Основы САПР (CAD,CAM,CAE) - (Кунву Ли)(2004) (951262), страница 102

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 102)

К.2, б). Обратите внимание, чта на рис. К.2, а пересечения могут возникать между лоскутами РЗ и О,1 и лоскутами Р4 и ОЕ Поэтому данные пары записываются в список соперников (Рис К.2, в). Возможность пересечения двух лоскутов мажет быть обнаружена путем сравнения минимального размера блоков, каждый из которых едва умещает в себе лоскут. После этого проверяется, являются ли лоскуты, хранящиеся в списке соперников достаточно плоскими для того, чтобы их можно было аппроксимировать плоскими четырехугольниками.

Если какой-либо из лоскутов в списке не явля- ! т ацноиальнал поверхность Безье палучаегсл из поверхности Безье путем введения однородных координат лля контрольных точек ется'дастятачнях пдаским, ан делится, на четыре частн.'В:нзпм-:,'елучае ква)грантное дерево саответствукнцей поверхности обновляется. с учетам этих новых лоскутов. Также модифицируется список соперников, так чта пары, включавшие до разбиения старый лоскут, удаляютсяг.а вместо них добавляются пары с новыми '. ' лоскутами. Рис. К.2.

Представление рациональных лоскутов Безье в виде каадзаитиога дерева и его список соперников На рис. К.З показано, как изменяется квадрантное дерево и список соперников,'..' когда лоскут делится на части, поскольку не прошел тест на плоскостность В данном примере на плоскостность проверяются лоскуты из пары РЗ вЂ” О1, и:г лоскут О1 делится на четыре новых лоскута: Я11, Я12, Я13 и 014. Здесь мы' предполагаем, что лоскут РЗ прошел тест на плоскостность.

Таким образом,',' квадрантное дерево, изображенное на рис. К.2, б, обновляется в соответствии с.' рис. К,З, б. После этого производится тест на пересечение между новыми лоску- ':, тами и РЗ для обновления пары РЗ-О1 в исходном списке соперников.

Если но-!! вые лоскуты располагаются, как показано на рис. КВ, а, то пара РЗ-О1 будет за- .-,::, менена на две пары РЗ вЂ” О11 и РЗ-О12 (рис. КЗ, в). Рис. К.З. Обновление каздрзитного дереза и сглска соперников после теста на плоскостность Рис. К.Б. Обратный поиск Лоскут Х1 Рис. К.4. Поиск следующей пары К.2, йвхожденна пересекающихся сегментов Мы получили квадрантные деревья пересекающихся поверхностей и список соперников. Теперь можно приступить к поиску пересекающихся сегментов, начиная с одной из пар в списке соперников.

Сначала мы можем взять любую из пар в списке соперников и вычислить сегмент их пересечения (или, точнее, дае конечные тачки). Для вычисления этих конечных точек мы используем пересечение двух плоскостен, поскольку все лоскуты в списке соперников уже прошли тест на плоскостность. Обозначим эти точки как А1 и А2. Вспомните, что мы Всегда находим точные координаты соответствующих точек, ко1да получаем конечные точки по пересечению двух плоскостей.

Конечная точка используется как первоначальное грубое приближение для точного нахождения соответствующей точки путем решения уравнения (7.50). Теперь необходимо найти следующую пару лоскутов, которые дадут сегмент пересечения, соединенный с одним из концов текущего сегмента пересечения. Лопусгнм, что мы ищем точки пересечения от А1 к А2.

Соответственно, нам нужно найти пару, которая даст сегмент пересечения с точкой А2. Процедура нахождения следующей пары показана на рис. КА. Следующая пара, Х1 — г'2, находится после получения текущей точки пересечения А2 из текущей пары, Х1-У1. следующим образом. (2 Определяется местоположение текущей точки пересечения, в данном случае А2, по отношению к лоскутам текущей пары. Таким образом, А2 находится на границе лоскута У1 и внутри лоскута Х1. 0 Лоскут, полностью содержащий в себе текущую точку пересечения, то есть лоскут Х1, используется снова для следующей пары. После этого мы выбираем один из лоскутов, соседствующих с У1, в качестве второго лоскута для следующей пары.

Выбор определяется местоположением текущей точки пересечения относительно г'1. В данном случае мы выбираем правый соседний лоскут, поскольку текущая точка пересечения А2 находится на правой границе лоскута У1. Затем мы вычисляем точки пересечения для этой новой пары, и для поиска следующей пары роль текущей точки пересечения возьмет на себя другая точка, отличная от А2. Эта процедура завершается, когда точка пересечения достигнег границы однс й из пересекающихся поверхностей (рис. К.5). После этого точки пересечения проходятся в обратном порядке, начиная с исходного сегмента пересечения. Можно считать, что текущая кривая пересечения получена полностью, если она превра-' щается в замкнутый контур или пересекается с одной из поверхностей по двуМ граничным кривым. Мы можем также найти остальные кривые пересечения, вЫ полнив поиск точек пересечения от одной из пар в списке соперников, которая не участвовала в вычислении уже полученных кривых пересечения.

Так, если мы не оставим в списке соперников ни одной пары, которая бы не участвовала в вычислении какой-либо кривой, то мы тем самым найдем все кривые пересе-' чения. Приложение Л Формулировка системных уравнений конечнозлементного анализа на базе . основного дифференциального :уравнения В разделе 8.2 мы рассматривали формулировку и решение системных уравнений конечноэлементного анализа непосредственно на основе интегрального уравне' ния, описывающего условие равновесия решаемой задачи, Однако большинство .инженеров знакомы с уравнениями равновесия, выраженными в виде дифферен.циальных уравнений.

Например, уравнения равновесия для задач, связанных с распространением тепла, вибрацией и потоком жидкости, обычно выражены в дифференциальной форме. В этом приложении мы опишем использование метода взвешенных остатков как одного из методов формулировки уравнений конечноэлементного анализа на базе основного дифференциального уравнения'. Метод взвешенных оспьатков (тейп![ о/ неьй[ьтеь( ьепг[иа[з) — это численный метод получения приближенных решений дифференциальных уравнений. Он состоит из двух шагов. Сначала выбирается приближенное решение, удовлетворяющее дифференциальному уравнению и его геометрическим граничным условиям. Приближенное решение обычно дается в виде линейной комбинации известных функций с неизвестными коэффициентами.

Эти известные функции эквива' лентны функциям формы, а неизвестные коэффициенты эквивалентны смещениям узловых точек. Когда это приближенное решение подставляется в дифференциальное уравнение и ьраничные условия, получается ошибка, пли остаток. ' Соответственно, решение исходного дифференциального уравнения эквивалентно устремлению этого остатка к нулю в некотором усредненном смысле во всей области решений. Отсюда возникают интегральные уравнения.

На втором шаге интегральные уравнения решаются относительно неиавестных коэффициентов, и таким образом получается приближенное решение. Рассмотрим каждый шаг несколько более подробно. Прежде всего будем считать, что основное дифференциальное уравнение имеет вид ! Взрызциопььый метод основан па ыпппыыззцып соответствующего функционала, зкпппалсптцого дифференциальному уравнению равновесия, и может быть использован для формулировки уравнений копечпозлеыецтцого анализа из основного дифференциального уравнения. Однако метод ззвепьеьпьых остатков можно использовать даже в том случае. когда функционала, зквппалептпопь дифференциальному уравнению равновесия, пе существует. Формулировка уравнений с помощью варпацпоьщого метода представлена з [166[ и [145[.

Я=А(ф,) — 1 Чтобы минимизировать Я во всей области решений, определим взвешенной:::;. среднее значение, которое должно стремиться к нулю во всей области: [)т(Ш=[)[иф.)-ДН, Ш=О, (Л.4) и и где Яг! — это весовые коэффициенты. Подставляя в уравнение (ЛА) и различных ' ..,''„ весовых коэффициентов, мы можем получить систему из и уравнений, из кото'-: рой можно определить неизвестные С; (ь = 1, 2, ..., п).

Эти весовые коэффициенты могут быть выбраны по различным критериям,, В методе Галеркина, например, в качестве йь! используются известные функции дь из уравнения (Л.2). В этом случае система уравнений для метода Галеркина принимает вид $ йй,.гШ = ) [Цьр, ) - у [ я,гШ = О ь = 1, 2, ..., и. (Л.5) ' . В примере Л.1 мы покажем. как использовать метод Галеркина для формулировки уравнений конечноэлементного анализа в задаче распространения тепла.

Приме. пение метода Галеркина к решению других типов задач описывается в [145[. Пример Л.1 Рассмотрим одномерную задачу распространения тепла, п[юдставленную на рис. Л.1, а: температура стержня изменяется только в осевом направлении.

Смо-' делировав стержень в виде совокупности линейных элементов с двумя узлаМИ (рис. Л.1, 6), вывести системные уравнения конечноэлементного анализа с ис-,,- пользованием метода Галеркина. Теплопроводность материала равна ььь, коэффи- циент конвективного теплообмена равен й, окружающая температура равна Т„ а интенсивность теплообразования в единице объема равна Я. Предположим, ' ':" что излучательным теплообменом можно пренебречь.

Цф)-Х =О .. = (Л.1) в области континуума 1ь. Допустим также, что граничные условия таковы: ьр=ф на В. Здесь ф — это зависимая переменная, относительно которой ищется рещение,уизвестная функция независимых переменных, Х. — линейный или дифференци-,:;.'., альный оператор, а  — граница области В. Начнем с того, что зададимся приближенным решением ьр,: П ф и ф„= ~ Сьй „ (Л,2) ю! где С, — это неизвестные коэффициенты, относительно которых ищется решение, а д! — принятые нами известные функции независимых переменных. Подстановка (Л.2) в (Л.1) дает ненулевое значение А(ф, ) — у, поскольку ф, является приближенным решением.

Обозначим это ненулевое значение как остаток В, выражаемый формулой (ЛВ) ' ,,'1::, Обратите внймание, что элемент объема гй(заменяется на А г(х, где А — зто плошаль поперечного сечения в точке Х. ,'1 Интегрируя первое слагаемое по частям и опустив постоянную площадь, полу.:;1 чим '» « гТТ1 ' «( гЯ (ТТ х, х; х, )ч(йА И, й ~г1« 1 ("'~' ~ + 'й, "'~ -гТ +'),, ('гА«1«=О (Л11) б .'т) (гх х( Когда будет выполнено суммирование по всем элементам, первое слагаемое каждого элемента в уравнении (Л.11), кроме первого н последнего, уничтожится„поскольку в следующий элемент входит такое же слагаемое с обратив(м знаком. Поэтому данное слагаемое достаточно вычислить только для элементов с номерами 1 н М, если считать, что элементы нумеруются последовательно, а М вЂ” это общее число элементов.

Чтобы вычислить это слагаемое для первого и последнего элемента, рассмотрим один из концов тела (рис. Л.2). Внешний поток тепла обозначен как (г„поток тепла, обусловленный теплопроводностью, — (г а поток тепла за счет конвекцни — (г, Граничная конвекция Лоток тепла через границы Лоток тепла червя я»анины Граничная конввкция х- х= Х( Решение Как можно узнать из большинства учебников по распространению тепла, основ- ное уравнение для температуры Т в стержне имеет вид ~'яА — ) — г(Р(Т-Т,)+0А =О.

Характеристики

Список файлов книги