УТС22 (962825)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

2.4 . Основные виды входных воздействий

В теории управления техническими системами принят ряд стандартных входных воздействий, по реакции на которые определяются динамические свойства (характеристики) системы управления (звена). К таким воздействиям относятся: единичное импульсное воздействие, единичное ступенчатое воздействие, единичное гармоническое воздействие, линейное воздействие и др. Рассмотрим их более подробно…

2.4.1. Единичное ступенчатое воздействие

Данное воздействие является одним из наиболее «жестких» (неблагоприятных) воздействий, по реакции на которое сравниваются переходные свойства (переходной процесс) идентичных или близко идентичных систем.

Реакция системы (звена) на такое воздействие называется переходной функцией.

Единичное ступенчатое воздействие обозначается 1(t) и бывает 3-х видов:  два асимметричных и одно симметричное.

1(t)  (2.4.1)

Рассмотрим каждый из этих видов:

а) б) в)

Рисунок 2.8 – Графики единичных ступенчатых воздействий

В теории управления наибольшее распространение имеет асимметричное воздействие 1₊ (t), поскольку принято, что при t 0 САР находится в равновесии, и анализ переходных процессов ведется только при t  0.

Для удобства представления будем в дальнейшем записывать воздействие 1₊(t), опуская индекс.  1₊ (t)  1(t).

Поскольку рассматриваемое входное воздействие имеет разрыв при t = 0 (что иногда нежелательно в численных алгоритмах, использующих конечно-разностную схему), имеется формула, позволяющая приближенно описать единичное ступенчатое воздействие:

1(t)  (1 – e ^–t/T) , (2.4.2)

где Т – постоянная времени, а текущее время !!!

На рисунке 2.9 представлена графическая иллюстрация аппроксимации 1(t) по формуле (2.4.2).

t

T ₁  T ₂  T ₃

Рисунок 2.9 – Графики аппроксимаций единичного ступенчатого воздействия

2.4.2. Единичное импульсное воздействие:  - функция Дирака

В курсе «Математика» различают три вида данного воздействия: одно симметричное и два асимметричных.

 Рассмотрим все эти воздействия

Симметричное единичное импульсное воздействие  (t) определено как:

0, если t  0

 (t) = , если t = 0 ;

0, если t  0

Графическая иллюстрация симметричного единичного импульсного воздействия представлена на рисунке 2.10. Фактически  (t) – импульс (с длительностью стремящейся к нулю и амплитудой, равной бесконечности), площадь которого равна 1. .

а) б) в)

Рисунок 2.10 – Варианты представления симметричного импульсного воздействия

Для симметричного единичного импульсного воздействия (t) существует аналитическая форма представления:

 (t) = ;  Покажем, что интеграл равен 1, 0 

,

где u = ht и - интеграл ошибок равный .

Смещенные (асимметричные) единичные импульсные воздействия определяются как:

где  - сколь угодно малое положительное число (  0).

Графическая иллюстрация смещенных единичных импульсных воздействий представлена на рисунке 2.11.

а) б)

Рисунок 2.11 – Смещенные единичные импульсные воздействия

Внимание. В дальнейшем в курсе «УТС» будет использоваться только ₊ (t).  Индекс «+» опускается…  ₊ (t) (t).

Поскольку смещенное единичное импульсное воздействие фактически имеет разрыв при t = 0 (что иногда нежелательно в численных алгоритмах, использующих конечно-разностную схему), имеется формула, позволяющая приближенно описать смещенное единичное импульсное воздействие:

, (2.4.3)

где Т – постоянная времени, а текущее время !!!

На рисунке 2.12 представлена графическая иллюстрация аппроксимации (t) по формуле (2.4.3).

(t)

t

T ₁  T ₂  T ₃

Рисунок 2.12 – Графики аппроксимаций единичного импульсного воздействия

Реакция САУ (звена) на воздействие  (t) называется весовой функцией.

1. Единичное гармоническое воздействие

Данное воздействие используется для анализа частотных характеристик САУ (звена) в установившемся режиме колебаний в системе, т.е. свойства САУ (звена) исследуются при больших значениях t (времени), когда влияние начальных условий пренебрежимо мало и движение (колебания) системы определяются только входным внешним воздействием.

x(t) = sin t, (2.4.4)

где  - круговая частота, [1/с];  = 2f, где f - частота в Герцах.

На рисунке 2.13 представлен график единичного гармонического воздействия.

Рисунок 2.13

Поскольку при анализе частотных характеристик САУ рассматривается режим установившихся вынужденных колебаний САУ (при больших значениях времени t  когда собственная составляющая переходного процесса пренебрежимо мала), то удобнее представить x(t) в показательной форме. 

(2.4.5)

Необходимо отметить, что показательная форма – «комплексное » воздействие. 

(2.4.6)

Действительная часть «комплексного » воздействия (Re) – на самом деле косинусоидальное воздействие. Но так как частотные характеристики САУ определяются в режиме установившихся гармонических колебаний (т.е. при «очень-очень» больших значениях t), то не важно, по какому закону вводилось единичное гармоническое воздействие – по «синусу» или по «косинусу».

1. Линейное воздействие

Данный вид входного воздействия используется для оценки точности систем управления, а именно, для определения скоростных ошибок.

x(t) = a∙t, (2.4.7)

где t  0, а при t < 0 входное воздействие всегда равно нулю.

На рисунке 2.14 представлен график линейного входного воздействия.

Рисунок 2.14 – Линейное входное воздействие

2.5. Основные положения и свойства интегральных преобразований Лапласа

Решение однородного обыкновенного дифференциального уравнения (ОДУ) у_соб(t) записывается в виде (если нет повторяющихся корней):

т.е. все члены уравнения имеют одну и ту же форму. Этот результат наводит на мысль, а нельзя ли ввести какое-то преобразование, в результате которого уравнение динамики (дифференциальное) можно привести к чисто алгебраическому, решение которого не представляет проблем. А если затем сделать соответствующее обратное преобразование, то получим у _соб (t). 

 Обыкновенное дифференциальное уравнение (ОДУ)  Алгебраическое уравнение  Решение   Обратное преобразование  Результат.

Именно такими соображениями руководствовался Лаплас, предлагая такое преобразование, называемое в настоящее время преобразованием Лапласа. 

Предположим, что имеется нестационарный процесс f(t) .  Лаплас предложил ввести интегральное преобразование, которое отображает f(t) на комплексную плоскость по соотношению: 

iIm

c (2.5.1)

Re

Рисунок 2.15

где s = c+i :   ] -; + [; с – абсцисса абсолютной сходимости (обычно в курсе «УТС» с = 0 ); f(t) – прообраз (оригинал); F(s) – изображение (образ);

Символическое обозначение преобразования Лапласа:

f(t) F(s) (2.5.2)

Преобразования Лапласа существует, если:

, - условие сходимости, (2.5.3)

а также при t 0 f(t )= 0.

f (t) iIm

F(s) s = s ₁ = c+ i

 Re

f (t) s = s ₂ = c + i ₂

t s = s ₃ = c + i ₃

s = s ₆ s = s ₄

s = s ₅

Рисунок 2.16 Рисунок 2.17

В соответствии с соотношением (2.5.1) переходной процесс f(t) отображается на комплексную плоскость, где каждому значению оператора Лапласа «s» соответствует свой вектор.  Линия, соединяющая концы векторов называется годографом.

Обратное преобразование Лапласа определяется следующим соотношением:

(2.5.4)

Необходимо подчеркнуть, что если условие сходимости выполняется, то любому оригиналу соответствует изображение. Обратное преобразование Лапласа не всегда существует, т.е. если известно F(s), это не означает, что ему соответствует оригинал f(t)!!!

Прямое преобразование Лапласа символически обозначается:

f(t) F(s) или (2.5.5)

О братное преобразование Лапласа обозначается:

F(s) f(t) или (2.5.6)

Существует двухстороннее преобразование Лапласа L_B [f(t)], частным случаем которого является обычное преобразование Лапласа 

(2.5.7)

Е сли при t  0 функция f(t) = 0, то L _B [f(t)]  L[f(t)].

Частным случаем двухстороннего преобразования Лапласа (при с = 0, т.е. s = i) является преобразование Фурье, определяемое соотношениями:

(2.5.8)

2.5.1. Использование преобразования Лапласа для операции дифференцирования

Пусть известно f(t) и его изображение по Лапласу: (f(t) F(s), а L[f(t)’ ] – неизвестно.

Воспользуемся соотношением (2.5.1)  

(2.5.9)

где f(0) – начальное условие.

Если начальные условия равны нулю  f(0) = 0;

(2.5.9.а)

Аналогичным способом найдем изображение 2-ой производной 

(2.5.10)

Если при t = 0 f(t) и f `(0) равны нулю (нулевые начальные условия), то 

(2.5.10.а)

Характеристики

Тип файла документ

Документы такого типа открываются такими программами, как Microsoft Office Word на компьютерах Windows, Apple Pages на компьютерах Mac, Open Office - бесплатная альтернатива на различных платформах, в том числе Linux. Наиболее простым и современным решением будут Google документы, так как открываются онлайн без скачивания прямо в браузере на любой платформе. Существуют российские качественные аналоги, например от Яндекса.

Будьте внимательны на мобильных устройствах, так как там используются упрощённый функционал даже в официальном приложении от Microsoft, поэтому для просмотра скачивайте PDF-версию. А если нужно редактировать файл, то используйте оригинальный файл.

Файлы такого типа обычно разбиты на страницы, а текст может быть форматированным (жирный, курсив, выбор шрифта, таблицы и т.п.), а также в него можно добавлять изображения. Формат идеально подходит для рефератов, докладов и РПЗ курсовых проектов, которые необходимо распечатать. Кстати перед печатью также сохраняйте файл в PDF, так как принтер может начудить со шрифтами.

Список файлов лекций