Бесекерский В.А., Попов Е.П. - Теория систем автоматического регулирования (963107), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Вторая форма записи. Считая условно оператор дифференцирования о' р = —, алгебраической величиной, решим уравнение (3.11) относительно ВЫХОДНОЙ ВЕЛИЧИНЫ: Ьхз (7) = — ", )- —,—.= —. + Азах~ (с) (ьзхр "зр) йхз(0 З (+тзр+ 7 Вра+Тара (+тзр+ Тзарв+ Тхзрх (3.13) + (+т,р [ т,рз-гтзр' ' О ЗАПИСИ ЛИНЕАРИЗОВАННЫХ УРАВНЕНИЙ ЗВЕНЪВВ передаточные фупкции (3.15) и (3.16). Поэтому вместо дифференциального уравнения (ЗЛ7), куда входят функции времени /зх/ (У), /зхз (1)/ Ьхз (У) и у/ (1), можно написать при нулевых начальных условиях уравнение для изображений в виде совпадающем по форме с (3.17): ЛХз (г) = И", (г) У(Х1 (з) + И'з (г) ЬХз (г) + И'/ (г) Р/(г)/ (3.19) или в разверпутом виде: АХ /г~ ///А" /(з) ("з+ "зз) Ах/(з) (3.20) 1+ т/з .~-Т'зз -/-Тз/з 1.
Р Т/з.) Т1/з-1. Т1/з+ 1+ Т/з+ Т(зз+ Т1/з' В двух последних выражениях фигурируют не функции времени, .а их изображения: /зХ/ (г), ЛХз (г), ЛХз (г) и Рз (г), где г = с + уез— комплексная величина. В иаображениях Лапласа и Кареока — Хевисайда комплексная величина часто обозначается той же буквой р, что и оператор дифференцирования, причем р = с + уо/. В этом случае уравпение (ЗЛ9) будет иметь вид ЬХз(р) =- И'/ (р) /зХ/ (р) + Итз(р) бХз (р) + И'т (р) г"/ (р) (3 21) Здесь, как и в уравнении (3.19), фигурируют изображения функций /АХ1 (р), ЛХз (Р) йХз (Р) к р/ (Р).
з/ В дальнейшем будет употребляться символ дифференцирования р =— з/ для символической записи дифференциальных уравнений, куда входят функции времени Лх/ (1), узхз (у) и т. д., и комплексная величина р = с + ую для записи /ух/ з/ уравнений с изображениями /+т/// /т///'+ т/// з функций времени по Лапласу или Карсону — Хевисайду /з Х/ (р), ЛХз (р) и т. д. Запись пеРедаточных фУнкЦий звена и /)хг Аз+Азу/ лхз в том и в другом случае сливается в одну: И// (р), И'з (р) и т.
д. Однако в передаточных .функциях буква р будет означать символ дифферекцирова/у / ния р = — или комплексную /у/ /+ тт/ +т/Р/зтз,тз / '/' 3/' величину р = с+ уоз в аави<иззости от того, рассматривают- Рвс. 3.4. ся ли функции времени или их изображения. Понятие передаточной функции весьма удобно при анализе так называемых структурных схем. Так, например, звено, изображенное на рис. ЗЛ, после линеаризации, которая была проделана в предыдущем параграфе, можно представить в виде структурной схемы, показанной на рис. 3.4. Передаточные функции звеньев или отдельных участков схемы позволяют легко получить общее уравнение всей системы в виде (ЗЛЗ) или (3.20), а в дальнейшем в случае необходимости перейти к исходному дифференциальному уравнению вида (3.
9). Подобным же образом могут быть получены передаточные функции и структурные схемы и для других дифференциальных уравнений звеньев, например для рассмотренного выше уравкеиия (3.10). Подробнее этот вопрос изложен в $ 5.4. ГЛАВА 4 ДИНАМИЧЕСКИЕ ЗВЕНЬЯ И ИХ ХАРАКТЕРИСТИКИ 5 4.1. Общие понятия Как уже было сказано, для расчета различных систем автоматического регулирования они обычно разбиваются на динамические звенья.
Под динамическим звеном понимают устройство любого физического вида и конструктивного оформления, но описываемое определенным дифференциальным уравнением. В соответствии с этим классификация звеньев производится именно по виду дифференциального уравнения. Одним и тем же уравнением могут описываться весьма разнообразные устройства (механические, гидравлические, электрические и т.
д.). Для теории автоматического регулирования это будет один и тот же тип звена. Конкретные же г® элементы автоматических систем, их теория, конструкция и расчеты излагаются в соответствующих учебниках и руководствах. х, хг Обозначим входную величину звена через хы а выходную через хз (рис. 4.1). Возмущение, действующее на звено, в соответствии с изложенным выше обозначим г' (г). Рис. 4.С Статическая характеристика любого звена мо- жет быть изображена прямой линией (рис. 4.2), так как пока будут рассматриваться линейные илн, точнее, линеаризованные системы.
В звеньях позиционного, или статического, типа линейной зависимостью хз = йх~ связаны выходная и входная величины в установившемся релгиме (рис. 4.2, а). Коэффициент пропорциональности )г между выходной и входной величинами представляет собой коэффициент передачи звена. В звеньях интегрирующего типа линейной зависимостью — ' =- )гхг ш свяааны производная выходной величины и входная величина в установившемся режиме (рнс.
4.2,6). В этом случае для установившегося режима будет справедливым равонство хг —— й ') х~г[г, откуда и произошло название этого типа звеньев. Коэффициент пропорциональности й в этом случае также является коэффициентом передачи звена. Если входная и выходная величины звена имеют одинаковую размерность, то коэффициенту передачи соответствует раамерность [сея '). В звеньях дифференцирующего типа линейной зависимостью хз = Й— Игг ш связаны в установившемся режиме выходная величина и производная входной (рис. 4.2, в), откуда и произошло название этого типа звеньев. Коаффициент пропорциональности А является коэффициентом передачи звена.
Если 57 1 <л) овщик понятия входная и выходная величины имеют одинаковую размерность, то коэффициенту передачи соответствует размерность (сек). Классификация звеньев, как уже отмечалось, производится по виду дифференциального уравнения или, что то же, по виду передаточной функции звена. Предположим, что звено, изображенное па рис. 4.1, описывается Рис. 4.2. дифференциальным уравнением, представленным в стандартной форме: Т< — ~+Т +ха=)<<х<+ 7<т (-)<зД() При нулевых начальных условиях, т.
е. в том случае, если для 1( О входная и выходная величины, а также их производные тождественно равны нулю, и при отсутствии вве<пнего возмущения (7 (1) = О) может быть найдена передаточная функция звена как отношепи изображений по Лапласу (илн Карсону) выходной и входной величин: )р хг(Р) (<<+)<хр )<<(1+тзр) (4.1) Х<(р) 1, т<р+т,'рз 1 — 'т<р+т',рэ' ~2 где (<< — коэффициент передачи звена, Т, = — — постоянная времени.
При известной передаточной функции1 выходная величина (точнее, ее изображение по Лапласу или по Карсону) может находиться яз вырая<ения х, (р) = и (р) х, (р). Аналогичным образом может быть найдена передаточная функция звена по возмущению, если положить при нулевых начальных условиях входное воздействие равным нул<о (х, == О). Тогда искомая передаточная функция будет равна отношению изображений выходной величины н внешнего возмущения: г (р) 1-, т<р,- т;р<' х,(р) (4.2) В дальнейшем излон<енин для характеристики звена будет использоваться в основном передаточная функция, так как именно она дает связь между входной и выходной величинами, что необходимо знать при использовании того или иного звена в автоматической системе.
В соответствии с этим в табл. 4.1 приведены передаточные функции десяти разновидностей так называемых типовых динамических звеньев. Под типовым звеном понимается такое звено, которое описывается дифференциальным уравнением не выше второго порядка.
Характеристики типовых звеньев рассматрива<отся более подробно них<е. В табл. 4.1 не приводятся сведения о большой группе так называемых корректиру<ощих звеньев, используемых для улучшения динамических качеств автоматических систем. Эти звенья будут рассмотрены в главе 10. (ги. ь Таблица 4Л Типовые звенья тип звени Передаточная функция рр(р) .й Безынерционное 1с 1 —,Тр Апсриодичсское 1-го порядка Е Е сс сс Апериодическос 2-го порядка )У (р)— й )с 1 024Тр гТтрз 2~ рз + д дз Колебательное й й 1 -,'- Тзрт рз 1+ Р дт Консервативное И'(р) =— й Р Идеальное пнтссрирующее й "'- р((-,тр) Интегрирующее с замедлением И'[р) =- — —,-йс =- )с й(1с-Тр) йс 7=в р ' р ' й Изодранное И'(р) =йр Идеальное дифференцирующие и'(р)= 1,.т Дифферонцирующес с замедле- нием 10 3 4.2. Временнйе характеристики Динамические свойства звена могут быть определены по его переходной функции и т функции веса.
Переходная функция, или переходная характеристика, )з (т) представляет собой переходный процесс на выходе звена, возникающий при подаче на его вход скачкообразного воздействия при величине скачка, равной единице (рис. 4.3). Такое входное воздействие называется единичной ступенчатой функцией и обозначается хс (с) = 1 (1), что соответствует хс — — О при г «~ О и х, = 1 при 1 ) О. Предполагается, что единица имеет ту же размерность, что и физическая величина на входе звена.
к Е Ф щ динАмические звенья и их хАРАктеристики й И' (р) =- 1 — т,р, тр й (1+т р)(1 ст р) Тз,с=. ч А- )с' —,— Тс(тс ) 2Тс] ВРЕМЕННЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ Если входное воздействие представляет собой неедипичную ступенчатую функцию х, =- )У 1 (Г), выходная величина будет равна хз = ХЬ (Г). Более строго переходную функцию можно определить как отношение выходной величины звена хз (с) к высоте ступенчатого скачка х, (~) = Х 1 (з) на его входе, т.
е. Ь (г) = Х ~ хз (О. При этом размерность Ь (~) соответствует размерности передаточной функции звена. Ступенчатая функция представляет собой распространенный вид входного воздействия в автоматических системах. К такому виду сводятся мгновенное изменение нагрузки электрического генератора, мгновенноевозраст»- ние нагрузки на валу двигателя, мгновенный поворот входного валика следящей системы и т. п. Умножение какой-либо функции времени х (О на единичную ступенчатую функцию 1 (з) означает, что функция времени х (~) будет существовать Рис. 4.3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
