Бесекерский В.А., Попов Е.П. - Теория систем автоматического регулирования (963107), страница 13
Текст из файла (страница 13)
О). Следовательно, все частные производные в полученном уравнении (3.4) представляют собой некоторые постоянные коэффициенты. Они будут переменными во времени, если функция /' содержит Г в явном виде илн если установившийся процесс в системе определяется переменными значениями х', (г), х, '(г), х,'. (г). Члены высшего порядка малости, указанные в уравнезгпи (3.4), состоят из произведений и степеней малых отклонений Лх„Лх„... с коэффициентами в виде смешанных частных производных н частных производных второго и высших порядков от функции г' по всем переменным. Вычтя из уравнения (3.4) почлен~о уравнение установившегося состояния (3.2) и отбросив члены высшего порядка малости, получим искомое линеаризованное уравнение динамики данного звона в виде ( — ) Лх,+ ( — ) Лхз-,( — ) Лх,+ ( ) Лхз дв +( —.) Л',+( —..) Л,+( ...) Л, р(/,/) — р(/',О).
(3.5> Г ддзе ', Г дк'О ' ' дР1О дхз дгз ' ' дхз линеагизациягукавнений $ З.О Это дифференциальное уравнение, так же как и (3.1), описывает тот же динамический процесс в том же звене автоматической системы. Отличие этого уравнения от прежнего состоит в следующем: 1) это уравнение является более приближенным, ибо в процессе его вывода были отброшены малые высшего порядка; 2) неизвестными функциями времени в этом уравнении являются не прежние полные величины х,, х„хю а ил отклонения Лх„Лхз, Лхз от некоторых установившихся значений х'„х",, х',; 3) полученное уравнение является линейным относительно отклонегдР~ а ний Лх„Лхз, Лхю Лх„..., Лхз с постоянными коэффициентами ~д~~ ) (,.) згура — ),... (или с переменными коэффициентами, если г" содержит З в явном а~з виде, а также когда установкйшийся процесс определяется переменными величинами х', (г), х', (г), х', (г), например в програм- В мном регулировании).
б) Таким образом, цель по- с Б л учения линейного диффех Л-", ренциального уравнения взамен прежнего нелинейного ! достигнута. Уравнение (3.5) называется дифференциаль- х ным уравнением звена в от- 1 клонениял. Проделав то же самое для всех звеньев систе- Рнс. 3.2.
мы, получим в результате линеариаованные уравнения процесса регулирования в отклонениях (или, как называют еще. уравнения «в вариациях»). В дальнейшем можно будет проводить линеарнзацию нелияейныл урав- нений непосредственно по аналогии с формулой (3.5), не производя предва- рительпыл выкладок. Приведем геометрическую трактовну этого способа линеаризации.
Изоб- разим графически зависимость Г от х~ при постоянныл значениях всех остальных лоременныл: а О о х ~~~ха х~ — О~ хз — "х$ ха=-ха=-х3=0 Пусть эта зависимость имеет внд кривой, представленной на рис. 3.2, а. Отметим значение х," и проведем в точке С касательную.
Тогда ( — ) = 1я а, (3.6) где а — угол наклона касательной в точке С(х'„Р'), для которой э х1 == х1 Г=да= Е(х,', х,', О. х',, О, О. О). (3. 7) Замена х, = х', —;- Лх, и сокращение члеяа (3.7), производившиеся раньше аналитически, здесь эквивалентны переносу начала1 координат в точку С (рис. 3.2, а), в результате чего получается график рис. 3.2, б. Первый член линейного уравнения (3.5) согласно (3.6) означает, что линеаризация уравнения геометрически может трактоваться как замена первоначальной кривой СВ на касательную к ней прямую С0. Из графика рис.
3,2, 6 очевидно, что эта замена тем точнее, чем меньшие величины отклонения Лх, возникают в исследуемом динамическом процессе (основная 4* линеАРНЗАция уРАВнении систем РегулиРСВАния 144. 3 предпосылка для липеаризации); границы отклонений Лхз, для которых допустима линеарпзация, тем шире, чем ближе кривая СВ к прямой СП. Последним обстоятельством н определяются практически в каждой задаче те границы, внутрикоторых отклоненияможно считать «достаточно малыми». В ряде задач отличие от линейности, показанное на рнс. 3.2, б, бывает столь незначительным, что даже в сравнительно большом диапазоне отклонений ззхз можно считать систему линейной. В случае же ярко выраженной нелинейяой зависимости линеаризация будет справедлива лишь на соответствующем более узком участке отклонений ззхз.
Липеаризация может быть совершенно недопустимой при скачкообразных зависимостях (релейные характеристики, сухое трение). Такого рода зависимости называзотся существенно нелинейными. Важно отметить следующее. Воли по указанным причинам не может быть подвергнуто линеаризации уравнение только одного звена системы или даже только часть функции г" для данного звена, то производят линеаризацию всех остальных нелинейных зависимостей, оставляя только одну или несколько существенно нелинейных.
Второй способ лннеарпзацин. Из,'приведенной геометрической иллюстрации вытекает другой способ линеаризации уравнений системы автоматического регулирования, который весьма часто применяется иа практике. Этот способ заключается в том, что с самого начала все криволинейные зависимости, используемые при составлении уравнений звеньев, заменяются прямолинейными (по касательной в соответствующей точке кривой). Тогда уравнения звеньев сразу будут получаться линейными. В последующих главах разделов 11 и 111 будут использоваться линеаризованные уравнения динамических звеньев. Однако для упрощения записи значок Л перед переменными хз (Г), ез (4) и т.
д. будет опускаться в предположении, что зти переменные представляют собой малые отклонения от некоторого установившегося состояния и линеаризация уравнений уже проделана. й 3.2. О записи линеаризованных уравнений звеньев В теории автоматического регулирования в настоящее время принято записывать дифференциальные уравнения звеньев в двух стандартных формах. Первая форма записи. Дифференциальные уравнения записываются так, чтобы выходная величина и ее производные находились в левой части уравнения, а входная величина и все остальные члены — в правой части. Кроме того, принято, чтобы сама выходная величина входила в уравнение с козффициентом единица. А1тобы привести линеарнзованное уравнение (3.5) к такому виду, введем обозначения: (3.
8) т, =.~ Е.Р ~': ( —,." ) ", 'Ззз. Тогда уравнение (3.5) примет вид ТзЛхз+ Т~~йхз+ 4 зззхз+ Лхз — — й44зхз+ й 44Аз+ йзйхз+ й414 (4). (3.9) 53 О ЗАПИСИ ЛИНЕАРИЗОВАННЫХ УРАВНЕНИЙ ЗВЕНЬЕВ В случае, если нелинейная функция г" не содернгит величины х, а содержит только ее производные, т. е. если г арго !дрго в формулах (3.8) необходимо заменить ( — г на ( —.) . В реаультате дзз дзз получится уравнение Т«Лхз + Т|Лхз + Лхз — ЙгЛхг + сгЛхг+ й»Лхг+ с«г г (1)~ (3 10) где ( др)о ( др)о 7,4 ( др)о ( др)о чин ва входе и выходе звена, так и для лгобых безразмерных относительных отклонений, специально иногда вводимых для упрощения вида уравнений и удобства их исследования. Пре записи уравнений в стандартной форме коэффициенты гсг, йг, !сз, гсг называются козффиуиентами передачи, а Тг Тг, Тз — ггостоянными времени данного звена.
В случае звеньев, у которых выходная и входная величины имеют одинаковую размерность, для коэффициентов передачи используются также следующие термины: 1) козффиггиент усиления — для звена, представляющего собой усилитель или имеющего в своем составе усилитель; 2) передаточное число — для редукторов, делителей напряжения, масштабирующнх гу л) Лхг устройств и т. д.
Термин «коэффициент передачи» можно Рпс. 3,3. пояснить следующим образом. Коли подать на вход звена только постоянное значение Лх', (рис. З.З, б) и найти установившееся значение выходной величины Лх', (рис. 3.3, е), то из (3.9) получим Лх,' == кгЛхг. Таким образом, коэффи- циент 744 показывает отношение выходной величины звена к входной в установившемся режиме. Следовательно, коэффициент передачи определяет собой наклон (с уче- том масштабов по осям) линейной статической характеристики (звена (рис.
3.3, а). Заметим, что нелинейную характеристику звена часто называют Уравнения (3.9) и (3.10) удобнее записывать в символической форме, 44 введя алгебраизированный оператор дифференцирования р = — „, . Тогда уравнение (3,9) примет вид (Т„'рз + Тгз + Т р + 1) Лхз = йгЛхг + (гс + гс р) Лх + )447~ (г), (3.11) а уравнение (3,10)— (Тзр + Тгр+ 1) рЛхз = (сгЛхг+ (уз+)сзр) Лхг+ й«74 (4) (3.12) Эти записи ладо рассматривать только как сокращепяую форму более полных ааписей (3.9) и (3.10).
Стандартные формы записи уравнений авеньев автоматических систем (3.9) и (3.10) или их сокращенные виды (3 11) и (3 12) »го»к»го использовать как для размерных отклонений реальных вели- линеАРизАция уРАВнений систкм РВгулиРОВАпия (тл. 3 Выражения ( ) ь1 (р) (+тир+ т,р +т,рз ' (+ т,р+ т;рз+т[рз Ит ()= 7(" = (+т,р(-т[рз, т:„рз (3 14) (3.15) (3.16) называются в теории регулирования передаточными фупщиллзи. уравнение (3.13) можно представить в виде Ьхз (7) = И"т (р) Ахз (7) + Ихз (р) Ахз (7) + И'7 (р) 7'з (7). (3.17) Выражения (3.13) и (3.17) представляют собой символическую запись дифференциального уравнения (3.9).
Передаточные функции, формулы для которых устанавливаются выражениями (3 14) — (3 16), вводятся для сокращения записи дифференциальных уравнений и также представляют собой символическую запись дифференциальных уравнений, Более строго передаточная функция определиется через изображения Лапласа или Карсена — Хевисайда (см. главу 7). Если ввести изображения, например по Лапласу, входных и выходных величин авена: АХз (г) = Т [Ах, (7)1, ЬХз (г) = 1, [Ахз (7)1, ЬХ ( ) =- Ь [А~~ (г)], Р~ (з) = Т [~~ (7)1, где г = с + 7'то — комплексная величина, то передаточную функцию (3.14) можно строго определить как отношение изображений выходной н входной величин звена: Их с)(з (з) "! (3.18) ЬХт (з) 7+ Т,з-~- Тзззз-(- Т',хз ' при нулевых начальных условиях и равных нулю остальных воздействиях на звено; АХз (г) = 0 и Р, (з) = О. Аналогичным образом можно определить характеристикой с переменным по входной величине коэффициептом передачи.
Из (3.9) очевидно, что размерность л,— размерность выходной величины ахз разморность входной величины Ьх1 В размерность коэффициента передачи может входить также время Так, из уравнении (3.9) следует, что размерность йхз Х равмерность з размерность )тз —..- размерность лаз а из уравнения (3.10) следует, что для такого звена размерность Ахз размерность )3— размерность йх1 Х размерность з Постоянные времени Т„Тз и Т„как следует из уравнений (3.9) н(3.10), имеют размерность времени.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
