Робототехника.Фу, Ли, Гонсалес (962794), страница 103
Текст из файла (страница 103)
ЯКОБИАН МАНИПУЛЯТОРА При раздельном (независимом) управлении движением (гл. 5) необходимо определять, насколько бесконечно малое движение каждого сочленения манипулятора влияет на бесконечно малое движение всего манипулятора. Одним из преимуществ раздельного движения является существование линейного соответствия между пространством бесконечно малого движения сочленений и пространством бесконечно малого движения манипулятора.
Это соответствие определяется спомощью якобиана. Ниже рассматриваются трн метода получения якобиана для шестизвенного манипулятора с поступательными и вращательными сочленениями. Б.1. Метод векторного произведения Пусть векторы положении, линейной и угловой скорости манипулятора (конечного звена) относительно базовой системы координат (хб, уб, гб) определяются соответственно в виде где, как и выше, знак Т обозначает операцию транспонирова- ния. Основываясь на идее подвижной системы координат [310], линейную и угловую скорости манипулятора можно получить из скоростей входящих в манипулятор сочленений: [.
1= ч(1) 1 ~=Л(й)б((1)=[3,(а), 3,(П), ..., Лб(б()]й(1), (Б.2) .2(1) 1— где 3(ц) — матрица порядка 6Х 6, в которой 1-й столбец век- тора 3;(б1) определяется [310] в виде [,','! г~ 1Х рб1 ~, если бе сочленение — вращательное, г; 31(ц) = [ 1 г, если!-есочленение — поступательное. 0,] где ц(1)=[д1(1), ..., аб(1)]г — вектор скорости сочленения манипулятора, Х вЂ” знак векторного произведения, '-'рб — положе- 3(0) = го Х Рв г! Х Рб гз Х Рб =[ го г! ''' г5 (Б.4) Для манипулятора робота Пума (рис. 2.11) и матриц преобразования координат его звеньев (рис, 2.!3) элементы якобиана определяются следующим образом: 34(9) = — — 5, [4(в (СмС455+533С5)+5335(4+азС33+азС3[ — С! ((55455+4(3) С! [5(в (СззС455 + 5мС5) + 5334(4+азСзз+а,С3[ — 5, (4(55455+5(з) О О О 1 сЕ,С,5,55 + Езс,— 415545455 + 41251 У„ — 5, С, О Лз (9) =- где узв = — 5! [5(5533С455 — 5(бС33С5 — 4(4Сзз + аз5м + а553[ — С! [4(бС35С455 + 415533С5 + 4Е4555 + азСзз + азС3[, 415С45455 4(55!5455 'Езз — 5! С, О ~в(9) = ние начала системы координат конечного звена манипулятора относительно снстемы координат (Š— 1)-го звена, записанное в базовой системе координат, а г, ! — единичный вектор вдоль оси движения 4-го сочленения, записанный в базовой системе координат.
Для шестизвенного манипулятора с шарнирными сочленениями якобиан может быть найден в виде где у, = — 54[4(55,С!55 — 5(,С~Со — ЕЕ,С, + аз54)— — С![4(бСЗС455 + 5(555С5 + 4(455 + азСз[ 5,5м (4(бС5+ 5(4) — 4(вС335455 415С33С455 — С!553 (4(вС5+ 414) 415С!5м5,55 — 41б5! 533С455 С453з 5!535 С, 5 5С 34(0) = 4(б 33 4 5 4(55355455 4(вС!С4354С. + 4(554С4С5 + 5(55!С335455 ЕвС4~455 — С!Сзз54 5!Св — 5,Сзз54+ С,С4 53з54 415 (О) = 415 (5!С33С4 + С!54) 55 + 4(55!533С5 — 4(в (С4СззС4 5!54) 55 — 4(вС!533С5 О (СЕСмС4 — 5,5,) 55+ С!535С5 (5,СмС, + С,5,) 55+ 5АзС5 — 533С455+ С Св Зв (О) = 541 = з(п (9,.
+О!) 5,=5(пйо С, Оь где а (Е) О [ 0 )г Р (Е) О 1( (Б б) где 0 — нулевая матрица размерностью 3 Х 3. аз! и С;е — — соз (9; + 0;), Если требуется управлять манипулятором вдоль или вокруг осей системы координат манипулятора, необходима выразить линейную и угловую скорости в системе координат манипулятора. Это можно сделать умножением ч(Е) и 51(Е) на матрицу вращения [5445[' размерностью ЗХ 3, где ~йб — матрица вращения манипулятора, связывающая положение системы координат конечного звена манипулятора с базовой системой координат.
Таким образом, или Б.2. Метод дифференциального перемещения и вращения В работе (229] используется однородная матрица преобразования для нахождения дифференциального перемещения и вращения относительно системы координат, из которых определяется якобиан манипулятора. Для заданной системы координат Т звена манипулятора дифференциальное изменение в Т соответствует дифференциальному перемещению или вращению вдоль или вокруг базовых осей координат, т. е. 1 О 0 д, 1 — 6, 6„0 т+(т=, ь, О т (вб) 2 — а Ф 0 0 0 1 0 0 0 1 1 — Ь 6„0 Ь, 1 — 6„0 — 6„1 О 0 0 О 1 1 0 0 с(, 010 1„ 0 0 1 0 0 0 1 'вгт Т 1 О 0 0 О 1 0 0 О 0 1 0 0 0 0 1 (Б.10) А(т)( А), или 1 О 0 1 0 0 0 Π— Ь, Ь„О' 1 — 6„0 6„1 О 0 0 1 Т=АТ, (Б.7) — Ь, 6„0 1 — 6„0 6.
1 О О 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 6, — 6„ 0 (Б. 8) 6=(6„, 6„, 6,)г — дифференциальное вращение вокруг основных осей базовой системы координат, а д=(д„д„, д,)' — дифференциальное перемещение вдоль основных осей базовой системы координат. Аналогично дифференциальное изменение в Т может быть записано в соответствии с дифференциальными перемещением и вращением вдоль и вокруг системы координат Т: 1 0 0 с(„ 0 1 0 д„ 0 0 1 с(, 0 0 0 1 1 — 6, Ь„О Ь, 1 — Ь,. 0 — 6„6„1 О 0 0 0 1 Т+ НТ= Т (Б,9) где 1 0 0 0 1 О 0 0 1 0 0 0 0 О Д„ 1 0 1 1 0 0 1 0 0 0 0 1 62 — Ьд 0 0 0 0 0 1 0 0 1 (Т) (гА) или гд т- дт С учетом уравнения (2.2-27) уравнение (Б.11) имеет внд (Б.11) гА т 'Ат и (ЬХп) п (ЬХв) и (ЬХа) и ° (ЬХр)+ б в (ЬХп) в (ЬХв) в (6 Ха) в (6Хр)+д а ° (ЬХп) а ° (ЬХв) а (ЬХа) а (ЬХр)+4 0 0 0 0 (Б.
12) где Ь =(6, Ьа, 6,) т — дифференциальное вращение вокруг основ- ных осей базовой системы координат, а д = (А, да, А) г — диф- ференциальное перемещение вдоль основных осей базовой си- стемы координат. Используя векторные тождества х (уХх) — у (хХх) у (хХх) х (хХу) О, где 'А имеет ту же структуру, что и в уравнении (В.8) с учетом, что определения 6 и б — различны. 6 (Ь„ба, 6,)г — дифференциальное вращение вокруг основных осей системы координат т, а д (и',, д„, д,)г — дифференциальное перемещение вдоль основных осей системы координат Т.
Связь между А н 'А получаем из уравнений (Б.7) и (В.10): т,(— гА 0 ' — Ь (пХв) Ь (аХп) Ь (пХз) 0 — Ь (в Ха) — Ь (аХп) Ь (зХа), 0 0 0 0 ~(х оу г(, Ьх д„ т,( (Б.17) тб У тб П оскольку координатные оси и, в, а — ортогональны, имеем : ' 'пХз=а, вХа=п, аХп в, 0 — Ь а 6 ° в Ь (рХп)+д п Ь ° а 0 — Ь и Ь ° (рХз)+й з Ь. з Ь и ' О .Ь (рха)+д ' (Ы~) 0 0 0 0 (Б.18) т А= Т вЂ” Т вх 0 Т,,— Т Т 0 Т вЂ” Т 0 (Б.15) если 1-е сочленение— вращательное, Тз 0 $-1 А,= то, приравнивая элементы матриц из уравнений (Б.!4) и (Б.15), получим если 1-е сочлеиеиие— поступателъцое ; Н„=Ь (рХп)+д п=п ° [(ЬХр)+л), '(а=Ь (РХз)+д в=в [(6ХР)+4, Н,=Ь (рХа)+д а=а [(ЬХр)-[-л), 6„= Ь ° и, Ь„= Ь ° в, т6,=6 а, (Б. 16) где Ю; ='-'А А,, ...
зА,. взз ао. уравнение (Б.12) можно записать в виде и уравнение (Б.13) запишется в виде Если задать элементы тА в виде Ь (рХп)+д и (рХв)+ б ° в 6 (рХа)+с(. а 0 (Б.13) Записывая эти уравнения в матричной форме, имеем с [и, в, а)т [(рХ и), (рХ в), (рХ «)) 0 [п з а)г где 0 — нулевая подматрица размерностью 3 Х 3. Уравнение (Б.17) дает связь дифференциальных перемещения и вращения в базовой системе координат и дифференциальных перемещения и вращения в системе координат Т. Применяя уравнение (Б.10) к кинематическому уравнению серийного шестнзвеиного манипулятора, получим дифференциал 'Т;. В случае шестизвенного манннулятора дифференциальное изменение движения Ого звена вызовет соответствующее нзмененне в Т- 'А где ьлА~ определяется как преобразование дифференциального . изменения вдоль или вокруг оси движения Ого сочленения; Π— ~(6, О 40, О О 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ооой(, 0 0 0 0 Используя уравнение (Б.19), получим т"А из дифференциального изменения движения 1-го сочленения: (Б.21) Записывая 61; в виде общей однородной матрицы преобразования, получим зх ах Р» и„ з„ а„ р„ и, з, а, р, 0 0 0 1 (Б.22) — и аг р„и„ их Рхзу 0 рха„ 0 Р у"зх — Руух твд Юо (Б.23) — р„ах 0 — у и г г 0 0 Для случая призматического 4-го сочленения уравнение (Б.21) запишется в виде О О О иг О 0 0 у, 0 0 0 а, 0 0 0 0 т'д = (Б.24) С учетом уравнений (Б.20) и (Б.22) для 4-го вращательного сочленения, уравнение (Б.21) примет вид Таким образом, якобиан манипулятора может быть получен из уравнения (Б.25) для 4 = 1, 2, ..., 6: (В.26) У (4() где столбцы матрицы якобиана получаются из уравнения (Б.25).
Для манипулятора робота Пума (рис. 2.11) и его матриц пре- образования звеньев (рис. 2.13) якобиан определяется в виде У1х У!у Угх — [523 (С4СзС6 — 545в) + Сгз53С6], 52з(С4С356 + 54С6) + С235356 5мС45в + С23Сз Л, (6) = Тв 1 х т. ~ у тв ( х тв т у тб вУ4)1 42ч2 4(Чз вв в44 Й13 Фв Для элементов т'Д, которые были определены в уравнении (Б.15), приравнивая элементы матриц в уравнениях (Б.15) и (Б.23) [или (Б.24)], получим где Угх = 410о если 4-е сочленение- вращательное, (Б.25) иг аг 0 ЕСЛИ 4ЬСОЧЛЕНЕНИЕ— поступательное, Л, (0) = 0 т( т.( Тв у бх Рхиу Руих Рхау — Руах р,а„ вЂ” р„ах иг [вУв (С 3С453 + 523Сз) + вУ452~ + а Сгз + в22С ] (54С Св + С456) — (4(65456 + 4(2) [Сгз (С4СзС6 — 5456) 52353С6])в [4(6 (С23С453 + 5гзСв) + 4(4523 + азС23+агС2] ( — 54С656+ '4С6)— — (4(65453 + 442) [ — Сгз (С4С356 + 54С6) + 5235356] [4(6 (СгзС456 + 52зСв) + в(4523 + азСгг + агС2] (5456) — (4(65453 + в(г) (СгзС456 + 523Сз)в Угх Угу Угг 5,сзс, + С,5.
— 54С356 + С456 5,53 где 726 = (41655С5 + 446СзС455 + 4(455 + азСз + аз) (55Св)— ( 415СзС5 + 4(655С455 6(4Сз + аз55) (С4С5С6 5 5 ) 726 (61655С5 + 56СзС455 + 4145з + азСз + аз) (5555) + + ( — 415С~С5+ 4(555С455 4(4Сз + аз52) (С С55в + 54С6), 72, = — (41655С5+ 416СзС455 + 41455 + а,С, + а,) Сз— — ( — 455СзС5+ а4655С455 — 4(4Сз + аз55) (С455); (аз + 416С455) (55Св) + (4(4 + 4(6С5) (С,С5С6 — 5,5 ) (аз + а46С455) (5з5в) (4(4+ 416С5) (С4С556+ 54С6) — (аз+ 446С455) Сз+ (454+ 415С5) С4Сз 54С5Св + С456 — 54С556 + С456 5455 бз(9) = 4165556 4(655Св 0 34(9) = — 56С, 5556 5 С 416С6 41656 0 0 Лв(9) = Лв(9) = 56 Сб 0 Б.З.
Определение якобиана из уравнений движения Ньютона — Эйлера В рассмотренных двух методах якобиан был получен в аналитической форме. Возможно численное определение элементов якобиана во времени в явном виде из уравнений движения Ньютона — Эйлера, Это определение основывается на том, что отношения малых величин ускорений конечного звена манипулятора к маль4м величинам ускорений сочленений являются элементами якобиана, если исключить нелинейные компоненты ускорений из уравнений движения Ньютона — Эйлера.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
