Попов 242 оцкнкл ълчгствл гкгтлиговлния (си З передаточная функция системы соответствует апериодическому звену второго порядка, то (см. табл. 4.2) 1 У (~) (1+Тзр) () — Т„) 'з (~)' При поступлении на вход ступенчатой функции д(1) =-уз 1(с) на выходе будет у ()) ув ( 1 ТЗ С тз [ ТВ Е тв ) ° 1 (Г). Пусть, например, вариацию претерпевает постоянная времени Т,. Тогда дифференцирование последнего выражения по Т, даст функцию чувствительности по этому параметру дэ (С) [(Тз — Т,) С вЂ” Тзтв[ в т — Тзтвз дТз Тз(Тз — Тв)' .д, 1((). Дополнительное движение прн этом будет Лу (с) — — и (в) ЛТз, где сзТз— вариация постоянной времени Т,.
Пусть рассматриваемая система описывается совокупностью уравнений первого порядка — ~~ авлхл [- ~~в~ ЬвзТ (с) (в †. 1, 2, ..., и), (8.101) где а,л и Ь,в — постоянные коэффициенты. х, — фазовые координаты, а )з (в) — внешние воздействия. Начальные условия в системе: при 1 =- О х, = х', (в = 1,..., и). Уравнения чувствительности получаются нз (8Л01) дифференцированием по варьируемому параметру а„от которого могут зависеть коэффициенты а,л и Ь,з: П и с — Н= ~~в' „ави~)+ Я слхл+ ~~~~~ с[„~~()) (с .--1, 2,, и), (8.102) л=в л-з з=з где с л = — и с[,т — — — — частные производные от коэффициентов дам ддвч до, вз дад системы уравнений (8Л01) ко варьируемому параметру и,. Уравнениям д и (8.102) соответствуют начальные условия ио =- — ' (в --- 1,..., и).
Если да начальные условия х', не зависят от параметра а„то уравнениям (8Л02) соответствуют нулевые начальные условия. Для решения (8Л02) необходимо предварительно решить совокупность уравнений (8Л01) и определить исходное движение х, (с) (с =-- 1,..., и). Для нахоясдения функций чувствительности и дополнительного движения удобно использовать передаточные функции системы. Пусть, например, регулируемая величина у (г, а,) связана с задающим воздействием зависимостью (8ЛОЗ) у (~, а,) — — Т, ' [У (р, а,)[ =- Т. ' [Ф (р, а,) (' (р)[, где с (р) — изображение задающего воздействия. Функция чувствительности может быть получена нз (8.103) дифференцированием по параметру а,: .,(Т) ='"'"'=у= ~'У" ") ~[=Т- ~ "' "' П(р) ~-г.— [8,(р)С(ри.
дссв ! дсс) ) ! да (8.104) $8ЛО) ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТЬ СИСТЕМ РЕГУЛИРОВАНИЯ Здесь введена функция чувствительности передаточной функции (8.105) которая определяет первое приближение донолпительной передаточной функции, равной разности варьируемой и исходной передаточных функций при вариации параметра а,: йФ) (р, а)) =-. Ф (р, а)) — Ф (р, а)) = Яд (р) Ла,.
(8Л06) Эти зависимости справедливы в том случае, когда вариация параметра а, не меняет порядка характеристического уравнении системы. Может также использоваться так называемая логарифмическая функ- у т) ция чувствительности дФ(р, ао) дав Ф (р, а ) ' а Ряс. 832 Я ( ). (8.107) д)а ив Ф(р,а1) Формула (8.107), строго говоря, может использоваться в тех случаях, когда Ф (р, а,) и а, представляют собой безразмерные величины. Если зти величины размерны, то их логарифмирование возможно, если использовать прием, указанный в 3 4.4. Найдем дополнительную передаточную функцию для случая, когда исходная передаточная функция может быть представлена в виде отношения двух полиномов: (бЛ(р) — Ф(р, а,) й17 (р)), (8Л08) где с1л (р) н йй (р) — вариации полнномов числителя н знаменателя передаточной функции. Формула (8Л08) позволяет составить структурную схему модели чувствительности в виде, изображенном на рис.
8.32. Эта схема может быть использована для нахождения функции дополнительного движения Лу (1) или функции чувствительно- + а) Составим, например, модель чувствительности для передаточной функции замкнутой системы 4 при вариации параметра т. Рвс. 8.33. В соответствии с изложен- ным находим йг((р) = = й17 (р) =- Кр Лт. Равенство приращений числителя и знаменателя Ф (р) позволяет упростить схему модели. Она изображена на рис. 8.33, а в исходном, а на рис. 8.33, б — в преобразованном виде. 244 (гл. 8 ОЦЕНКА КАЧЕСТВА РЕГУЛИРОВАНИЯ В общем случае, когда передаточная функция зависит от ряда варьируе- мых параметров, дополнительная передаточная функция Тй т ЛФ(р, а, ..., а ) = 'р', '( Р' О "" 1 Лат=- У„Я;(р) Ла;.
(8.110) )=8 где Х вЂ” варьированное значение оценки качества, а Х вЂ” ее исходное значе- ние, можно подсчитать по формуле полного дифференциала (8.112) ЛХ= ~ ХХ.Лгал )=а Так как в большинстве случаев известны только вероятностные оценки вариаций Лат, то целесообразно использование вероятностных мотодов. Так, если известны максимальные возможные отклонения Ли) „, то при их независимости друг от друга можно найти среднеквадратичный максимум отклонения оценки качества / т Мпах= ф ~ (ХХ~Лаааах)а (8.113) и среднеквадратичный относительный максимум Ьрмах Лмах = Х (8.114) Если заданы дисперсии отклонений параметров ХЭ) ЛХ)(Л88))а) и отклонения независимы, то можно найти дисперсию оценки качества (8.115) В качестве критериев оценки качества системы могут использоваться, например, максимум ошибки, коэффициенты ошибок, оценки запаса устойчивости и быстродействия, интегральные оцеяки н т, и.
П р и м е р. Пусть передаточная функция разомкнутой системы имеет вид К Р" (Р) р(1).тр) ' Требуется определить среднеквадратичный максимум отклонения показателя колебательностн, если К вЂ” — 100 ~ 10 сее ' и Т =- 0,03 +- 0,01 гее, причем иаменепия параметров независимы. Определим вначале исходное значение показателя колебательности. Для этого необходимо найти максимум модуля частотной передаточной функции аамкнутой системы М=~ —. $1' (Ко) ( К 1+ И'(/о>) )ьпах ) К+)ха+ Т (ра)а) Если к системе приложено несколько внешних воздействий [д (а), Х, (г),..., Л (г)1, то следует найти дополнительные передаточные функции для всех исходных передаточных функций, определенных для каждого внешнего воздействия. Функции чувствительности критериев качества.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
