Бесекерский В.А., Попов Е.П. - Теория систем автоматического регулирования (963107), страница 16
Текст из файла (страница 16)
ф. х. для отрицательных частот может быть построена как зеркальное изображение относительно вещественной оси а. ф. х. для положительных частот. На ркс. 4.7 а. ф. х. для отрицательных частот показана пунктирной линией. Отмотим, в чем заключается смысл положительных и отрицательных частот. При помощи преобразования Фурье Х (/ю) = ~ х (1) е-Кз//(/ о функция времени х (/) преобразуется в функцию частоты Х ()оз). Это означает, что функция времени представляется в виде бесконечной суммы бесконечно малых по величине векторов, вращающихся на комплексной плоскости с различными угловыми скоростями (частотами) оз.
Эта сумма определяется формулой обратного преобразования Фурье з+в *()=-,— ' ~ Х() ). Ч, з— где с — абсцисса абсолютной сходнмости. Так как функция времени является вещественной, то каждому элементарному вектору Х ()ю) е/ з/з/о, вращающемуся против часовой стрелки (оз ~ О), должен соответствовать элементарный сопряженный вектор Х ( — /оз) е )оз/(оз, вращающийся по часовой стрелке (вз ~ О). В этом случае сумма таких векторов в любой момент времени будет всегда вещественной. Поэтому интегрирование в формуле обратного преобразования Фурье должно вестись по всем частотам от — оо до +со. С.. 4 днылмичвские звенья и их хАРАктегистики Примером представления функции времени в виде суммы сопряженных векторов, вращающихся в рааные стороны, может служить изображение гармонических функций по формулам Эйлера, например (4.10). Таким образом, положительные и отрицательные частоты имеют определенный смысл, так как они соответствуют положительным и отрицательным угловым скоростям вращения векторов на комплексной плоскости.
В принципе можно ограничиться рассмотрением только положительных частот. Однако при использовании всего диапазона частот от — со до +ос многие формулы получают более удобный и симметричный вид. Длина вектора, проведенного из начала координат в точку а. ф. х., соответствующую какой-то выбранной частоте, равна модулю частотной передаточной функции.
Угол между вектором и положительным направлением Ркс. 4.9. Рис. 4.8. вещественной оси, отсчитываемый против часовой стрелки, равен аргументу или фазе частотной передаточной функции. Таким образом, а. ф. х. дает возможность наглядно представить для каждой частоты входного воздействия авена отношение амплитуд выходной и входной величин и сдвиг фаз между ними. Построение а.
ф. х. по вещественной и мнимой частям частотной передаточной функции, как правило, является трудоемкой работой, так как умножение частотной передаточной функции на комплексную величину, сопряженную ее знаменателю, повышает в два раза степень частоты в знаменателе. Обычно гораздо проще строить а, ф. х., используя полярные координаты, т. е. вычислян непосредственно модуль и фазу.
Зная модуль и фазу, можно легко построить соответствующую точку па комплексной плоскости. В случае необходимости при известных модуле и фазе легко вычислить вещественную и мнимую части умножением модуля на направляющий косинус между вектором и соответствующей осью. Вместо а. ф. х. можно построить отдельно амплитудную частотную характеристику (а, ч, х.) и усазоеую частотную характеристику (ф. ч. х.). Это построение покааано на рис.
4.8. "Я Амплитудная частотная характеристика покааывает, как пропускает звено сигнал различной частоты. Оценка пропускания делается по отношению амплитуд выходной и 'входной величин. Фазовая частотная характеристика показывает фазовые сдвиги, вносимые звеном на различных частотах. Как следует из сказанного выше, модуль частотной передаточной функции представляет собой четную функцию частоты, а фаза — нечетную 65 в ом ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ ЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ П(ю).—. — — ~ Ни, Г к (о1) я а-.ы Ч- е у (со) .—. — ) с(и, (г (ео) (4 А 7) ф(ю) =+ У Ф1нс(Ь! Хз! а, где Х.
(и) =- 1п А (и), ) =- 1и —, а и — переменная интегрирования. Приведенные аависимости являются чрезвычайно важными, так как показывают, что частотная передаточная функция минимально-фазового звена илн системы полностью определяется заданием ее вещественной части У (ю), или мнимой части 1' (св), или модуля А (ю). Это позволяет упростить задачи анализа и синтеза минимально-фазовых систем, ограничиваясь, например, рассмотрением их вещественных или амплитудных частотных характеристик.
б 4.4. Логарифмические частотные характеристики Прологарифмируем выражение частотной передаточной функции (4А6): 1в И' ()ю) = 1п А (св) + (ф (ю), (4.18) Как видно из этого выражения, логарифм частотной передаточной функции равен комплексному выравкепию, веп(ественной частью которого является логарифм модуля, а мнимой — фаза.
Для практических целей удобнее пользоваться десятичными логарифмами и строить отдельно логарифмическую амплитудную частотную характеристику (л. а. х.) и лога рифми кскую фазовую частотную характеристику (л. е|с х.). Для построения л. а. х. находится величина 1, (со) = 20 18 | И' (1се) | = 20 1я А (ю).
(4.19) Эта величина выражается в децибелах. Бел представляет собой логарифмичоскую единицу, соответствующую десятикратному увеличению мощности. Один бел соответствует увеличению мощности в 10 раз, 2 бела — в 100 раз, 3 бела — в 1000 раз и т. д. 5 В. А. косогоровой, Е. П. Попов функцию частоты. Поэтому по результатам вычисления модуля и фазы для положительных частот можно сразу построить а. ч. х.
и ф. ч. х. для всего диапазона частот — оо с' ю ~ + оо. Можно построить также отдельно вещественную и мнимую частотные характеристики по функциям У (ог) и У (оо). Это построение показано на рис. 4.9. Как следует из скааапного выше, вещественная характеристика представляет собой четную функцию частоты, а мнимая характеристика— нечетную функцию частоты. Минимально-фазовые звенья и системы. В случае, если корни числителя и знаменателя передаточной функции И'(р) звена лежат в левой полуплоскости (при этом корни числителя и анаменателя частотной передаточной функции И" (1св) лежат в верхней полуплоскостн), такое звено называется минимально-фавовым. Как будет покааано ниже (см. $4.8), этим звеньям присущи меньшие по абсогиотной величине фазовые сдвиги по сравнению со звеньямн, у которых это условие пе выполняется.
Можно показать!121), что для минимально-фазовых звеньев существуют следующие зависимости: !гк, т динльптчнскнтт звнтп тт я нх хАРлктвт'тттттнтттт Децибел равен одной десятой части бела. Если бы А (то) было отношением мощностей, то перед логарифмом в правой части (4.19) должен был бы стоять множитель 10. Так как А (то) представляет собой отпошенионемощностей, а ныходной и входной величин (перемещений, скоростей,напряжений, токов и т.
и.), то увеличение этого отношения в десять раз будет соответствовать увеличению отнотнения мощяостей в сто раз, что соответствует двум белам или двадцати децибелам. Поэтому в правой части (4.19) стоит множитель 20. е" Один децибел соответствует изменению амплитуды в у' 10 раз, т. е. представляет сравнительно малую величину. Необходимость логарифмировать модуль частотной передаточной функции (4.19) приводит к тому, что, строго говоря, л. а. х.
может быть построена ек -lс сек только для тех звеньев, у которых передаточная функция представляет собой безразмерную величину. Это возможно при одинаковых размерностях входной и выходной величин звена. В дальнейшем изложении будет подразумеваться именно этот случай. Однако л. а. х. может условно строиться н для тех звеньев, у которых передаточная функция имеет какую-либо размерность. В этом случае некоторая исходная величина, соответствующая размерности передаточной функции, принимается за едиттнцу (например, 1 г слт,'град, 1 сек-', 1 атрид и т. и.) и под значением А (ст) понимается отношение модуля частотной передаточной функции к атой исходной единице. Это же замечание относится и к угловой частоте от, которая имеет размерность [сек '[ и которую приходится логарифмировать з соответствии с изложенным.
Для построения л. а. х. и л. ф. х. используется стандартная сетка (рис. 4,10). По осн абсцисс откладывается угловая частота в логарнфмиче- 67 з кы ЛОГАРИФМИЧКСКИГ ЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИНИ юю/ гу > Еойга А г т у 5 7 8 я А1 7. (со) '-'- 20 1и Л (ю) = 20 1я йо Л. а. х. представляет собой прямую, параллельную оси абсцисс (прямая 7 на рис. 4.10). 5" оком масштабе, т. е. наносятся отметки, соответствующие 1я ю, а около отметок пишется само акачение частоты ю в рад/сек. Для этой цели может использоваться специальная полулогарифмическая бумага. Однако удобнее использовать обычную миллиметровую бумагу„но масштаб по оси абсцисс наносить при помощи какой-либо шкалы счетной логарифмической линейки. По оси ординат откладывается модуль в децибелах (дб).
Для этой цели на ней наносится равномерный масштаб. Ось абсцисс должна проходить через точку 0 дб, что соответствует значению модуля Л (ю) = 1, так как логарифм единицы равен нулю. Ось ординат может пересекать ось абсцисс (ось частот) в произвольном месте. Следует учесть, что точка ю .= 0 ленсит на оси частот слева в бесконечности, так как 1л 0 — — оо. Поэтому ось ординат проводят так, чтобы справа от нее можно было показать весь ход л. а. х.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
