УТС22 (962825), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Обобщая на производную n-го порядка при нулевых начальных условиях, имеем:

(2.5.11)

2.5.2. Использование преобразования Лапласа для операции интегрирования

Пусть известно преобразование f(t) F(s). Необходимо найти ???  по аналогии с предыдущим 

Окончательно:

(2.5.12)

Если начальные условия равные нулю:

(2.5.13)

2.6. Основные свойства преобразований Лапласа

2.6.1. Свойство линейности

Пусть есть процессы f₁(t) и f₂(t), каждый из которых имеет свое изображение по Лапласу: f₁(t) F₁(s); f₂(t) F₂(s). Если  то 

(2.6.1)

Если f(t)=a f₁(t), то:

(2.6.2)

2.6.2. Свойство подобия (свойство изменения масштаба)

Пусть f(t) F(s) - известно, а ??? 



(2.6.3)

2.6.3. Свойство запаздывания (теорема запаздывания)

Пусть известно преобразование f(t) F(s), а - неизвестно.

Рисунок 2.18 – Иллюстрация переходного процесса с запаздыванием

(2.6.4)

2.6.4. Свойство смещения в комплексной плоскости

Пусть f(t) F(s) - известно, а - неизвестно.  Опуская выкладки (хотя они и неложные), имеем 

(2.6.5)

2.6.5. Первая предельная теорема

Пусть f(t) F(s) - известно, а также - существует 

(2.6.6)

s

1. t

Это означает, что оси « t » и « s » формально направлены в противоположные стороны, т.е. чем больше t, тем меньше s и наоборот.

2.6.6. Вторая предельная теорема

Пусть f(t) F(s) - известно  тогда

(2.6.7)

2.7. Способы нахождения обратных преобразований Лапласа

по известному изображению

Вычисление оригиналов по известному (данному) изображению можно выполнить:

• по соответствующим таблицам преобразований Лапласа;

• по формулам Хэвисайда;

• разложением на элементарные дроби;

• и другие способы.

В справочниках по «Математике» приводятся довольно обширные таблицы, по которым можно найти оригиналы большинства изображений.

Однако, нередко бывают и случаи, когда необходимое преобразование отсутствует в таблицах  В этом случае используются различные специальные способы 

Если изображение F(s) можно представить в виде отношения полиномов по степеням «s » , то наиболее общим и эффективным способом поиска оригинала является формула Хэвисайда.  если

где D₁(s) и D₀(s) – полиномы по степеням «s ».

, (2.7.1)

где s_j – полюса изображения, т.е. те значения «s » при которых полином D₀(s) обращается в ноль;

k_j – кратность j – го полюса

Если уравнение D₀(s)=0 имеет n различных корней, то это означает что полюса F(s) имеют кратность, равную единице, т.е. нет повторяющихся полюсов.

Необходимо отметить, что использование формулы (2.7.1) будет корректно только в том случае, когда степень полинома D₀(s) выше степени полинома D₁(s). Если степени равны, то необходимо выделить целую часть (разделив «в столбик» полиномы) и чисто дробную часть, после чего для чисто дробной части корректна формула (2.7.1).

В качестве иллюстрации возможностей формулы Хэвисайда рассмотрим следующий пример:

Пример 1. Найти оригинал от изображения F(s) 

 ???

В данном примере полином D₁ выродился в полином нулевой степени, т.е.

D₁ = const = A.

Легко видеть, что полином D₀ = s²(TS + 1) имеет полюса:

 т.е. два полюса совпадают  к₁ = 2.

Таблица основных преобразований Лапласа.

2.8 Некоторые способы нахождения оригинала по известному изображению

Используем формулы разложения в ряды на элементарные различные дроби. Наиболее общей является формула Хэвисайда для нахождения оригиналов следующего вида:

где D₀ и D₁ – некоторые полиномы по степеням «s». Например:

, тогда для нахождения оригинала  :

,

к_j – кратность полюсов  - значение полюсов;

Корни уравнения из полинома D₀ – полюса (D₀)

Корни уравнения из полинома D₁ – нули (D₁).

Если все корни разные, к_j = 1; если корни кратные (i равных), то к_j = 2; если к_j = 1, то производной (!) нет.

Пример: предположим изображение некоторого неизвестного процесса

; ?

;

Найдем полюса:

 ; ;

 ; 

 ; 



f(t)

arctgA

t

Разложение на элементарные дроби.

Если корни уравнения различны, т.е. все разные 

(*)

где - корни уравнения; - остаточный член (не разлагается на элементарные действительные дроби);

Используя свойство линейности преобразований Лапласа, мы можем найти как сумму преобразований:

Если полюса совпадают, то формула (*) несколько изменится.

Пример: Имеем известное изображение:

- оригинал: при условиях

Разложение на элементарные дроби:



Используя метод неопределенных коэффициентов, приведем полученное выражение к общему знаменателю:

Вычтем из второго уравнения первое и получим: 



f(t)

1

( перегиб )

t

0 4

2.9. Использование обратных преобразований Лапласа для решения уравнений динамики САР (звена).

x (t) САР (звено) y (t)

X (s)

Предположим, что уравнение динамики имеет вид:

где и - постоянные времени;

- коэффициент усиления.

Найдем изображения

Подставим полученные выражения в уравнение динамики и получим уравнение динамики в изображениях:

Т.к. начальные условия нулевые 

Если н.у. не нулевые 

При нулевых н.у.



Передаточной функцией САР (звена) называется отношение изображений выходного воздействия к входному при нулевых н.у.

- изображение выхода к изображению входа.

После того, как в явном виде найдено изображение для неизвестной выходной величины, нахождение оригинала не представляет сложностей. Либо по формуле Хэвисайда, либо разложением на элементарные дроби, либо по таблице из справочника.

Пример:

x (t) Звено y (t)

Предположим, что звено имеет уравнение динамики:

, н.у. нулевые:

ступенчатое воздействие.

- подставим все это в уравнение динамики 

- уравнение динамики в изображениях

y(t)

0.63k

t

T

2.10. Весовая и переходная функции звена (системы).

Весовой функцией звена (системы) называется реакция системы при нулевых н.у. на единичное импульсное воздействие.

 (t) Звено y (t) = W (t)

Переходной функцией звена (системы) при н.у. называется реакция на единичное ступенчатое воздействие.

1 (t) y (t) = h (t)

Звено

Весовая функция

x(t) =  (t) y(t)  w(t) x(t)

W(s) пл = 1 w(t)

t

Переходная функция

h(t)

x(t) = 1(t) y(t)  h(t) x(t)

W(s) 1

t

Учитывая, что

 (t) w(t)

W(s)

X(s) = 1 Y(s)  W(s)

Передаточная функция играет роль изображения реакции звена или системы на единичное импульсное воздействие.

- обратное преобразование Лапласа

x(t)  1(t) y(t)  h(t)

W(s)

X(s) = 1/s Y(s)  H(s)

H(s) – изображение h(t), т.е.

2.11. Определение переходного процесса в системе (САР) (звене) через весовую и переходную функции.

x(t) y(t) = ?

W(s)

X(s) Y(s) = ?

На вход системы поступает произвольное воздействие x(t) (заранее известное).

Найти: если известны и

- связь между входным и выходным воздействиями.

где х – нелинейное действие.

Символически данное соотношение записывается:

где «*» - знак свертки.

Можно решить с помощью формулы Дюамеля-Карсона:

Характеристики

Список файлов лекций