Бесекерский В.А., Попов Е.П. - Теория систем автоматического регулирования (963107), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Рис. 4.4. Рис. 4.5. только при г )~ О, при ~ с. О она обращается в нуль. Это иллюстрируется рис. 4.4. Функция веса й (Г) представляет собой реакцию звена на единичную импульсную функцию, поданную на его вход (рис. 4.5). Единичная импульсная функция, или дельта-д)уквция, представляет собой производную от единичной ступенчатой функции: б (г) = 1' (г). Дельта-функция тождественно равна нулю повсюду, кроме точки г = О, где она стремится к бесконечности. Основное свойство дельта-функции заключается в том, что + О (4.3) т.
е. она имеет единичную площадь. Из последнего выралсения следует, что размерность единичной дельта- функции равна (сек '1. Дельта-функция может быть представлена как предел некоторого выражения, например: б (~) = )пп ае- Ч (г) . Нетрудно установить связь между переходной функцией и функцией веса. Рассмотрим входное воадействие звена в виде конечного по высоте и ширине импульса с площадью Хз = 1, прикладываемого при г' = О (рис.
4.6). Такой импульс может быть заменен двумя ступенчатыми функциями )т' 1 (г) 60 динлмичнскив зввнья и нх хагхктвгнстики рчь и — Л~ 1 (à — е), прикладываемыми ко входу звена со сдвигом во времени е. Тогда выходная величина звена будет равна хв (г) ~~ (~ (г) ~ (г з))' (4.4) Будем теперь увеличивать высоту импульса Х, одновременно уменьшая его ширину з, но так, чтобы все время площадь импульса равнялась единице, т. е. Л'з = 1.
Помножив и поделив правую часть равенства (4.4) на з и перейдя к пределу, получим функцию веса Ро (ь (в) — ь (в — г)) Ль 0) ш(г) = Вш о- о е ш (4.5) )г' (р) = ~ ш (г) е ш й. о (4.6) В свою очередь переходная функция авена связана с его передаточной функцией преобразованием Карсона, т. е. имеет место интегральное преоб- разование И' (р) = р ~ )в (г) а " йС. о (4.7) Для входного воздействия произвольного типа, прикладываемого в момент ~ = О, переходный процесс на выходе звена при нулевых начальных условиях может быть определен на основании интеграла Дюамеля — Карсона Таким образом, функция веса мояоет быть по- лучена дифференцированием по времени переходной х/ функции. В случае, если на вход звена поступает нееди- ничная импульсная функция х~ =-66 (г), на выходе У звена получится хв == 6ш (г). Более строго функцию веса можно определить д как отношение выходной величины звена хв (в) к площади поданного на его вход импульса х~ (в) =- а Л/ =--.
66 (г), т. е. и (в) =- 6 'хв (г). При этом размерность ш (в) соответствует размерности передаточной функции звена, деленной па время. Импульсная функция также представляет собой распространенный вид входного воздействия в автоматических системах. К такому виду можно свести, например, кратковременный удар нагрузки на валу двигателя, кратновременный ток короткого замыкания генератора, отключаемый плавкими предохранителями, и т. п. В действительности реальные импульсные воздействия на автоматическую систему всегда будут конечными по величине и продолжительности. Однако в случае, если нх продолжительность весьма мала по сравнению с временем переходного процесса звена или автоматической системы, то с большой степенью точности реальный импульс может быть заменен дельта-функцией с некоторым масштабирующим коэффициентом, что позволяет оценить переходный процесс по виду функции веса.
Функция веса звена связана с его передаточной функцией преобразованием Лапласа, а именно: передаточная функция есть иаображепие функции веса и связана с ней интегральным преобразованием ЧАСТОТНАЯ ПВРКДАТОЧНАЯ ФУНКЦИЯ ао переходной функции: с хэ(С) =х,(О)й(С)+ ~ х,(т) Ь(С т) дт, о или по функции веса: (4.8) ! хв (с) = ) х, (т) и> (с — т) сст, е (4.9) где т — вспомогательное время интегрирования, изменяющееся в пределах от нуля до рассматриваемого текущего момента времени П Более подробно методика нахождения переходного процесса при произвольном входном воздействии будет рассмотрена в главе 7.
$ 4.3. Частотная передаточная функция и часточмые характеристики Важнейшей характеристикой динамического звена является его частотпая передаточная функция. Для получения ее рассмотрим динамическое звено (рис. 4.1) в случае, когда возмущение ~ (~) = О, а на входе имеется гармоническое воздействие хс = Х,м соз юс, где Хсм — амплитуда, а о>— угловая частота этого воздействия. На выходе линейного звена в установившемся режиме будет также гармоническая функция той же частоты, но в общем случае сдвинутая по фазе относительно входной величины на угол >[>. Таким образом, для выходной величины мол!но записать хв = Хв„соз (юс + 1[>). Воспользуемся формулой Эйлера и представим входную и выходную величины в виде суммы экспоненциальных функций; х, = — '" [ес"'+ е >"'[ =- х'+ х", ! 2 1 ! х = — !м[ессм!+э> -[-е-я!о!+э>[ =х -[-х .
х 2 О 2' ) (4 ЛО) х1 —— Х!месм!, х = Х„ед !+Э> (4.11) Символичность этой сокращенной ааписи заключается в отбрасывании составляющих с множителем е С"1. Для нахождения соотношения между входной и выходной гармоническими величинами звена воспользуемся его дифференциальным уравнением в виде 2 сГ>хс с>хо ахс то + тс + х2 й1х! + /с спв ас ес ') Ииогда употребляют символическую запись 21п ФС = о>"с.
В линейной системе на основании принципа суперпозицин можно рассмотреть отдельно прохождение составляющих х, и х,. Кроме того, можно легко показать, что достаточно рассмотреть прохождение только составляющей х'„которая в выходной величине дает составляющую х,'. Соотношение между составляющими х," и х, получается таким >ке, как между х', и х,'. Поэтоыу в дальнейшем рассмотрении воспользуемся символической записью ') соз о>С = е>"".
Тогда динАмические 3Венья и их ХАРАБТИРР[ст)!ки [го. о Из выражений (4.11) определим производные: о) — =. уаХ,„е)в, ш — ' =- уаХе,„е)[""+о[, — ) =- (уа)з Х, е)[)о)+ч) Подставив значения входной и выходной величин и их производных в исходное дифференциальное уравнение, получим: Т," (Уа)о Хз„е)["'+Е) + Т)УаХзиеУ[а+Е>+ Хзиедщ "Ч) = Ус)Хоче[во + УЧУаХ)„е) "', откуда после сокращения на общий множитель е)ча найдем: (4.13) И' (уа) =- 4 (а) е)в == (У (а) + ур (в), (4.16) где А (в) — моу[уль частотной передаточной функции, )р (в) — аргумент или фаза, УУ (а) и Р (а) — вещественная и мнимая составляющие частотной передаточной функции. Ыодуль частотной передаточной функции находится как отпо[пение модулей числителя и знаменателя.
Для рассмотренного выше примера (4.12) ~'Уг," -,— И1о)з 1)([ — т)ае)з [- г)ве Аргумент или фаза частотной передаточной функции находится как разность аргументов числителя н знаменателя. Для (4 12) имеем: к)0) т)в )() (в) — — агсся — „— агс[и (4 12) Это выражение называется частотной передаточной функцией звена.
Таким образом, частотная передаточная функция Иг (уа) представляет собой комплексное число, модуль которого равен отношению амплитуды выходной величины к амплитуде входной, а аргумент — сдвигу фаз выходной величины по отношению к входной: В) ой И' (уо)) = ) И' (уа) 1 —.- — "' Х)1 ' зги И'(уа) =-)р. В более общей формулировке для входного сигнала любого вида частотную передаточную функцию можно представить как отношение изображений Фурье (частотных изобрая'ений) выходной и входной величин: И (уа) = х ( „,)- = И' (Р) [Р— уо (4.14) х) (уа) что непосредственно вытекает из формулы (4.1)при переходе от изображения Лаплас» к изображению Фурье; следовательно, частотная передаточная функция легко получается из обычной передаточной функции подстановкой Р =Уо) Частотная передаточная функция звена есть изображение Фурье его функции веса, т.
е. имеет место интегральное преобразование [Г(уа) = ~ в(у) и ""'йу. (4.15) о Частотная передаточная функция может быть представлена в следующем виде: члстотнля пкгкдлточнля фгнкция Для нахождения вещественной и мнимой частей частотной передаточной функции необходимо освободиться от мнимости в знаменателе путем умножения числителя и знаменателя на комплексную величину, сопряженную знаменателю, и затем произвести разделение на вещественную и мнимую части. Для (4А2) йз (1-- Тзз/оз) + йзТ/из И Тьо )з+Тр йззо (1 — Тезка) — й/Т/и (1 — Т$шз) з + Тзззз Для наглядного представления частотных свойств звена использузотся так называемые чаототкые характеристики.
Алзплитудно-у/азовал чаепзотная харанп/ериетика (а. ф. х.) строится на комплексной плоскости. Она представляет собой геометрическое место концов векторов (годограф), соответствукпцих частотной передаточной функции И/ ()оз) =-- (/ (е/) + /)/ (/о) при изменении частоты от нуля до бесконечности ео9 (рис.
4.7). По оси абсцисс откладывается веществен- о// ная часть У (оз) — -- Ке И' () оз) и по оси ординат — мнимая часть з/ (оз) =: 1ш И'(/оз). Для каждой частоты на комплексной плоскости наносится точка. Полу- оз р чекные точки соединяются затем плавной кривой. е р во / / Около нанесенных точек можно написать соответ- 1 // / ствующие им частоты ю„юз, озз и т. д. 1 / е А. ф, х. может быть построена как для полоя<ительных, так и для отрицательных частот. При аамене в частотной передаточной функции +е> на †/о получится сопрях/енная комплексная величина. Поэтому а.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
