Основы САПР (CAD,CAM,CAE) - (Кунву Ли)(2004) (951262), страница 99

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 99)

КЭРКаСНОГО Ребра, Варцтяиаын.ЕГО-КОНЕЧНЫХг,ТОЧЕК. ОР(тайяация.ВХОятдапня, рЕбра опредедяется вхождением начальной вершины, как н для'полуребер Вхождение ееришиы (ьетгех им) — это структура„представляющая смежное использование вершины ребром и качестве конечной точки, кольцом в случае одновершинного' кольца или оболочкой в случае одновершинной оболочки. Рис. Д.4.

Топологические элементы в представлении радиальных ребер Рисунок Д.4 показывает, что связи между базовыми топологическими сущностями задаются косвенно через четыре дополнительных топологических элемента: вхождение грани, вхождение кольца, вхождение ребра и вхождение вершины. Это аналогично введению полуребер для косвенного задания связей между кольцами, ребрами и вершинами (см. раздел 5В.2).

Вхождение грани ( Еасе-иге) — зто один из двух вариантов использования грани, или одна из двух ее сторон. Таким образом, оболочка, окружающая внешнюю нли внутренню область объема, определяется набором связанных вхождений граней. Вхождение грани, или использование грани оболочкой. имеет определенную ориентацию по отношению к геометрии грани, и эта ориентация противоположна ориентации сопряженного ему ' вхождения данной грани.

Каждое из двух вхождений грани становится элементом каждой нз двух оболочек, обращенных к данной грани. В случае сотовой структуры без замкнутого объема, как на рис. Д.5, эти сопряженные вхождения грани принадлежат одной и той же оболочке. В данном примере список вхождеттий граней 6т,— Епг — Енз — Епв — Ецт — Епз образует оболочку. Вхождение грани ог1таничено одним или несколькими вхождениями кольца, так как грань окружена кольцами. Вхождение кольца (Есор-иж) — это один из вариантов использования кольца, связанный с одним из двух вариантов использования грани, и оно имеет ориентацию по отношению к соответствуклцему вхождению грани, что определает ее внутреннюю или внешнюю грантщу (см.

Рис. Д.5). Вхождение кольца опРеделяется списком вхождений ребер. Вхождение ребра (етфе-иж) — это граничньтй сегмент кривой на вхождении кольца, принадлежащего вхождению грани, н оно представляет использование ребра данным вхождением кольца или, в случае Рис. Д.б. Использование дополнительных топологических элементов длл указании смежности Некоторые вырожденные ситуации указаны пунктирными связями на рис. Д.4, Во-первых, прямое соединение оболочки и списка вхождений ребра допускает,:;,:- существование оболочки, представляющей собой каркас. Аналогичным образом; соединение оболочки и вхождения вершины допускает существование оболотпф„'.,': .. состоящей из одной вершины.

Изолированная точка в немнопюбразном пред';.".-.,: ставлении хранится как независимая оболочка. Кроме того, прямое соеднненце'::-' ' вхождения кольца и вхождения вершины позволяет хранить изолированнуЮ: точку, находящуюся на грани, в виде кольца отверстия этой грани, что дает,аю-' .

можность представить свободное ребро, исходящее из некоторой точки на грани; '. Немногообразные модели смешанной размерности можно обрабатывать, интер претируя элементы меньшей размерности как вырожденные вхождения гранам и храня эти вхождения в списке вместе с другими вхождениями граней, принад-" лежащими той же оболочке. Теперь поясним, как в структуре радиальных ребер представляются кольцевой я . радиальный циклы. Прежде всего, кольцевой цикл задается просто списком вхтж. ждений ребер для каждого вхождения кольца.

Наприлтер, вхождение колыш')пт на рис. Д.5 несет в себе список вхождений ребер ео, — епт — епв — епв. Для задания радиального цикла каждое вхождение ребра имеет два указателя, указатель сопряженности и радиальный указатель (рис. Д.б). На рис. Д.б изображен вид сотовой структуры, представленной на рис. Д.5, в поперечном сечении.

По рис. Д.6, видно, что указатель сопряженности вхожления ребра — это указатель на вхож::;.:, дение ребра на обратной стороне грани, а радиалыгый указатель указывает на вхождение ребра, которое принадлежит вхождению грани, смежному в радиаль-::, ном направлении с вхсы1дэиием грани ззяаПИОго ЕХожденнв ребра Благодаря эппе указателям'можно полностью радиально упорядочить грани вокруг ребра, отслеживая указатели от любого вхождения ребра.

Как упоминалось ранее, в представлении радиальных ребер дисковый цикл не хранится в явном виде. Однако цикл «вершина — ребро» хранится, как и в многообразном представлении, в виде списка вхождений вершин лля каждой вершины. Хранение списка вхождений вершин эквивалентно хранению вхождений ребер, поскольку каждое вхождение вершины связано с вхождением ребра„н поэтому эквивалентно хранению цикла »вершина — ребров. Например, веря»ина У1 на рис. Д.5 хранит список вхождений вершин гв, — упт — уиз — гц, — тц» — чпе.

Обратите внимание, что вхождения вершин перечислены без значительного упорядочивания. Именно поэтому две различные модели, показанные на рис. Д.З, имеют одну и ту же структуру в представлении радиальных ребер. Указатели сопрвкеииости вхождения Рис. Д.б. Поперечное сечение с указателями вхождений ребер По рис.

Д.4 можно заметить, что такие базовые топологические элементы, как , грань, кольцо, ребро и вершина, являются избыточными, поскольку вся необходимая информация о них хранится в элементах нх вхождений. На самом деле не обязатель»ю иметь прямое представление граней, колец, ребер и вершин как таковых — представления их вхождений достаточно, чтобы указать их положение в молелн. Однако с точки зрения системной архитектуры удобнее, когда программисты, использующие операторы для манипуляции структурами данных, имеют дело с более интуитивными понятиями базовых тополопгческих элементов, а не с топологическими вхожден»ими этих элементов.

Это одно из несколь' ких оправданий для того, чтобы включать в представление такие избыточные элементы, как грани, кольца, ребра и вершины. Это рассмотрение структуры данных радиальных ребер станет яснее, если вы познакомитесь с детальной реализацией этой структуры в 1156). Д.2.-Онериторы длм- ианйййулир()ванин гопологией По аналогии с операторами Эйлера, рспользуемыми для манипулирования топо- логическими элементами в многообразных моделях, были предложены операторы, позволяющие манипулировать топологическнми дюп»ыми в немногообразных моделях 11571. Однако эти операторы не унаследовали полезных свойств операторов Эйлера, поскольку в их основе не лежало уравнение, подобное формуле Эйлера — Пуанкаре.

Кзк вы помните, формула Эйлера — Пуанкаре устанавливает связь между количествами различных топологических элементов многообразной модели. Возможно, вы скептически относитесь к вопросу существования аналогичной формулы для немногообразной модели, принимая во внимание гибкость ее топологии. Однако Масуда с коллегами [1091 обобщили формулу Эйлера — Пуанкаре на случай немногообразной модели следующим образом: о — е + (у' - г) -(У вЂ” У„+ 1', ) = С вЂ” С» + С„, (Д 1) где (Д.З) .'' Любой несвязный объект считается одним комплексом, и каждый комплекс может состо- ять из нескольких объемое и свободных рс(юр. Комплекс зквиезлеитеи модели е пред сгавлении радиальных ребер.

о — количество вершин; е — количество ребер; à — количество граней; г — количество колец, или отверстий, в гранях; У вЂ” количество замкнутых объемов во всех комплексах, или просто несвяз-.:,': ных объектах', У» — количество отверстий, или проходов через объемы; У, — количество полостей, или пустот, в объемах; С вЂ” количество комплексов, или несвязных объектов; С» — количество отверстий, нли проходов через объекты; С, — количество полостей, или пустот, в объектах. Выражение (Д.1) можно проверить на модели, изображенной на рнс. Д.1, а;-- В этой модели о = 6, е = 9,7" = 5, г = О, У= 1, У» = О, У, = О, С = 1, С» = 0 и С, = О.

Подстановка этих значений в выражение (Д.1) дает 6 — 9 + (5 — 0) — (1 — О + 0) = ..'. = 1 — 0 + О, что удовлетворяет уравнению. Мы можем также показать, что формула Эйлера — Пуанкаре, приведенная в урав-..; ." нении (5.1), является просто частным случаем уравнения (Д.1). Поскольку лю бой несвязный объект имеет один объем в многообразной интерпретации, мм" ' э»ятем, что У= С, У» = С» и Ук = С,. Подставляя зто в уравнение (Д.1), получаем о — е+ (у — г) = 2(У вЂ” У, + У„). (Д2) Число оболочек з равняется сумме количества объемов У и количества пустот У„':::- поэтому (Д.2) можно переписать следующим образом: о-е+(7'-г) =2(з -У»). Рис.

Д.7. Минимальный набор операторов ,... „...,...,, вагтуиив,ючж, Следовательно, уравиеийег(ДгЗ)' — это 'го же сагмпгег что и уравнение-(5.1),' по.-. скольку т'и 'гь имеют такой же смысл, что й и р в уравнении (5 1). 'Когда связь между топологическими элементами в немногообразной модели установлена, как в уравнении (Д.1), мы можем определить минимальный набор операторов, необходимых для манипулирования ими. Поскольку формула (Д.1) определяет плоскость в 10-мерном пространстве с координатами (р, е, 7; г, $г, уь )г„С, Сь С,), имеется 9 независимых базисных векторов. Таким образом, для описания любого объекта в немногообразной топологии достаточно иметь 9 опе' раторов и соответствующих нм обратных операторов. Один из возможных мини' мальных наборов, определенный в 11091, иллюстрирует рис.

Д 7. Хотя девяти операторов достаточно для создания любого объекта, на практике можно достичь большей эффективности, если добавить еще несколько операторов. Как вы .помните, в разделе 5.3.3 мы анели семь операторов Эйлера, хотя для создания , многообразной модели достаточно пяти Точно так же, как команды моделирования высокого уровня реализованы в системах твердотельного моделирования с помощью операторов Эйлера, команды немногообразных систем моделирования реализуются путем последовательного выполнения соответствующих операторов. На рнс. Д.8 показано, как с помощью предложенных операторов, перечисленных на рис. Д.7, создается примитивный параллелепипед.

Характеристики

Список файлов книги