УТС22 (962825), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

где  - вспомогательное время интегрирования.

Если  0, то

,

Заменяя в формуле Дюамеля-Карсона верхний предел t на , получим:

Существуют стандартные подпрограммы на ЭВМ для расчета свертки.

Найдем процесс по переходной функции:

x (t) y(t) = ?

W(s)

X(s) Y(s) = ?

Запишем в изображениях связь между входом и выходом:

;

,

• формула для определения Справедлива только при нулевых н.у., когда добавка равна нулю.

2.12. Mетод переменных состояния.

u ₁

W(s)

m CAP p

Система имеет много передаточных функций: количество ТХР. Поэтому для таких многомерных систем удобно другое математическое описание.

u₁(t) x ₁ (t) y₁(t)

u₂(t) x₂(t) y₂(t)

u_m(t) x_n(t) y_p(t)

Между «половинами» существуют внутренние переменные , для каждой из которых можно записать линейное ОДУ первой степени.

Обычно . В матричной форме эта система записывается в виде:

,

где - вектор столбец производных переменных состояния;

- вектор столбец переменных состояния;

- вектор выхода; - вектор входа (или вектор управления);

– собственная матрица системы ;

- постоянные коэффициенты;

– матрица входа ; - какие-то постоянные коэффициенты;

– матрица выхода ;

– матрица обхода или дополнительная матрица выхода ;

Собственная матрица системы однозначно определяет динамические свойства системы:

-

первая система представляет собой систему ОДУ в обыкновенной форме Коши, вторая часть - система уравнений, описывающих выход. ОДУ в форме Коши подразумевают наличие начальных условий.

В нашем случае почти всегда все элементы матрицы D будут нулевыми  D = 0.

Такое описание системы позволяет с одной стороны стандартным образом описывать стандартные системы, используя богатое программное обеспечение, с другой стороны для простых систем, описанных в переменных «вход-выход», переход к описанию в переменных состояния зачастую позволяет устранить технические трудности, связанные с решением ОДУ высокой степени.

Поэтому в дальнейшем мы и будем использовать подобное описание.

2.12. Переход от описания переменных «вход-выход» к переменным состояния и обратно

Рассмотрим несколько вариантов перехода. Переход зависит от правой части:

2.12.1. Правая часть содержит только b₀ u(t)

Допустим, что :

Введем новую переменную х₁.

Первое уравнение системы:

.

; ; ; .

2.12.2. Правая часть общего вида

Сделаем преобразования: перейдем к уравнениям динамики в изображениях:

Начальные условия нулевые.

, (*)

где , - полиномы.

Разделим все уравнение (*) на полиномы :

- какая-то комплексная величина (отношение двух комплексных величин).

Можно считать: , - изображение какой-то переменной

Рассмотрим: и преобразуем: , где - какой-то дифференциальный оператор.

+ н.у.  получится задача Коши 

получим вектор переменных состояния  .

Найдем теперь регулируемую величину:

Рассмотрим: 

Перейдем к оригиналам:

Пример:

u(t) y(t)

W(s)

U(s) Y(s)

н.у. нулевые.

Необходимо свести задачу к нормальной форме Коши.

;

Разделим левую и правую части на 

Перейдем от изображений к оригиналам:

,

первое матричное уравнение:

- н.у.. Получаем задачу Коши для ОДУ. 

 - найдены.

Рассмотрим : ;

.

Получили второе уравнение матричной системы:

; ; .

2.12.3. Обратная задача

Цель: Имея описание системы в переменных состояния, перейти к описанию в переменных «вход-выход».

x₁

x₂

u y

x_n

u_m(t) y_p(t)

W_p,m(s)

- одно конкретное управляющее воздействие и соответствующая регулируемая величина.

Существует несколько алгоритмов, которые позволяют рассчитать передаточную функцию:

1. Алгоритм Фадеевой

2. - алгоритм

3. - алгоритм (крайне редко пользующийся).

,

индексы «3» - для 3-ей управляемой величины; «2» - по 2-му управляющему воздействию.

- одна и та же функция, меняющая только числитель.

Пример: Имеем:

Введем переменные: ;

u(t) W_1,1(s) y(t) x₁(t)

x₁ y₁(t)

u(t)

x₂ y₂(t)

,

По определению , ,

Т.к. 

Используя преобразования Лапласа, получим:

Подставим соотношения в систему уравнений 

Система 2-х линейной алгебраический уравнений:

.

Система :

; - правило Крамера

Вспомогательные определители системы:

Более предпочтительно использование в знаменателе собственных чисел (см. далее).

2.13. Математическая модель кинетики нейтронов в «точечном» реакторе «нулевой» мощности. Вывод передаточной функции, переходной и весовой функций.

Дадим краткое пояснение ряда терминов, используемых в заглавии данного подраздела:

1. «Точечный»  означает, что хотя реактор и представляет собой пространственный объект, тем не менее кинетика (изменение во времени) нейтронов может быть условно описана «материальной точкой », имеющей такие же свойства (в динамическом плане), что и реальный реактор  т.е. пространственные размеры (диаметр, высота) не учитываются.

Такое допущение вполне корректно для большинства реакторов: реакторы малой энергетики, лодочные (транспортные) реакторы и с некоторым допущением и большие реакторы (ВВЭР, PWR, BWR, HTGR и т.д.).

2. «Нулевой »  означает, что либо мощность (энерговыделение) реактора незначительна и поэтому ее изменение не влияет на нейтронно-физические характеристики, либо хотя мощность и немала, но внутренние обратные связи (обусловленные различными эффектами реактивности, например, мощностным, температурным, плотностным и т.д. эффектами) не учитываются.

3. «Кинетика »  практически тождественно слову «динамика», но в теории управления ядерными реакторами принято называть нестационарные режимы в балансе нейтронов в реакторе без обратных связей термином кинетика. Если учитываются обратные связи (внутренние и внешние), то тогда используется термин динамика ядерного реактора.

Прежде чем выводить уравнения кинетики нейтронов сделаем еще ряд допущений (к вышеописанным 1 и 2 допущениям):

 будем считать, что на кинетику влияют в основном тепловые нейтроны  т.е. одногрупповое приближение;

 будем считать, что запаздывающие нейтроны могут быть описаны 1-ой эффективной группой, хотя обычно запаздывающие нейтроны подразделяются на 6 групп со своими постоянными распада ядер-предшественников запаздывающих нейтронов.

осколок

запаздывающий нейтрон

₀ n ¹ ядро

мгновенные 2 3 нейтрона

U ²³⁵

Осколок – запаздывающий ₀ n ¹

Из курса «ФЯР» известно, что доля мгновенных нейтронов, рождаемых от деления ядра, составляет  99%, т.е. доля запаздывающих нейтронов составляет  0.250.7% от общего числа рожденных нейтронов.

Запаздывающие нейтроны вылетают из осколков через относительно большое время после деления ядра: обычно от сотых долей секунды до сотен секунд, в то время как мгновенные нейтроны через  1 мсек ( или еще быстрее, например, через 10100 мксек).

Из курса «ФЯР» известно следующее нестандартное уравнение баланса нейтронов в реакторе в одногрупповом (по энергии нейтронов) приближении:

(2.13.1)

где П_мгн = - порождение мгновенных нейтронов первичными нейтронами;

- порождение запаздывающих нейтронов за счет распада ядер-предшественников з.н;

- поглощение нейтронов;

- утечка нейтронов из реактора за счет диффузии, гдеD – коэффициент диффузии, - геометрический фактор (параметр).

- внешний источник нейтронов;

- порождение ядер – предшественников запаздывающих нейтронов;

- распад ядер – предшественников запаздывающих нейтронов.;

- плотность нейтронов, или ;

- поток нейтронов, или ;

v(t) – средняя скорость нейтрона в реакторе (в одногрупповом приближении).

C(t) – концентрация ядер-предшественников запаздывающих нейтронов, или .

После подстановки составляющих в систему (2.13.1) 

(2.13.2)

Необходимо подчеркнуть, что если К_эфф = 1, то доли:

- доля мгновенных нейтронов во втором поколении;

- доля запаздывающих нейтронов во втором поколении;

Опуская подробные выкладки, но тем не менее вводя новые обозначения:

- эффективный коэффициент размножения;

- реактивность (  1);

- время жизни мгновенных нейтронов без учета утечки из реактора;

- время жизни мгновенных нейтронов с учетом утечки (  ;

- квадрат длины диффузии нейтрона;

Примем для простоты, что внешнего источника нет  . Преобразим 1-е уравнение системы (2.13.2) 

 окончательно:

(2.13.3)

Характеристики

Список файлов лекций