Бесекерский В.А., Попов Е.П. - Теория систем автоматического регулирования (963107), страница 52
Текст из файла (страница 52)
Для изложенных условий при во(а ниже без вывода приводится формула (121), по которой моя'ет быть вычислена квадратичная интегральная оценка: 1= 1 х 1[-, [, (В„Л„+ В„,Л„, +... 227 8 8.81 интегРАльныв Оценки В определителе (8.62) заменяются нулями все буквы с индексами меньше нуля и больше и, а в формулах (8.64) — с индексами меньше нуля и больше ш. В том случае, когда лг =-- л, формула (8.61) замеыяется следующей: О Х = ~ х888 = 8 (В Л~+ В Л~ 8 +...
+В8Лг+В Л1) — 8, (8.65) о где +2 (ф — — ") (=' — — "') ~, (8.66) Ьп-~ " При поступлении на вход системы единичного импульса 6 (1) = 1' (1), изображение которого по Лапласу равно 1, изображение регулируемой величины можно также представить в виде дробно-рациональной функции (8.60). Разница будет заключаться только в том, что степень числителя т возрастает на единицу, а последний коэффициент числителя Ь = О.
Это обусловлено тем, что получение реакции системы на единичный импульс (весовой функции) эквивалентно дифференцированию переходной функции, получающейся при действии единичного скачка. В области изображений это эквивалентно умножеыию на комплексную величину р. В связи с этим квадратичную интегральную оценку при действии единичного импульса можно рассматривать в виде выражения Х'-- ( мо(Г) 11= ) (х(Г)]8Д, Ь о (8.67) (8.68) где в (Г) — весовая функция системы по задающему или возмущающему воздействию, х (Г) — отклонение регулируемой величины от нового установившегося состояния в переходном процессе при действии единичной ступеньки задающего или возмущающего воздействия. Таким образом, техника вычисления оценки Х' полностью совпадает с вычислением оценки Х по формуле (8.61) или (8.65). Совпадает при этом и значение определителя Л (8.62). Отличаться в вычислениях будут определители Л„..., Л„, и коэффициенты Во,..., В или В„,..., В„', что обусловлено повышением степени т в выражении (8.60) на единицу при вычислении Х' по сравнению со случаем вычисления Х.
Интегральная оценка Х' также может использоваться в безразмерном виде аналогично формуле (8.57): 228 >га 3 Оценка кхчестВА РеГулиРОВАниЙ Интегральные оценки 7 и 7' (или выражения квадратичных динамических ошибок) применяются для выбора структуры и параметров систем автоматического регулирования. При этом наилучшими параметрами считаются такие, пре которых величина 1 или 7' имеет минимальное значение. Вычисление квадратичных интегральных оценок 7 и Г можно такяае производить на основании так называемой формулы Релея, которая будет доказана ниже, в главе 11. Здесь она будет приведена без доказательства.
Если Х ()о>) есть изображение Фурье функции времени х (Г), то суще ствует зависимость Х'(Г)»Г=- —., 5 !ХО' ) !'>("'=х — „! (Х(7' ) ! С) 1 Г . 1 0 хх й т. е. интогрировавие квадрата функции по времени в проделах от нуля до бесконечности можно заменить интегрированием квадрата модуля изображения Фурье этой функции по всем частотам. При нахождении интегральной оценки 1, соответствукпцой реакции системы на входное задающее воздействие типа 1 (1), изображение Фурье исследуемого отклонения х (г)— :=. у (Г) — у (со) будет где Ф (усе) — частотная передаточная функция замкнутой системы.
Тогда 1 (" !>ВОы) — ц>(0) !',( (8.69) и а>а В астатических системах н статических системах с неединичной обратной связью или с масштабированием (см. т 9.3) установившееся значение у (оо) =. — — 1 и Ф (0) = 1. Тогда формула (8.69) будет иметь вид 7 1 ( !Фх(/ы) !а о (8. 70) я ) ыа о где Ф„(/о>):.— 1 — с1> ()е>) -- частотная передаточная функция замкнутой системы по ошибке.
Аналогичным образом для входного зада>ощего воздействия типа единичного импульса б (Г), изображение которого равно 1, изображение Фурье исследуемого отклонения х (г) =- у (г) равно частотной передаточной функции замкнутой системы: Х (Во) =- Ф ()о>) ° 1. В результате получаем хх 7' —... — ! Ф (Во) !а»е>, (8.71) Подобные выражения могут быть по- лучены и для входного возмущающего > воздействия, если вместо частотной пере- даточной функции Ф ()о>) использовать Рвс.
З 26 передаточну>о функцию по возмущающему воздействию ФР Гуа>). Недостатком интегральных оценок является то, что здесь ничем не ограничивается форма кривой переходного процесса. Оказывается, например, что три совершенно различных по форме процесса, изображенных па рис.
8.21, имеют одно н то же значение квадратичной интегральной оценки (8.56). 229 т о.о< ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ОЦЕНКИ Часто оказывается, что выбранные по минимуму этой оценки параметры системы соответствуют слишком сильно колебательному процессу, ибо отмечавшееся ун<е при этом стремление приблизить процесс к идеальному скачку вызывает большу<о скорость процесса при подходе к установившемуся значению х =- О.
Это получается вследствие того, что оценка (8.56) учитывает только величину отклонения и быстроту затухания и никак не учитывает близость системы к колебательной границе устойчивости. Если, например, подать на вход системы единичный скачок, то ошибка в переходном процессе определится заштрихованной частью на рис. 8.22, а. Очевидно, что величина интегральной оценки (8.56) будет тем меньше, чем блнн<е будет кривая переходного процесса к ломаной линии АОВС. Но приблнн<ение процесса к этой линии требует увеличения угла наклона кривой Рис.
8,22. в начальной стадии процесса (приближение части кривой 01) к отрезку ОВ). Увеличение же начальной скорости может вызвать значительное перерегулирование и, следовательно, малый запас устойчивости. Поэтому применяется еще другой внд интегральной оценки, в которой ограничение накладывается не только на величину отклонения х, но также и на скорость отклонения х. Эта улучшенная квадратичная интегральная оценка имеет вид 1„—.
~ (хо+ Т'х') Ш, (8.72) о где Т вЂ” некоторая постоянная времени. Выясним, какой вид переходного процесса будет получаться при выборе параметров системы регулирования по минимуму улучшенной интегральной оценки (8.72). Для этого проделаем следующие преобразования: 1,= ') (х+Тх)'с<1 — ~ 2ТххМ = ~ (х+Тх)лй — Тх*~ = ') (х+Тх)о<11+Тх'„ о о о о х=хое т у=до(1 — е т) (8.73) где уо — — хо — установившееся отклонение регулируемой величины. где х, — начальное значение отклонения в переходном процессе. Наименьшее значение последнего выражения будет при выполнении условия Тх + х =.
(Тр + 1) х = О. Это есть дифференциальное уравнение первого порядка, решение которого имеет вид 236 ОЦКНКА КАЧКСТВА РКГУЛНРОВАННЯ Этот процесс изображен ка рнс. 8.22, б пунктиром. Следовательно, выбирая параметры системы по минимуму улучшенной интегральной оценки (8.72), можно приблизить переходный процесс к заданной экспоненте (8.73) с постоянной времени Т, которая носит в атом случае название экстремали. Из этих соображений можно заранее задаться определенной величиной Т. Выбор параметров системы по улучшенной квадратичной интегральной оценке приводит к менее колебательным процессам по сравнению с использованием обычной квадратичной интегральной оценки (8.56). Методика вычисления интеграла (8.72) сводится к тому, что правая его часть разбивается на два слагаемых: 1„--. ~ хо й+ Т' ~ х' о)г'.
о о При входном воздействии типа единичной ступенчатой функции первое слагаемое последнего выражения соответствует интегральной оценке 1, а второе — Тз1'. Поэтому в результате получаем для этого случая (8.74) 1к — -- 1 + Т'1'. Улучшенная интегральная оценка 1к может также применяться в безразмерном виде аналогично (8.57) и (8.68): 1ко — з 1к Яо Сз (8.75) где воо — среднегеометрический корень характеристического уравнения, а С вЂ” некоторая величина, имеющая размерность у (з), напривзер статическое отклонение у (оо).
Недостатком приведенных расчетных формул для вычисления как 1. так и 1„является их выражение через определители, которые трудно бывает раскрывать в буквенном виде при высокой степени характеристического уравнения. В этих случаях можно использовать имеющиеся специальные приемы числовых расчетов. Сам определитель Л (8.62), как старший определитель Гурвица, согласно з 6.2 имеет вид —.. аз (агхг — а,аз) прил=3, =- аз (аз (а,аг — аоаз) — ава1! при л=-4, = — аз Ца,аг — аоаз) (окав — азаз) — (а,а, — аоав)') при п =-.
5. 1з =-- Л„ 1в =- 1в„ йк 1к ~ ( + Тзх -)- Тз -з) й. о (8.76) Несколько сложнее вычисляется только определитель гв,к, когда первый столбец Л (8.62) с одним элементом ак заменяется столбцом (8.63) с двумя элементами а„, н а„. Все остальные определители оказываются проще. Удобство интегральных оценок состоит в том, что они дают единый числовой критерий качества. Недостатком является то, что одному и тому же значению интегральной оценки могут отвечать разные формы переходного процесса, что создает недостаточную определенность решения задачи. В принципе возможно использование более сложных выралоений, чем (8.72), в которые кроме первой производной от отклонения будут входить вторая, третья и т.
д. проиаводные. Так, например, ограничившись при подаче ступенчатого воздействия д (Г) или 1 (О) отклонением х, первой проиаводной х и второй производной х, получим интегральную оценку в виде 231 з з.в) интегглльные оценки Эта оценка будет характеризовать приближение переходного процесса к зкстремали, определяемой решением дифференциального уравнения ТЙХ+ Т1Х+Х =.'= О.
Экстремаль в данном случае будет соответствовать более сложной кривой, чем экспонента, что позволяет точнее задать желаемый вид переходного процесса. Однако нахождение интегральных оценок вида 1„.—.:1+ Т',Г + Т',1", к которым сводится вычисление интеграла (8.76), сопряжено со значительными трудностями, что ограничивает их применение.
Определение минимума интегральной оценки, Пусть требуется, исходя нз минимума какой-нибудь интегральной опенки, выбрать два каких-нибудь параметра а и () заданной автоматической системы. Указанные два параметра входят в коэффициенты дифференциального уравнения системы. Прежде всего по вышеприведенным формулам находится выражение соответствующей интегральной оцонки. Это выражение, если все параметры системы заданы, кроме а и р, имеет вид 1 — 1 (а, (3).
Для определения значений а н р, соответствующих минимуму 1, вычисляем частные производные по а и () и приравниваем их нулю. В результате получаем два уравнения: Н(а, б) зб с двумя неизвестными а и р. Отсюда и определяются искомые значения параметров а и р. Чтобы убедиться в том, что это действительно минимум, а не максимум, можно вычислить значение 1 при полученных значениях а и (), а затем при каких-нибудь соседних. Последние должны оказаться болыпе.
Аналогично монсно поступить и при выборе нескольких параметров по минимуму интегральной оценки. Функция 1 (а, р) не всегда обладает минимумом по рассматриваемым параметрам. Тогда нужно выбирать их по наименьшему аначению интегральной оценки 1 внутри области, назначаемой из других соображений. Важно также иметь в виду, что выражение интегральной оценки через выбираемые параметры системы в буквенном виде может в ряде случаев оказаться сложным для исследования в общем виде. В таких случаях можно поступить иначе: задавать несколько числовых значений одного из выбираемых параметров (при жестко заданных всех остальных) и вычислять для каждого нз них значения 1 (или 1„).
В результате будет видно, при каких значениях данного параметра получается 1юш (можно для наглядности построить график величины 1 в аависимости от выбираемого параметра). Аналогично нужно поступить и с другими выбираемыми параметрами системы. В конкретных расчетах всегда надо учитывать, что одновременно с таким выбором параметров нужно, во-первых, обеспечить хорошие статические свойства системы и, во-вторых, проследить, чтобы оптимальная точка не оказалась слишком близкой к границе устойчивости, так как всегда надо иметь некоторый запас устойчивости.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
