Робототехника.Фу, Ли, Гонсалес (962794), страница 102
Текст из файла (страница 102)
Таким образом, А+ В = С или ам+ Ьи — — сц для всех 1, 1 (А.54) А — В=С или ац — Ьц — — сц длЯ всех 1, 1. (А.55, Сложение матриц имеет те же свойства, что и сложение деиствительных чисел: 1) А+В= В+А; 2) (А+ В)+ С А+(В+ Г); 3) А+ О = А (Π— нулевая матрица); 4) А+( — А) = О. (А.56) А.14. Умножение матриц Произведение скаляра и матрицы получа1от путем умноже- ния каждого элемента матрицы А на скаляр. Такам образом, аА=АФ=~Иач)=(а;~Ц, 1=1, 2, ..., и, 1'=1, 2, ..., п.
П и множенин произвольной матрицы порядка (тХи) ри ум на произвольный скаляр справедливы следующие пра вила: 1) а(А+В)= аА+аВ; 2) (а+Ь)А = аА-1-ЬА; 3) а(ЬА)=(аЬ)А; 4) 1А= А, (А.57) где а и Ь вЂ” скаляры. Две матрицы могут быть перемножены, только если они соответствуют друг другу, т. е. если АВ = С, то число столбцов А должно быть равно числу строк В, при этом результирующая матриц р а С имеет число строк и столбцов, соответственно равное их числу в А и В. Таким образом„ л (Атхл)(Влур) = Сл,хр или си = ~~', аыЬы.
(А.58) Относительно уравнения (А,58) можно сказать, что или А стоит перед В, или В стоит после А при формировании С. Для получения элемента 1-й строки н )его столбца С суммируются произведения членов соответствующих элемеито А и 1'-м столбце В по уравнению (А.58). Другими словами, производится умножение Ьи строки А иа !." звз правило, умножение матриц не является коммутативным, даже если они соответствуют друг другу, т. е. для квадратных матриц А и В порядка и имеем АВ ~ ВА.
Если АВ = ВА, то матрицы коммутативны. Единичная матрица коммутативна относительно любой квадратной матрицы: 1А = А1 = А. (А.59) Умножение матриц ассоциативно и дистрибутивно по отношению к сложению матриц, т. е. 1) (АА)В = й(АВ)= А(АВ); 2) А(ВС)=(АВ)С; 3) (А+ В)С = АС+ ВС; (А.60) 4) С(А+ В) = СА+ СВ в предположении, что умно>кение осуществимо. Из правила 2) следует, что при умножении трех матриц можно или умножить В на С или умножить А на В, а потом умножить результат на оставшуюся матрицу. Обычно АВ = О не означает, что А = О или В = О. Сформулируем следующие правила умножения матриц: 1) (Матрица) „(Матрица)„= (Матрица) 2) (Матрица) „(Матрица-столбец)„к, = (Матрица- столбец) 3) (Матрица-строка), „(Матрица-столбец)„х, = Скаляр; 4) (Матрица-строка), (Матрица) „„=(Матрица- строка), „„; 5) (Матрица-столбец) к> (Матрица-строка),„„= = (Матрица) Иногда при сложении и умно>кении матриц удобно разбивать матрицы на подматрицы для применения правил матричной алгебры к подматрицам.
А.15. Детерминанты Детерминант матрицы А размерностью идти записывается в виде ап ам ... а„, а„а„... а,„ (А. 61) аю а> ... а„ Здесь А» — дополнение элемента а», которое определяется выражением А» — — ( — 1) ' М», (А.63) где М» — дополнительный минор, полученный исключением элементов в (-й строке и 1-м столбце детермицанта 1А(.
Другими словами, если ап ам ...а» ...а,„ ам а„... ам ... а,„ аи а» а! аю а~> ''' а~/ ''' а~и (А)= то, исключая элемент, 1-й строки и )-го столбца, получим ап ам ... а,>, а, >+, ... а,„ а„,, а;,, ... а> Ь>, а, Ь>~, ... а, (М» (= а,е,, а,е,, ... а„, > , а,+, >„, ...
а,~, „ а„, а„, ... а„ > , а„ >,„> а„„ Из приведенного определения следует, что детерминант порядка и зависит от и детерминантов порядка и — 1, каждый из которых в свою очередь зависит от и — 1 детерминантов порядка и — 2, и так далее до детерминанта порядка 1, который является скаляром. Для вычисления детерминантов второго и третьего порядков может быть использован простой диагональный метод.
Для и = 2 имеем ап ам ~ю=( =й >ам а>Ф12 ам а„ (А.64) 888 и равняется сумме произведений элементов произвольной строки или столбца на их соответствующие алгебраические дополнения, т. е. (А)= ~ а»А» —— ~~', а»А». (А.62) >=! Детерминант третьего порядка находится следующим образом.
а„ аы ам [ А [= а„а„а23 !231 а32 2>м а!!а22а33 + а>2а23аз! + + амазза2, — а„а>,ам — аыама33 — апа3>а23. (А,65) Для упрощения вычислений детерминантов используются следующие свойства: !. Если все элементы любой строки (или столбца) матрицы А равны нулю, [А[ = О.
2 [А~=[А!! 3. Если две любые строки (или столбца) матрицы А поменять местами, изменится знак соответствующего детерминанта. 4. Если А н В имеют порядок и, то [АВ[=[А[[В[. 5. Если все элементы любой строки (или столбца) матрицы А умножить на скаляр й, значение детерминанта увелнчится в й раз. 6. Если ранг (равд.
А.16) матрицы А порядка и меньше и, ее детерминант равен нулю. 7. Если кратное любой строки (или столбца) сложить с другой строкой (или столбцом), детерминант не изменится. Пример. Пусть А= 1 Ь Ь' Тогда 1 а а2 1 Ь Ьэ 1 с сэ 1 а а2 О Ь вЂ” аЬ2 — а2 О с — ас' — а' [А[= = (Ь вЂ” а) (с' — аз) — (с — а) (Ь' — а') = =(а — Ь) (Ь вЂ” с) (с — а). А.16. Ранг матрицы Если строки квадратной матрицы А порядка и лннсйно независимы, детерминант такой матрицы не равен нулю, а матрица называется невырожденной. Если детерминант квадратной мат. рицы порядка и равен нулю, то матрица — вырожденная, а се строки ие являются линейно независимыми.
Таким образом, де- вз! Этот детерминант называется детерминантом Вандермонда третьего порядка, терминант может использоваться для характеристики особенности матрицы. Ранг матрицы А порядка и> Хи равен порядку наибольшей подматрнцы А с ненулевым детерминантам.
Следовательно, матрица порядка и> Х и может иметь ранг, равный наименьшему из значений т и и или ниже. Ранг матрицы определяет число линейно независимых строк (или столбцов) в матрице. А.17. Присоединение и обратные матрицы Если А — квадратная матрица, а Аи — алгебраическое дополнение элемента аи в детерминанте [А[, то транспонированная матрица, полученная из дополнений Ап, называется присоединенной к А матрицей: [А2!)т [А !) 2, 1=1, 2, „и.
(А.бб) Иногда присоединение к А записывается в виде а2(! А. Обратная матрица А-' к невырожденной квадратной матрице А равна присоединенной к А матрице, деленной на детерминант А, т. е. Д = [А! — !А! (А. 67) Произведение невырожденной матрицы А порядка и Х и на свою обратную матрицу равно тождественной'матрице 1„т.
е. АА =А А=1„, (А.68) Таким образом, из уравнений (А.67) и (А.68) получаем (а саад) А = А (а д/А) = [ А ! 1„ (А,69) и А (А.70) [А~ Если А!, А>, ..., А.— квадратные матрицы порядка и, обратная матрица их произведения равна произведению их обратных матриц в обратном порядке; (А!А2 ... А~) =А,,'А, ! ... А2'А! '. (А,71) Аналогично, если существует матрица произведения А>А, ... ... А„, то транспонированная матрица этого произведения равна произведению транспонированных матриц в обратном порядке: (д д д, д 'т — (д )т(А )т (А')т(д'т (А 72) В общем случае матрица порядка 2 Х2 бб' — ьб 6 а $ А= б( е р (1) " [р Я р~ (1) р* (1)]~ ч (1) Ь [о„ (1), о„ (1), о (1)] Я(1) ~~ [бб„(1), бб„(1) баб(1)]г (Б.1) следа матрицы являются (А.75) (А.76) (А.77) (А.78) (Б,З) имеет обратную матрицу, равную Аналогично матрица порядка 3 Х 3 имеет обратную матрицу, равную А '— ае1+ бас+ а(Ь вЂ” бМ вЂ” б'Ь1 — лес Х (е1 — 1а) — (Ь1 — сй) (Ц вЂ” се) Х вЂ” (б(1 — )й) (а1 — сп) — (а1 — сб() (б(а — де) — (ай — Ьй) (ае — Ьб() Важный результат, называемый леммой об обращении, формулируется следующим образом: [А '+В СВ1 =А — АВ [ВАВ +С '1 ВА.
(А.73) Доказательство этого результата предполагается выполнить в качестве упражнения. А.18. След матрицы Следом квадратной матрицы А порядка п является сумма ее диагональных элементов л ТгасеА = — Тг (А) = ~ аго (А.74) ~=! Некоторыми важными свойствами следующие свойства: 1) Тг(А)=Т (Аг); 2) Тг(А+ В) = Тг(А)+ Тг(В); 3) Тг(АВ) = Тг(ВА); 4) Тг(АВСг) = Тг(СВгАг) Более подробное изложение материала, рассмотренного в данном приложении, можно найти в работах [21, 82, 218, 237, 285]. Приложение Б.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
