Робототехника.Фу, Ли, Гонсалес (962794), страница 100
Текст из файла (страница 100)
Параметры, имеющие величину и направление, называются пекторалям (напрпмер, сила, момент, скорость, ускорение), Вектор обычно представляется графически в виде стрелки, длина и направление которой соответствуют величине и направлению рассматриваемого параметра.
Сравнение векторных величин можно производить только, если опи описывают один физический параметр и имеют одинаковую размерность. Два вектора а и Ь равны, если они имеют одинаковые длину и направление. Запись — а обозначает, что вектор имеет величину, равную вектору а, но противоположно направлен. С вектором связан положительный скаляр, равный его величине.
Эта величина записывается в виде (а(. Если а является величиной или длиной вектора а, то Единичный вектор а имеет единичную длину в заданном направлении ! а (=1. (А. 2) Любой вектор а в трехмерном пространстве может быть приведен к единичному вектору следующим образом: (А.8) Рис. А.1. Сложение векторов, О+а=а+О=а.
а+ ( — а) =О. / а / l / / 4и ь Рис. А,2. Вгнчитание векторов. ига = 1а — а1 — а. ~ Ь1= ~ иг1~ а 1. (А.7) 571 570 где а, а„и а,— элементы вектора а вдоль основных осей ко- ординат. А.2. Сложение и вычитание векторов Сложение двух векторов а н Ь является коммутативным, т, е. а+Ь=Ь+а. (А.4) Это легко проверить путем рассмотрения параллелограмма со сторонами а и Ь (рис. А.1).
Сложение трех и более векторов ассоциативно (рис. А.1): (а + Ь) + с = а + (Ь + с) = а + Ь + с. (А,5) Разность между двумя векторами а и Ь записывается как а — Ь и определяется как вектор, проведенный из конца вектора Ь в конец вектора а при совмещении начальных точек векторов а и Ь (рис. А.2). А.З. Умножение векторов на скалярные величины Умножение вектора а иа скаляр т соответствует увеличению длины вектора а в 1пг) раз в том же направлении, если иг > О, и в обратном направлении, если т ( О, Таким образом, Ь= ига (А.б) При умножении векторов на скалярные величины используются следующие правила: 1) т(па) = пггга; 2) т(а+ Ь) = та+ пгЬ; 3) (ги+ п) а = та+ па, где иг и п — скалярные величгнгы.
А.4. Линейное векторное пространство Линейным векторным пространством )7 называется непустое множество векторов, определенных на области действительных чисел Р, которые удовлетворяют следующим условиям сложения векторов и их умножения на скалярные величины: 1. Сумма двух любых векторных элементов из )7 также яв.ляется векторным элементом, принадлежащим 1'. 2. Сложение двух любых векторных элементов )г является коммутативным. 3. Сложение трех любых векторных элементов У является ассоциативным.
4. Существует единственный элемент, называемый нулевым вектором пространства )г (обозначается через 0), такой, что для каждого элемента а ен )г: 5 Для каждого векторного элемента а ~ )г существует единственный вектор ( — а) ен 1/, такой, что 6. Для каждого векторного элемента ае= )г и для каждого скаляра тек Р произведение иг на а также является вектором пространства )г.
Если т = 1, то 7. Для любых скаляров т и и из области Р и любых векторов а н Ь из пространства У умножение на скалярные величины является дистрибутивным: пг(а+ Ь) = ига+ игЬ, (и + п) а = та + па. 8, Для любых скаляров т и п из области Р и любого вектора а из пространства )г иг (па) = (тп) а = игпа. Примерами линейного векторного пространства являются множества из всех действительных одно-, двух- или трехмерных векторов, 2 Рис Д,З.
Системы координат, (А.10) .~7ееГал 777аГая 573 672 А.5. Линейная зависимость и линейная независимость Конечное множество векторов (хь хь ..., х„) в пространствв )т является линейно зависимым тогда и только тогда, когда су. шествуют и скаляров (сь сь са, ..., с,) в области Р (не все равные нулю), такие, что С1х1 + саха + свхв + °,, + с»х» = 0 ° (А. 9) Если единственным условием справедливости этого уравнения является тождественное равенство всех скаляров с~ нулю, то множество векторов (х~) является линейно независимым. Два линейно зависимых вектора в трехмерном пространстве коллинеарны, т. е.
они находятся на одной линии. Три линейно зависимых вектора в трехмерном пространстве компланарны, т. е. они лежат в одной плоскости. Пример. Пусть а = (1, 2, 0) т, Ь = (О, 3, 2) т, а с= (3, О, — 4) '— векторы трехмерного векторного пространства. Эти три вектора составляют линейно зависимое множество в трехмерном векторном пространстве, поскольку За — 2Ь вЂ” с = О. Они являются также компланарными. А.6.
Линейные комбинации, базисные векторы и размерность Если существует подмножество векторов (еь еь ..., е„) в пространстве Г и множество скаляров (еь е„..., е,) в пространстве Р, такие, что каждый вектор х в к' может быть выражен как х = с,е, + с,ее+ ... + с„е„= ~ с,еь а 1 то вектор х является линейной комбинацией векторов (е). В этом случае говорят, что множество векторов (е,) охватывает векторное пространство 17. Базисными векторами в векторном пространстве 1/ является множество линейно независимых векторов, охватывающих векторное пространство (т.
Другими словами, базисные векторы— это минимальное число векторов, охватывающих векторное пространство 17. При выбранном множестве базисных векторов для векторного пространства к' каждый вектор х е= Р' может быть однозначно записан в виде линейной комбинации базисных векторов. Размерность векторного пространства (т равна числу базисных векторов, описывающих это пространство.
Таким образом, и-мерное линейное векторное пространство имеет п базисных векторов, Для представления векторного пространства размерностью п используется обозначение 1'». А.7. Декартовы системы координат Из раза. А.б следует, что при данном множестве нз п базисных векторов (еь ее, ..., е») в векторном пространстве 1l„ любой вектор г еи р'„может быть однозначно записан в виде линейной комбинации базисных векторов: г=ге, +ге,+ ... +г„е„. (А.11) В частности, при и = 3 в качестве базисных векторов могут служить три любых некомпланарных вектора.
В трехмерном векторном пространстве, если множество ба. зисных векторов (е„ев, еа) имеет общее начало О, они образуют косоугольную систему координат с осями ОХ, ОУ и ОХ, направленными вдоль базисных векторов (рис. А.З), Соответствующим выбором направления базисных векторов можно формировать различные системы координат, которые обычно используются в инженерной практике. Если базисные векторы (еь еь ев) расположены ортогонально друг другу, т. е. они пересекаются в начале координат О под Рис, А.4. Декартова система координат, прямыми углами, то онн образуют прямоугольную или декартову систему координат.
Кроме того, если каждый из базисных векторов имеет единичную длину, то система координат называется ортонормальной. В этом случае обычно для обозначения базисных векторов вместо (еь еь ев) используется запись (1,1, к) (рис. А.4). Если базисные векторы (1,1, 'к) ортонормальной системы координат направлены вдоль основных координатных осей и для совмещения оси ОХ с осью ОУ требуется поворот вправо на 90' относительно оси ОХ, такая система координат называется А.8.
Произведение двух векторов (А.16) (А,!7) а Ь=а а=|а||а|=|а|а (А.18) а (Ь+с)=а Ь+а с |а| созе |а) сез Ы (А.20) Рис, Ад, Скалярное произведение. б7З о74 правой, Если же направление базисных векторов для аналогич- ного совмещения требует поворота влево, соответствующая си- стема координат называется лавой. В этой книге используется только правая система координат. Кроме произведения скаляра и вектора важными являются еще два типа произведений. Первый тип называется скалярныия (внутренним) произведением, а второй — векторным (внешним) произведением. А.8.1.
Скалярное (внутреннее) произведение Внутреннее произведение двух векторов а и Ь является скаляром и определяется выражением а Ь=(а || ЫсозО, (А. 12) где Π— угол между двумя векторами (рис. А.б). Скалярная величина б=|Ь|созО (А.! 3) является компонентом вектора Ь вдоль вектора а, т. е. Ь численно равняется проекции Ь на а. Эта величина положительна, если проекция имеет одинаковое с вектором а направление, и отрицательна, если проекция имеет противоположное направление. Скалярное произведение а Ыа| |Ь!созО=|а|6=(Ь!|а| созО=| Ь!а равно произведению величины вектора а на компоненту вектора Ь вдоль вектора а. Оно также равно произведению величины вектора |Ь| на компоненту вектора а вдоль вектора Ь.
Следовательно, скалярное произведение обладает свойством ком мутативностн: а. Ь=Ь а. (А.16) Если скалярное произведение а и Ь равно нулю, то один из векторов или оба вектора равны нулю, либо они перпендикулярны друг другу и соз(.+90') = О, Таким образом, два ненулевых вектора а и Ь ортогональны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю. Поскольку внутреннее произведение может равняться нулю, когда ни один из векторов не равен нулю, то деление на вектор не определяется. Таким образом, если а Ь=а с, то не Ь = с, а просто а. (Ь вЂ” с)= 0 и Ь вЂ” с является нулевым вектором или вектором, ортогональным к а.
Если а и Ь имеют одно направление и О = 0', то сои О = 1 и а.Ь равно произведению длин этих двух векторов. В частности, если а = Ь, то т. е, равно квадрату длины вектора а. Скалярное произведение векторов является дистрибутивным относительно сложения, т. е. (Ь+с) а=Ь.а+с а.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
