Бесекерский В.А., Попов Е.П. - Теория систем автоматического регулирования (963107), страница 51
Текст из файла (страница 51)
Граница мея<ду этими двумя случаями определяется равенством нулзо дискриминанта уравнения третьей степени (8.49), который может быть цолучен, например, из формулы Кардана для решения кубического уравнения д АзВз 4 (Аз + Вз) + 18АВ 27 О Это уравнение дает на плоскости параметров А, В две кривые: СЕ и Сг" (рис. 8.15). Внутри области ЕСГ" дискриминант положителен. Следовательно, в этой области имеется три вещественных корня (область П1).
В остальной части плоскости дискриминант г отрицателен, что соответствует наличию пары комплексных корней. Существенное значение имеет вваим- 1 нос расположение вещественного и комплексных корней. Будем различать 4 здесь два случая' 1 — пара комплексных корней лежат ближе к мнимой оси, чем вещественный, и 11 — вещественный корень лежит ближе к мнимой оси, чем пара комплексных. Границей между этими двумя случаями является расположение всех трех корней на одинаковом расстоянии от мнимой оси.
Уравнение этой границы можно найти, положив значения корней д, = -а и дз,з = — сс ~ ур. Тогда характеристическое уравнение (8.49) будет д' + Ач' + ВЧ + 1 = (7 + сс)(7 + и — Ю)(Ч + м + Ж = = дз + Зссдз + (Заз + рз) д + а (а'+ 1рз) = О. Уравнивание коэффициентов при одинаковых степенях дает А =Зсс, В =- За' + рз, 1 = а (сс' + рз). В результате совместного решения последних трех равенств получаем после исключения сс и р искомое уравнение, соответствующее граничному случаю: 2А' — 9АВ+ 27 = О, А(3. Написанное равенство дает на плоскости параметров кривую СВ. В результате область устойчивости разбивается на три части: 1, 11, 1П (см. рис. 8.15).
Этот график называется диаграммой Вышнеградского. Он построен им в 1876 году в работе, которая положила начало развитию теории 1оо, З оценкА клчкствА Ркгулиговхния автоматического регулирования. На рисунке показан характер расположения корней внутри каждой из этих частей области устойчивости. В области 111, где все корни вещественные, в зависимости от начальных условий получим апериодический переходный процесс в одной иа форм, показанных на третьем графике рис.
8.16, Область 111 носит название области апериодических процессов. В областях Х и 11, где имеется один вещественный корень и два комплексных, переходный процесс будет иметь соответственно формы, покааанные на первых двух графиках рнс. 8.16. В области Х быстрее затухает экспонента и переходный процесс в основном будет определяться колебательной Ркс. 8А8.
составляющей. Это будет область колебательных процессов. В области 11, наоборот, быстрее затухает колебательная составляющая. Это будет область монотонных процессов. Диаграмма Вышнеградского получила дальнейшее развитие. Для более точной оценки характера переходного процесса на ней можно нанести вспомогательные линии, разбивающие области 1, Х1 и 111 на еще более мелкие части, что позволяет при иавестных параметрах Вышнеградского иметь более полное суждение о быстродействии и запасе устойчивости.
Ниже будут рассмотрены наиболее распространенные способы уточнения диаграммы Вышнеградского посредством нанесения линий равной степени устойчивости (для оценки быстродействия) и линий равного затухания (для оценки запаса устойчивости). Для нанесения линий равной степени устойчивости обратимся к нормированному характеристическому уравнению (8.49). Для получения смещенного уравнения введем новую переменную, определяемую соотношением Х = д, — Ч„ где Чо обозначает степень устойчивости для нормированного уравнения.
Для исходного уравнения (8.47) согласно (8.48) степень устойчивости будет 'Г / аз Ч=Чоьоо= Чо Смещенное уравнение имеет вид д,' + Атд~~ + А од + А = О. Коэффициенты этого уравнения: Ат = — ЗЧо+ -4 Ао = ЗЧв 2АЧо + В Ао = — т), *+ АЧо — В + 1. Применим к смещенному уравнению условие границы устойчивости. Колебательная граница устойчивости, соответствующая чисто мнимым корням смещенного уравнения (8.50), будет при выполнении условия А,Ао = А,.
Апериодическая граница устойчивости (нулевой корень) будет при Ао = О, Первое условие при подстановке значений коэффициентов приводит к уравнению В == , от + 2Чо (.4 — 2Чо) (8.51) диягРАммА Вышнкгвадского $ з.т1 а второе дает В = Ацс-т(,*+ —. (8.52) ЧО полученных уравнений, задаваясь различными значеможно построить на диаграмме Вышнеградского линии На основании киями т~с = сонат, Ф Ю с Ф Ю4 Рис. 8.17. да =У5/ =882 =ха(: = 701 =бдим -юд Рис. 8Л8. одинаковых аначений нормированной степени устойчивости (рис. 8.17). По уравнению (8.51) построены кривые 7)с = совет в области 1, так как там, согласно рис. 8Л5, ближайшими к мнимой осиявляются комплексные корни.
Кривая 7(с = О совпадает с границей устойчивости. Уравнение (8.52) дает прямые, которые нанесены в областях 11 и 111. 1гн. 8 ОцаНКА КАс!котВА РЕГУЛИРОВАНИЯ Как видно из диаграммы, наибольшая степень устойчивости цо — — 1 имеет место в точке С с координатами 4 =- 3 и В -.-- 3. Следовательно, эта точка соответствует наилучшим значениям параметров с точки зрения величины степени устойчивости. Однако, как унсе отмечалось, степень устойчивости является приближенной оценкой быстроты затухания переходного процесса. Поэтому при выборе параметров системы регулирования практически нет смысла попадать именно в эту точку диаграммы. Можно считать, что наилучшей областью параметров системы будет область, прилегающая к точке С, например внутри замкнутой кривой 8)о == 0,5. На рис.
8.18 приведена диаграмма Вышнеградского с нанесенными линиями равного затухания 1". =- сопзс. (Аналитические выкладки не приводятся ввиду громоздкости). Эти же линии являются, по существу, и линиями равной колебательности р = сопзо, так как колебательность и затухание связаны между собой формулами (8.41) и (8.42), 4 8.8. Интегральные оценки Интегральные оценки имеют целью дать общую оценку быстроты затухания и величины отклонения регулируемой величины в совокупности, без определения того и другого в отдельности.
Простейшей интегральной оценкой может служить величина ФЭ вЂ” х(1) й, (8.53) где х (1) — отклонение регулируемой величины от нового установившегося значения, которое она будет иметь после аавершения переходного процесса. В устойчивой системе х-р О при 1 — ~- оо и этот интеграл имеет конечную величину. Геометрически это будет площадь под кривой переходного про- цесса, построенного для отклор,1 х О'1 х пения (рнс.
8.19, а). Площадь будет тем меньше, + чем быстрее затухает переходный + процесс и чем меньше величина отклонения. Поэтому параметры 11 системы рекомендуется выбирать таким образом, чтобы добиваться Рнс, 8,19. минимума этой интегральной оценки. Для вычисления интеграла (8.53) нет необходимости в нахождении х (1), так как его можно легко вычислить, используя изображение Лапласа или Хевисайда — Карсона. Действительно, изображение Лапласа определяется выражением Х (р) = ) х(1) е-Р1 й.
о Отсюда следует, что интеграл (8,53) может быть найден посредством предельного перехода р -о О: ОО х(1) й — )1т ~ х(1; е-Р' й = Иш Х(р). (8.54) о р о о р о Неудобством интегральной оценки вида (8.53) является то, что она годится только для монотонных процессов, когда не меняется знак отклонения х. Воли же имеет место колебательный процесс (рис. 8.19, б), то при 225 2 В.В) интегральные опенки вычислении интеграла (8.53) площади будут складываться алгебраически и минимум этого интеграла может соответствовать колебаниям с малым затуханием или вообще без затухания.
Так как форма переходного процесса при расчете систем регулирования может быть неизвестна, то применять интегральную оценку вида (8.53) оказывается практически нецелесообразным. Поэтому предлагалась другая интегральная оценка: о Ус= ~ (х(й, (8.55) т. е.
сумма абсолютных величия всех площадей по кривой переходного процесса. Но оказалось, что вычисление ее по коэффициентам уравнения затруднительноо. Квадратичная интегральная оценка. В свете вышесказанного целесообразно перейти к квадратичной интегральной оценке, называемой иногда «квадратичной площадью» регулирования: Х.=в 1 Хса (х- 0 при с- оо), (8.56) (8.57) которая не зависит от знаков отклонений, а значит, и от формы переходного процесса (монотонной или колебательной). Величина 1 (8.56) будет тем меньше, чем меньше сумма заштрихованных на рис.
8.20 площадей (взятых для квадратов ординат), т. е. чем лучше переходный процесс приближается к идеальному скачку регулируемой величины вслед за скачком задающего или возмущающего воздействия. Ниже будет показано, что такая оценка не всегда является лучшей, но пока остановимся на ней. Заметим, что оценку (8.56) называют также квадратичной динамической ошибкой регулирования. Ве можно записать в безразмерном виде: Х2 С(В О ( Х2 С(с Св,) ов э' в где х = х (г) обозначает отклонение регулируемой величины в переходном процессе от ее нового установивп2егося значения: х (г) =- у (2) — у (сю); С вЂ” некоторая величина, имеющая размерность регулируемой величины, напРимеР статическое отклоненно У (ао); ввс — сРеДнегеометРическое значение корня характеристического уравнения (8.26).
Рассмотрим один из возможных способов вычисления квадратичной интегральной оценки (8.56) при скачкообразном внешнем воздействии. В общем случае дифференциальное уравнение системы автоматического регулирования (в символической операторной записи) согласно (5.5) имеет вид П (р) у (г) =- В (р) а (Π— дс ( ) ~ (г) (8.58) где у (г) — регулируемая величина или ее отклонение, л (2) и ~ (2) — задающее и возмущающее воздействия. Степени многочленов Л (р) и Л' (р) обычно ниже, чем )0 (р); в некоторых случаях они могут иметь ту же степень, что и полипом П (р). Пусть переходный процесс вызывается единичным скачком 1 (г) либо функции ~ при д — - сопвг, либо функции л при ~ =- сопев.
Положим„например, что рассматриваем скачок задающего воздействия д (г) -.= 1 (с). Изобралсение 25 в. А всссвсрсввв, и. и носов ОЦЕНКА КАЧЕСТВА РЕГУЛИРОВАНИЯ [гп о Лапласа такого скачка будет 6 (р) .= —. Перейдя в формуле (8.58) к изобра[ р х[ениям, получаем 6- ВФз+В1[11+ВоЛ~) — ", ' * (8 61) ай где Л есть следухпций определитель и-го порядка (равный старшему определителю Гурвица, но записанный в несколько иной форме): ап — ап з — а -о ап — ап а ап-о оп-1 0 ап, 0 — ап ап о 41п -4 ип, (8.62) 0 О 0 0 0 0 ...
а, На границе устойчивости 44::.0 и 1 — 1-оо. Через ЛА ()о = т, ш — 1, ..., 2, 1, 0) в формуле (8.61) обозначены определители, получающиеся путем замены в определителе (8.62) (л[ — 14+1)-г11 столбца столбцом ип, ап (8.63) 0 Коэффициенты В,п В Вт-3 В, В,.... вычисляются по формулам: Ьо : — Ь' и — 2ЬтЬт о ' Ьп -4 Ьт-1Ьт-о+ Ьт[пп-4~ (8.64)  — Ьп — 2Ь Ь -,-;2Ь зЬ -з+ .. ° + 2( — 1) Ьп,Ь2 В(р) У(р) -В(р)-' ° (8.50) Р Изображение регулируемой величины у ([) представляет собой дробно- рациональную функцию: Ь,рт 4-Ьпрт-1) ...+Ьт (8.60) порп-'-, а1рп ' Ь" =ап р Отклонение х регулируемой величины от нового установившегося состояния в переходном процессе, входящее в формулу (8.56), будет х(1) = у([) — у(оо) =. у ([) — — "' 1, где у ([) есть решение уравнения (8.59), а также оригинал изображения (8.60).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
