Бесекерский В.А., Попов Е.П. - Теория систем автоматического регулирования (963107), страница 24
Текст из файла (страница 24)
- Л (р) л (г) — Х (р) 1 (!), Л (7!) — — Х~ О!) — () (Р). Степень этого полинома т . «н Л (Р) -- Ьад + Ь«Р ' +... + Ь «7 + Ь Как уже говорилось выше, в системах автоматической стабилизации прн < («) =: — сопз< можно прн соответствующем выборе начала отсчета иолучить д (С) = О, что упрощает выражение (5.5). При заданных функциях времени в правых частях дифференциальных уравнений (5.2) и (5.5) зти уравнения могут быть решены (проннтегрированы) относительно искомых функций времени, т.
е. может быть найдено иаменение о«пибки регулирования во времени х (1) пз (5.2) и движение регулируемого объекта вместе с регулятором у (1) из (5.5). Уравнония (5.1) могут быть такх<е представлены в форме Иоши, т. е. в виде совокупности п уравнений первого порядка, где и — порядок полинома В (р): (5.6) «=-1 Здесь хч (« = 1,..., п), в отличие от (5.1), представляют собой так называемые фазовые координаты системы, «! (« = 1,..., й) — задающие и возмущающие воздействия, а коэффициенты ап и Ья суть вещественные числа.
Ксли в (5.6) ввести алгебраизированный оператор и обозначить х,. =- рхт, то эта совокупность уравнений может быть разрешена относительно любой из фазовых координат х;. $ 5.2. Передаточные функции систем автоматического регулирования Записанные выше дифференциальные уравнения систем автоматического регулирования (5.2) и (5.5) могут быть получены также на основании понятии передаточной функции, которое было введено в главе 3. Рассмотрим рис. 5.1, где изображена система автоматического регулирования по замкнутому циклу. Предполоя<им вначале, что чувствительный элемент (ЧЭ) отсоединен от регулируемого объекта (РО), и рассмотрим так называемую разомкнутую систему автоматического регулирования.
Управляющее (или регулирующее) воздействие, которое прикладывает исполнительный элемент (ИЭ) к регулируемому объекту, определяется выражением и (е) = И7Р„(р) х (г), (5.7) 105 л 5.21 ПЕРЕДАТОЧНЫЕ ФУНКЦИИ СИСТЕМ РЕГУЛИРОВАНИЯ где х — рассогласование на выходе чувствительного элемента, И~р„, (р)— передаточная функция цепи регулирования.
Регулируемая величина может быть найдена из выражения у (г) =- )у, (р) и (2) + И', (р) 1 (т), (5.8) где И'р (р) — передаточная функция регулируемого объекта по регулирующему воздействию, И'1 (р) — передаточная функция регулируемого объекта по возл»ущающему воздействию 7 Й).
Ка»» и ранее, предполагается, что на объект регулирования (или ва систему регулирования) действует одно возмущающее воздействие г (2). Прн наличии неснольких возмущений на основании принципа суперпозиции необходимо будет пРосУммиРовать члены виДа И'„(Р) 1а (2), гДе Г„(1) и И'к (р) — возмущение и соответствующая ему передаточная функция по возмущению. Подставляя (5.7) в (5.8), получаем у (л) — (Р) (») + лт» (р)» () (~ 9) Здесь введена так называемая передаточная функция разомкнутой системы И (р) -- И „(р) И „,(р) =- — ", (О.10) где В (р) и»1 (р) представляют собой некото- Рис.
5.1. рые полиномы от р. Нередаточну»о функцию разомкнутой системы можно определить как отношение изображений регулируемой величины и ошибки при нулевых начальных условиях и возмущалощих воздействиях, равных нулю: И (р) =- — "", Х (р) ' (5.1 1) где р = с + рм — комплексная величина. Применительно к функциям времени, которые использовались в формулах (5.7) — (5.9), передаточная функция разомкнутой системы дает возможность в символической или операторной форме записать дифференциальное уравнение, связывающее регулируемую величину у (1) с ошибкой я (») в разомкнутой системе: у (т) =- И' (р) (1), (5.12) где р = — — алгебраизированный оператор дифференцирования.
»2» Учитывая (5.10), формулу (5.12) можно также записать в виде с (р) у (2) = 17 (р) (г) (5.13) Передаточная функция разомкнутой системы имеет весьма большое значение в теории автоматического регулирования, так как многие методы анализа и синтеза основаны на использовании именно этой функции. Рассмотрим теперь замкнутую систему, т. е. предположим, что чувствительный элемент соединен с регулируемым объектом. При этом можно записать так называемое уравнение замыкания: я (т) = а (2) — у (с).
(5.14) Решая (5.9) и (5 14) совместно, получаем для регулируемой величины (5.15) 106 состлвлкпис исходных кглвнкнии скотам гкгглнговлнпя [т. 5 н для ошибки (5.16) Выражение Ф р =-.- ) с-)» (р) Я(р)-, 0(р) (5.17) называется передаточной фунщией замкнутой системы или глаеныл» опера- тором. Передаточная функция замкнутой системы дает связь между регу- лируемой величиной и задающим воздействием прн равенстве нулю возму- щающих воздействий: (5.18) Выражение Ф (р) =--, у (р) (5.21) а передаточную функцию по ошибке — как отношение изображений ошибки Х (р) и управляющего воздействия 6 (р): Ф,(р) = —, х (р) й(р)' (5.
22) также при нулевых начальных условиях и отсутствии внешних возмущений. Из формул (5.15) и (5Л6) видно, что введение автоматического регулирования «уменьшает» отклонение регулируемой величины под действием возмущающих воздействий в (1 + И' (р)) раз по сравнению с отклонением в разомкнутой системе (5.9), когда цепь регулирования разорвана и автоматическое регулирование отсутствует. Передаточная функция разомкнутой системы может быть представлена в виде дробно-рациональной функции от оператора р. В результате сравнения формул (5.2) и (5.16), а также (5.5) и (5.15) видно, что полиномы г( (р) и ~) (р) в выражении (5.10) совпадают с аналогичными полиномами в дифференциальных уравнениях, приведенных в предыдущем параграфе. Полипом (5.23) называется характеристическим.
Приравнивание нулю характеристического полинома дает характеристическое ураенение системы: П(р) В(р)+О(р) (5.24) 0 (р) Ф" (Р) = 1 Ф (Р) '= ( 5 и (р) = н (р) ( о (р) (5. И) называют передаточной функцией замкнутой системы по ошибке. Оно дает связь между ошнокой и задающим воздействием в замкнутой системе при равенстве нулю возмущающих воздействий: х(г) -. Фл(Р) з П) =( (5.20) Как и ранее, формулы (5.15), (5Л6), (5ЛЗ) и (5,20) представляют собой символическую (операторную) запись дифференциальных уравнений.
Более строго передаточную функцию замкнутой системы можно определить как отношение изобра»кений регулируемой величины У (р) и управляющего воздействия С (р) при нулевых начальных условиях и отсутствии внешних возмущений: 107 ссм ЗЛКОНЫ РКГРЛИРОВЛНИЯ Оно может быть записано в более удобной форме, которая непосредственно получается из (5.15) или (5,16): 1+ И (р) =0, (5.25) так как характеристическое уравнение системы есть знаменатель операторного решения, приравненный нулю. Из рассмотренного видно, что знание передаточной функции разомкнутой системы позволяет найти выражение длн ошибки и регулируемой величины в функции задающего и возмущающих воздействий, а также характеристическое уравнение системы.
Передаточная функция разомкнутой системы может находиться непосредственно по структурной схеме и передаточным функциям входящих в нее звопьев (см. ниже, т 5.4) или по какому-либо соотношению, связывающему передаточную функцию разомкнутой системы с другими функциями: по передаточной функции замкнутой системы (5.17) ш (г) (Р) 1 — сп(Р) ' по передаточной функции для ошибки (5.19) Ис ( срх (Р), шк (Р) по дифференциальному уравкеннкс для ошибки (5.2) или по дифференциальному уравненнк1 для регулируемой величины (5.5) И'(р) —."") 0") ="(Р) 1=- "") (5.28> Е (Р) = 0 (Р) (Р)- и (Р) ' (5.27) й 5.3.
Законы регулирования Под закаколс регулироваяия или — в более общем случае — законом управления понимается алгоритм или функциональная зависимость, в соответствии с которыми управляющее устройство формирует управляющее воздействие и ((). Зта зависимость может быть представлена в виде иИ==Р(х б 7) (5.29) где г — некоторая, в общем случае нелинейная, функция от ошибки х задающего воздействия д и возмупьасощего воздействия 7, а также от их проиаводных и интегралов по времойи. Формула (5.29) обычно может быть записана следующим образом: и (с) = Рс (х) + кз (з) + Ес (7). (5.30) Первое слагаемое (5.30) соответствует регулированию по отклонению (прннцип Ползунова — Уатта), второе и третье — регулированию по внешнему воздействию (принцип Понселе).
Здесь мы рассмотрим только линейные законы, когда управляющее устройство вырабатывает величину и (() в функции ошибки в соответствии с линейной формой и(г) = )с,х+)с„~ ха(+ )с ~ ~ х с(с~+... +ксх+/ссх+... (5.31) или в операторной записи и(С) =)с,х+ — 'х+ — 'х+... +Сссрх+сссрзх+... (5.32) Регулирование по внешнему воздействию будет рассмотрено в з 9.2. 108 состав!!Ен!ук исхОдных уРАВненни систем !'ГгулиРОВАнпя нп ь Предположим вначале, что регулируемый объект представляет собой звено статического типа. Это означает, что в установившомся состоянии между регулируемой величиной и управляющим воадействием существует пропорциональная аависимость, вытекающая из (5.8) при равенстве нулю возмущающих воздействий: руат = )Сеиуст где 1ео --- И', (О) — коэффициент передачи объекта.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
