Бесекерский В.А., Попов Е.П. - Теория систем автоматического регулирования (963107), страница 50

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 50)

+ а„т (г — т)) + а„= О. Раскрывая скобки н группируя подобные члены, получаем аог" + А,г" т +... + А„тг + А„= О. (8.37) Это уравнение соответствует смещению осей на плоскости корней (рис. 8А2) влево на величину т). В результате один (рис. 8.12,а) или два (рис. 8.12, б) корня попадают на ось мнимых, что соответствует границе устойчивости. Для вычисления степени устойчивости необходимо применить к смещенному характеристическому уравнению (8.37) любой критерий устойчивости и определить,при каном значении т(получается граница устойчивости.

Напомним, что апериодической границе устойчивости соответствует равенство нулю свободного члена характеристического уравнения: А„=- а„— а„тт) + а„гт)~ — а„вт)в +... = О, (8.38) а колебательной границе устойчивости соответствует равенство нулю предпоследнего определителя Гурвица, прохождение кривой Михайлова через [кь а оцкнкл клчкствл гкгглиговлния начало координат и прохождение амплитудно-фазовой характеристики рааомкнутой системы через точку ( — 1, 70).

Обратимся теперь к оценке запаса устойчивости системы автоматического регулирования. Склонность системы к колебаниям будет наблюдаться, если в решении характеристического уравнения будут присутствовать комплексные корни вида — а .1- ф. Эта склонность может характеризоваться отношением мнимой части корня (угловой частоты колебаний) к вещественной (коэффициенту затухания), которое называется колебательноетью: (1 (8.39) Колебательность связана с другим корневым показателем запаса устойчивости — с так называемым затуханием. Комплексные сопряженные корни дают в выражении для переходного процесса член вида х (г) =- Се "' з)п (р1 + ф). Найдем затухание амплитуды синусоидального колебания за один период. При некотором времени 2 = Г, эта амплитуда равна Са = Се-аи Через один период Т=-— 2л па ап Затуханием за период называют величину ! — а 1 а (8.40) с, с, ' Эта величина обычно выражается в процентах. Подставляя значение амплитуды Са, получаем ап ~=-1 — е (8.41) или (8.42) )а= 1п Обычно в системах автоматического регулирования допускается аатухание за один период не менее чем 90 —:- 98%.

Так, например, если 1",а%а — — 98бо, то допустимая колебательность при этом составит 2н з — — — 1,о7. 1п50 2 Соответственно при ~ = 90% получаем р ж 2,72. Задание определенной колебательности заставляет ограничивать область расположения корней двумя лучами (рис. 8.14, а), которые составляют с осью вещественных угол ~р = агс1я — = агс$8 1а. б а Колебательность системы можно определить без нахождения корней характеристического уравнения подобно тому, как это было сделано выше по отношению к степени устойчивости. Идея метода заключается в том, что используется подстановка р = )зе ае, которая соответствует повороту координатных осей (рис. 8.14, б) против часовой стрелки на угол — ' — ~р.

При 2 219 КОРНЕВЫЕ МЕТОДЫ В (Р) = а Р" + и Р" "+... + Еп, остается аналогичной, за тем исключением, что для участка аЬ делается подстановка р = — т) + )'ю, а затем частота изменяется в пределах 0<а < <г) ье ф = 1)р. Для участка Ьс делается подстановка р = — — +)в ичасто- Р та изменяется в пределах ц)ь < ю «+ Оэ. Использование корней характеристического уравнения для оценки качества регулирования является не совсем полным, так как вид переходного процесса определяется не только левой, но и правой частью дифференциального уравнения. Для того чтобы учесть это обстоятельство, рассмотрим, например, зависимость между регулируемой величиной и управляющим воздействием, записанную посредством передаточной функции замкнутой системы (5 18): (Р)=б)(Р)В(Р)= 1 )у( ) ~(Р) Передаточная функция замкнутой системы представляет собой дробнорационэльную функцию р( ) )т(Р) ь,Р +ь,Р +...+ь (8.44) Ю(Р) ааРп+а1Р"-1+...

+ап Раскладывая числитель и знаменатель (8.44) на множители, получим ьа(» — Р1) (Р— рй) " ° (р — Р'д (Р)— аа (Р— Рд (Р— Ра) (Р— Рп) (8.45) этом по крайней мере один корень попадает на ось мнимых и затем он отыскивается. Ввиду громоздкости этот метод почти не имеет практического значения.

При аадании допустимых значений колебательности и степени устойчивости область расположения корней должна ограничиваться также вертикальной прямой, проходящей параллельно оси мнимых на расстоянии а) (рис. 8 14, б). Расположению корней в этой области соответствует выдержи- а/ с Ю ванне требуемого запаса устойчивости, У определяемого величиной колебатель- Р У ности р или затуханием, и требуемой Р степени устойчивости г), характеризую- Р е г йе щей быстродействие системы. Р Для определения параметров си- Р стемы, при которых обеспечивается и рс~ нахождение корней характеристического уравнения в заданной области, можно воспользоваться В-разбиением. В атом случае в плоскости двух пара- Рис.

8.14. метров системы может быть построена область, аналогично построению области устойчивости (см. $ 6.4). Напомним, что при построении области устойчивости комплексная величина Р =- ую изменялась от — уоо до +уоо, что соответствует движению по мнимой оси снизу вверх.

В рассматриваемом случае комплексная величина р должна перемещаться по границе допустимого расположения корней едаЬс (рис. 8.14, б). В силу симметрии области достаточно рассмотреть участок аЬс. Методика построения допустимой области изменения двух параметров системы А и В, входящих линейно в характеристический полипом 220 Ьг.

з ОценкА клчествь РкгулиРОВАния Корни числителя р'„..., р' называются нулямн передаточной функции, так как в точке р = р', передаточная функция обращается в нуль. Корни знаменателя р„..., р„являются корнями характеристического уравнения, и они называются полюсами передаточной функции. В полюсе, т. е. при р = р;, передаточная функция обращается в бесконечность.

Полюсы передаточной функции характеризуют левую часть дифференциального уравнения„а нули — правую. В частном случае, когда передаточная функция (8.44)не имеет нулей, правая часть дифференциального уравнения имеет вид В (рЦ (1) =- Ь 7 (О и формула (8.45) сводится к выражению 6'(р)— ео (Р Р1) (Р Рй ° ° ° (Р Реб (8.46) В этом случае внд переходного процесса определяется только расположением полюсов. Задание области расположения полюсов и нулей позволяет более полно оцепить вид переходного процесса. Не останавливаясь на подробном анализе, приведем без доказательства общие рекомендации, которых желательно придерживаться при выборе расположения полюсов и нулей передаточных функций [981.

1. Желательно располагать нули вблизи области расположения полюсов. Удаление нулей от области полюсов ведет к увеличению амплитуд собственных колебаний в переходном процессе. 2. Для уменьшения отклонений в переходном процессе часто бывает выгодно удалять полюсы друг от друга. 3. Приближение друг к другу не представляет опасности для тех полюсов, которые расположены далеко от мнимой оси.

Кроме этих рекомендаций сохраняют свою силу ограничения на область распологкекня полюсов, накладываемые в свяаи с требованиями обеспечения определенного запаса устойчивости и быстродействия (см. рис. 8Л4, б). 3 8.7. Диаграмма Вышнеградского Рассмотрим характеристическое уравнение третьего порядка агРг + а1Рг + агР + аг — — О. (8.47) Приведем его к нормированному виду.

Для этого разделим все члены на аг и введем новую переменную г Г~ (8.48) аг Пз Здесь использовано понятие среднегеометрического корня (8.26): а,= ~Г В результате получим нормированное уравнение 4'+ А7'+ В7+1 = О, где коэффициенты называются параметрами Выигнеградекого. На плоскости параметров А и В нанесем границу устойчивости. Условия устойчивости системы третьего порядка были впервые сформулированы Выпшеградским еще в 1876 году, до появления в 1895 году критерия Гурвица.

Эти условия: А ) О, В )О и АВ ~1. Уравнение границы устойчивости (колебательной): АВ = 1 при А)0 и В >О. Это есть равнобокая ДИАГРАММА ВЫШНЕГРАДСКОГО 221 гипербола, для которой осн координат служат асимптотами (рис. 8А5). Область устойчивости системы, согласно написанным выше условиям, лежит выше этой кривой.

Разобьем область устойчивости на отдельные части, соответствующие различному расположению корней характеристического уравнения. Заметим, что в точке С, где А = 3 и В =- 3, характеристическое уравнение (8.49) принимает вид (о + 1)' = О. Следовательно, в этой точке все три корня раВны: Ч1 = Чз == Чз —— — 1. При этом для исходного характеристического з оз уравнения согласно (8.48) получаем р, =- р„=- рз = — у' — „' =- — 1гг. В общем случае возможны два варианта: 1) все три корня вещественные; 2) один корень вещественный и два комплексных.

Характеристики

Список файлов книги