Робототехника.Фу, Ли, Гонсалес (962794), страница 101
Текст из файла (страница 101)
(А. 19) А.8.2. Векторное (внешнее) произведение Векторное (или внешнее) произведение дйук'ззекторов а и Ь определяется как вектор с; с=аХЬ, который ортогонален к векторам а и Ь и имеет величину |с|=|а||Ыь|пО. (А.21) Вектор с направлен так, что вращение вправо вокруг с на угол О, меньший 180', совмещает а с Ь, где Π— угол между а и Ь (рис, А,б). Поскольку А |Ь|з1пО (рис. Аб), произведение аХЬ имеет величину, равную плошади параллелограмма со сторонами а и , ект Ь.
В орное произведение а Х Ь может быть рассмотрено как результат проецирования вектора б па плоскость , рпендикулярную плоскости векторов а н Ь, вращен ~ р , в ащення проекции на 90' в положительном направлении вокруг вектора а и умножения полученного результата на |а|, (А.23) 1с аХЬ= а, аз аз Ь, Ь, Ь, (А.29) ьке Рис.
А.7, Смешанное произведение. чину |а.Ь||с| и направлен вектора с или противополо (А.26) 577 Векторное произведение Ь Ха имеет ту же величину, что и а Х Ь, но противоположное направление, т. е. Ь Ха= — (аХ Ъ), (А.22) Векторное произведение не является коммутативным. Если векторы а н Ь параллельны, то 9 равен 0' или 180' и | ахЫ=|аЦЬ|з!по=О. И наоборот, если векторное произведение равно нулю, то один или оба вектора равны нулю или параллельны. Рис. А,б, Векторное произведение. ! Отметим также, что векторное произведение днстрибутивно относительно сложения, т.
е. аХ(Ь+с)=а ХЬ+аХс (А.24) (Ь+ с) Х а = Ь Х а+ с Х а. (А.25) Для скалярного и векторного произведения единичных векторов с, 1, (с, направленных вдоль основных осей правой декартовой системы координат, имеем ! =Я ° ) =!с |с=1, ! ) = 1 . )с = (с ! = О, !Х1=1Х)=(сХ(с=о, ! Х) = — ) Х1=1с, з Х 1с = — 1с Х ) = 1, 1с Х ! = — ! Х !с = ). Используя определение составляющих элементов вектора и уравнение (А.26), скалярное произведение а и Ь можно записать в виде а Ь = (а,! + аз) + аз(с) ° (Ь!1 + Ьз) + Ьзй) = а!Ь! + азбз + азбз = а Ь (А.27) где ат обозначает транспонирование а (равд.
А.12). Векторное произведение а и Ь можно записать в виде детерминанта (равд. А.!5) = (а Ьз — азЬз) ! + (азЬ! — а!Ьз) 1 + (а Ь, — азЬ ))с. (А 28) А.9. Произведение трех и более векторов Для скалярных и векторных произведений трех и более векторов обычно выделяют следующие типы произведений: (а Ь)с, а (ЬХс), аХ(ЬХс). Произведение (а.Ь)с является простым произведением скаляра (а.Ь) и вектора с. Результирующий вектор имеет вели- ие, совпадающее с направлением жное ему в зависимости от знака (а Ь).
Смешанное произведение а (ЬХ с) представляет собой скаляр с величиной, равной объему параллелепипеда с гранями, образованными векторами а, Ь н с (рис. А.7), т. е. а (Ь Х с) = | а || Ь || с | з|п Особа = ЬА = объем параллелепипеда, (А.ЗО) а„ а„ а, Ьк Ьа Ьа с„ са с, (А.З!) (А.З4) а Х (Ь Х с) = тЬ + ас, ЮГра~пккл «иккич вокал 4иклитаскал Таким образом, Рис. Л.з. Циклическая перестановка, лт — и — = — =Л, а ° с а ° Ь (А.36) 879 где й и Л вЂ” соответственно высота и площадь основания па- раллелепцпеда. Представляя векторы в виде составляющих их элементов в трехмерном векторном пространстве, получим 1 а (ЬХс)=(а„)+аа)+а,1с) б„ба Ь, с„ с„ с, = а„(бас, — Ь с„) + ак (б с„— Ь„с ) + аа(Ь са — Ь„оа) Отметим, что скобки, выделяющие векторное произведение Ь Х с, могут быть сняты, поскольку не имеет смысла представление а.Ь Х с в виде (а Ь)Х с. Видно также (рис.
А.7), что объем параллелепипеда не зависит от плоскости, выбранной за его основание. Таким образом, а ЬХс=Ь сХа=с.аХЬ (А.32) а Ь Х с = — а с Х Ь = — с Ь Х а = — Ь а Х е. (А.ЗЗ) Эти результаты могут быть получены нз свойств детермпнантов (равд. А.15). Запись а ЬХс = аХЬ с может быть представлена в виде (аЬс), поскольку смысл данного выражения не меняется от использования операции, обозначенной точкой или косым крестом. Уравнение (Л.32), выражает циклическую перестановку этих векторов, а уравнение (Л.ЗЗ) выражает нх обратную циклическую перестановку. Иллюстрация циклической перестановки приведена на рис. А.8, Уравнение (А.32) получается путем следования по часовой стрелке вдоль окружности.
Таким же образом, но в обратном направлении, полу- 878 чается уравнение (А.ЗЗ). Смешанное произведение может быть использовано для проверки линейной зависимости трех компланарных векторов. Если три вектора а, Ь и с — компланарны, то (аЬс) = О. Следовательно, если два или тря вектора равны, то смешанное произведение будет равно нулю. Из этого следует, что если еь ее н еа являются базисными векторами в векторном пространстве (/а, то (е|еаеа)~ О, и они образуют правую систему координат при (е|еаеа)) 0 и левую систему координат при (е1е,еа) О. Двойное векторное произведение а Х(Ь Х с) представляет собой вектор, перпендикулярный (Ь Х с) н лежащий в плоскости векторов Ь и с (рнс. А.9). Предположим, что векторы а, Ь Рис. Л,9, Даойкое векторное произведение. н с неколлинеарны.
Тогда вектор а Х (Ь Х с), находящийся в пло- скости векторов Ь и с, может быть выражен в виде линейной комбинации Ь и с, т. е. Поскольку вектор аХ(ЬХс) перпендикулярен вектору а, то при скалярном умножении левой и правой частей уравнения (А.34) на вектор а получим 0: а ° [а Х (Ь Х с)) = гп (а ° Ь) + п (а с) = О. (А,35) где пт, а и Л вЂ” скаляры, и уравнение (Л.34) примет вид аХ(ЬХс)=Л((а с)Ь вЂ” (а Ь)с), (А.37) Можно показать, что к = 1, поэтому двойное векторное произведение будет равно а Х (Ь Х с) = (а с) Ь вЂ” (а .
Ь) с. (Л.38) Используя уравнение (А.22), получим (а Х Ь) Х с = — с Х (а Х Ь) = — (с ° Ь) а + (с ° а) Ь, (А.З9) Более сложные случаи умножения четырех и более векторов можно упростить с помощью двойных произведений. Например, А.10. Производные векторных функций Производная вектора г(1) определяется как ггг г . г (г+ ггг) — г (г), аг — 1пп аг = 1пп —.
ог-» о ог-» о ~г (А 42) Из уравггений (А.11) и (А,42) следует, что (А.43) и т-я производная от г(1) равна г =(,уп,) г+ [,г„[1+( ~,п )й (А.44) Из уравнения (А.42)' вытекают следующие правила дифференцирования векторных функций: (аХЬ)Х(сХд)=(аХЬ д)с — (аХЬ с)д=(аЬд)с — (аЬс)д (А.40) н (а Х Ь) ° (с Х д) = а д Х (с Х д) = а ° [(Ь д) с — (Ь ° с) д) = = (Ь ° Д) (а ° с) — (Ь ° с) (а ° г1). (А.41) 6) а [аХ(ЬХс))=ЯХ(ЬХс)]+[а Х ( — гХс)]+ +[а Х(ЬХ г)] А.11.
Интегрирование векторных функций где с — постоянный вектор, Если Ь(1) можно записать в прямоугольной системе координат, то а»(1) = ~ (г» (т) дт+ с» (1) ~ (го (т) Дт + а (1) = ~ (г, (т) дт + с,. (А.47) А.12. Матричная алгебра Ниже мы рассмотрим еще один важный математический инструмент — матрицы, которые составляют основу математического аппарата при анализе роботов.
Матрица А (или А х,) порядка игХи представляет собой прямоугольную систему действительных или комплексных чисел, называемых элементами матрицы, которые расположены в т строк и п столбцов: ап ам ... а,„ агг аоо ° .. а,„ г=1, 2, ..., т, (А.48) А = [ам) = Если Да/Д1 = Ь(1), то интеграл вектора Ь(1) представляет собой а(1) ~ Ь(т) Дт+ с, ', (А.4б) (А.45) а, а,...а„ 580 ! ) — (а ~ Ь) = — ~ —; гга оЬ ог аг ггг о' и'а 2) — (та) = пг — „, где т — скаляр; Э) — „(а ° Ь) =( — ~) Ь+а ('~~). 5) д (аЬс) = [( — „) Ьс]+ а [( ~~ ) с]+ [аЬ('~~)] Кроме специальных случаев будем предполагать, что А является действительной матрицей.
Матрица, состоащая из одного столбца (строки), называется матрицей-столбцом (строкой). Матрица-столбец и матрица-строка часто рассматриваются как векторы. Транспонированная матрица А, обозначаемая А', представляет собой матрицу, номер строки в которой совпадает 581 с номером столбца матрицы А. Другими словамн„если ац аы а,, а22 ... а,„ 1=1, 2,..., лт, 1=1,2,...,а, а, а,...а„ ац а„... а„„ аы аы ... атз 1=1,2,...,а, 1=1,2,...,т. то Аг агл агт...а„ В частности, при транспонироваиии матрицы-столбца получается матрица-строка, и наоборот, Квадратная матрица порядка п имеет одинаковое число строк и столбцов (т. е. т = а). Диагональная матрица порядка и является квадратной матрицей с нулевыми недиагональиымн элементами, т. е.
элементы ац= О при г'Ф1' для А )=1, 2, ..., а. (А.51) ац= — ац и аи — — О, ю', /=1, 2... а, (А. 52) то матрица называется кососимметричегкой. Отметим, что если А — кососимметрическая матрица, то А = — А'. Любая несимметрическая матрица А может быть преобразована в симметрическую матрипу С следующим образом: А+А 2 (А.53) Нулевой матрицей называется матрица, все элементы которой тождественно равны нулю. Две матрицы одного порядка равны, если равны их соответствующие элементы, т. е. если а„= Ь„для всех1и(, то А= В. Единичная матрица порядка и представляет собой диагональную матрицу с единичными диагональными элементами, т. е. а„= 1, если 1= 1', и аи = О, если 1Ф). Эта матрица называется тождественной и обозначается через 1„или 1лл,. Симлгвгрическоа1 матрицей порядка и называется квадратная матрица, которая ие изменяется при транспонировании, т.
е. А = А' или аи = аи для всех 1 и 1'. Если элементы квадратной матрицы такие, что А.13. Сложение матриц Сложение (вычитаиие) матриц А и В одного порядка даег результирующую матрицу С того же порядка, элементы которой представляют собой сумму (разность) соответствующих элементов матриц А и В.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
