УТС3.5 (962808)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

3.5 КОЛЕБАТЕЛЬНОЕ ЗВЕНО

Колебательное звено является наиболее “интересным” из всех типовых звеньев, во-первых, за счет “сильной похожести” по своим динамическим свойствам на более сложные реальные САУ (САР), во-вторых, близкой идентичности переходных процессов в звене к аналогичным в реальных САР, и, в-третьих, существенной зависимости динамических свойств от величины параметра звена.

Уравнение динамики звена описывается уравнением, аналогичным рассмотренном в предыдущем разделе (апериодическое звено второго порядка):

(3.5.1)

причем T₁ < 2T₂, т.е. D = T₁² − 4T₂² ≤ 0

Учитывая, что D ≤ 0, удобнее представить уравнение динамики в другой форме, а именно:

Введем новые параметры: T ≡ T₂ и β = T₁ / 2T₂ , где β − параметр (коэффициент) затухания (демпфирования (0 ≤ β ≤ 1)).

Будем в дальнейшем называть “β” − коэффициентом демпфирования или параметром затухания. Подставляя новые параметры в (3.5.1)

(3.5.2)

Наиболее удобная форма представления уравнения динамики.

Учитывая, что x(t) X(s); y(t) Y(s) и т.д.

− уравнение динамики в изображениях Лапласа.

Отсюда выражение для передаточной функции:

(3.5.3)

передаточная функция колебательного звена.

Еще раз подчеркнем, что параметр (коэффициент) затухания (демпфирования) 0 ≤ β ≤ 1, причем при β = 1 − свойства колебательного звена совпадают с аналогичными свойствами соответствующего апериодического звена 2-го порядка, а при β = 0 − звено выражается в консервативное, в котором могут существовать незатухающие гармонические колебания.

Выражение для АФЧХ получается после подстановки в (3.5.3) значения s = i·ω =>

(3.5.6)

Выражения для вещественной и мнимой частей принимают вид:

(3.5.7)

Опуская выкладки запишем выражение для A(ω) и φ(ω)

(3.5.8)

(3.5.9)

Анализ формул (3.5.7 − 3.5.9) показывает, что:

Одной из главных особенностей АФЧХ является возможность существования экстремума в зависимости A(ω) => Выполним исследование на экстремум =>

=> (3.5.10)

Очевидно, что ω_м существует (т.е. є Rе), если (1-2β²) ≥ 0 =>

Если β < − A(ω) имеет max, если β > − экстремума в зависимости A(ω) − нет.

Анализ вышеприведенных соотношений показывает, что при β < ( β ≤ 0,707 ) график A(ω) имеет “горб”, который при уменьшении β “усиливается” и при β → 0 A(ω) → ∞, что означает “разрыв” в зависимости A(ω).

Частоту ω_м будем отождествлять с тем значением частоты входного гармонического воздействия при которой имеет место максимальное значение амплитуды выходного сигнала.

Подставляя выражение для ω_м (формула (3.5.10)) в выражение (3.5.8), получаем:

(3.5.11)

Данная формула работает только при

Очевидно, что если β ↓ , A(ω_м) ↑, а при β → 0, A → ∞.

Поскольку β = T₁ / 2T₂ , то очевидна ‘роль’ постоянных времени : => T₂ – ‘раскачивает’ колебания, а T₁ − ‘демпфирует’ их. => рассмотрим соответствующие графики :

Обозначения: 1 -  = 1; 2 -  = 0.8; 3 -  = 0.707; 4 -  = 0.6; 5 -  = 0.4; 6 -  = 0.2;

Данные графики аналогичны для случаев резонансов в теоретической механике, физике, электротехнике и т.д.

Величину ω = 1 / T принято называть частотой свободных колебаний и обозначать: ω₀ = 1/T

В звене при β = 0 устанавливаются незатухающие колебания с частотой ω₀, а само звено вырождается в консервативное.

Подставляя различные значения ω в формулу (3.5.6) или (3.5.7) построим годограф АФЧХ на комплексной плоскости:

годограф консервативного звена. ‘легко показать’, что ω₄ = 1 / T

Построение ЛАХ ≡ Lm(ω) не может быть сделано так просто, как для предыдущих позиционных звеньев, т.е. отрезками прямых.

Будем использовать для построения графика ЛАХ нормированную (безразмерную) частоту , где ω₀ − частота свободных колебаний, имеющим место в консервативном звене со следующим уравнением динамики:

Введя новую переменную в выражение для Lm(ω) =>

(3.5.12)

Такая форма представления позволяет ‘свести’ различные ЛАХ при различных Т к автомодельному виду (‘универсальному’ виду графиков).

На рисунке ниже представлен график Lm(ω) в форме (3.5.12), построенный фактически в логарифмических координатах, причем коэффициент усиления K=1.

Подчеркнем, что при такой форме представления все ЛАХ при различных T₁ и T₂ можно “собирать вместе”.

Величина H_m (см. рис.) называется превышением:

(3.5.13)

− превышение при частоте ω = ω_m

Если , то в упрощенных расчетах величину превышения H_m можно оценить, как:

(3.5.14)

при ω = ω_m (эта формула для “ярко выраженных” “горбов”).

Вычислим переходную функцию звена h(t) =>

воспользуемся формулой Хэвисайда.

Найдем полюса

т.к. нет повторяющихся полюсов, т.е. K_j = 1 =>

(3.5.15)

Для вычисления составляющей при j = 1 удобнее использовать второй вариант формулы (3.5.15) =>

j = 1 =>

j = 2 =>

j = 3 =>

Замечая много общих сомножителей в слагаемых для j = 2, 3 => суммируем составляющие при j = 2 и j = 3 =>

подставляя значения m и n =>

подставляя все составляющие в формулу (3.5.15) =>

(3.5.16)

(3.5.16.а)

Величина называется частотой собственных колебаний (0 < β < 1).

Таким образом в описании колебательного звена появилось три “новых” частоты =>

ω_m < ω_c < ω₀

Рассмотрим предельные случаи для β (т.е. β = 1 и β = 0)

Если .

Если т.е. собственных колебаний в звене нет, т.е. процесс без колебательный.

Если

(3.5.17)

− переходная функция консервативного звена

=>

Если возникают “трудности” со вторым слагаемым в круглых скобках формулы (3.5.16) => раскрываем неопределенность типа

(3.5.18)

эта формула соответствует

также аналогичной формуле

для апериодического звена 2-го

порядка при D = 0

(совпадающие полюса).

Если

− необходимо доказать (вывести) эту формулу!!!!!

Дифференцируя во времени формулы (3.5.16 − 3.5.18) найдем соответствующие весовые ( w(t)) функции:

Если (3.5.19)

Если

(3.5.20)

Если

(3.5.21)

Примерами колебательного звена можно считать:

1. R − C − L – цепь =>

1. упругие механические передачи;

2. гироскопический “маятник”;

3. управляемый двигатель постоянного тока (при некоторых условиях).

Характеристики

Тип файла документ

Документы такого типа открываются такими программами, как Microsoft Office Word на компьютерах Windows, Apple Pages на компьютерах Mac, Open Office - бесплатная альтернатива на различных платформах, в том числе Linux. Наиболее простым и современным решением будут Google документы, так как открываются онлайн без скачивания прямо в браузере на любой платформе. Существуют российские качественные аналоги, например от Яндекса.

Будьте внимательны на мобильных устройствах, так как там используются упрощённый функционал даже в официальном приложении от Microsoft, поэтому для просмотра скачивайте PDF-версию. А если нужно редактировать файл, то используйте оригинальный файл.

Файлы такого типа обычно разбиты на страницы, а текст может быть форматированным (жирный, курсив, выбор шрифта, таблицы и т.п.), а также в него можно добавлять изображения. Формат идеально подходит для рефератов, докладов и РПЗ курсовых проектов, которые необходимо распечатать. Кстати перед печатью также сохраняйте файл в PDF, так как принтер может начудить со шрифтами.

Список файлов лекций