Основы САПР (CAD,CAM,CAE) - (Кунву Ли)(2004) (951262), страница 100
Текст из файла (страница 100)
Все прочие команды моделирования реализованы аналогично. На самом деле команды, доступные в немногообразных системах моделироват~ия, выглядят точно так же, как команды обычных системах твердотельного мо- делироааиия. гак что пользователь может и не заметить.разииды в их исподьзо- ванни. Единственным различием будет область значений представимого объекта .- и, соответственно, хранимые в нем данные.
Рис. Д.8. Создание примитивного параллелепипеда с помощью операторов, предложенных Масудой и др. Приложение Е .Алгоритм де Кастильо Алгоритм де Кастильо можно сформулировать следуюшил! образом. '.Р(и), координаты точки ла хривон Безье пра значении паричвглра, ратюм и, рав -ны Рв и вагчнсляются по следующей рекурсивной формулт Р," =(1-и)Р; ' +иР;,,', (Е.1 где г=1,...,п; з=О,...,п — г; Р,.' =Р,, 'а начальные значения Рв — зто координаты задающих точек Р, Выражение (Е.1) показывает, что Р,' вычисляются по Рв, или что задающие точ- :ки Р,.в вычисляются по Р,' и т.
д., пока не будет получено Ра — значение Р(и). Этот процесс показан на рис. Е.1 для кривой Безье порядка 3 (и = 3). Обратите внимание, что Р' получается путем разбиения сегмента линии Р Р на отрезки с ! ! о я отношением длин и: (1 — и), Р, и Р, определяются так же. Затем находится Рв, ' для чего сегмент линии Р Р, разбивается на отрезки с тем же отношением длин, ! а после этого определяются Рв илн Р," путем аналогичного разбиения сегмента з яъя 3 3 Р, Р, . Рв дает координаты точки кривой„соответствующей значению парамет- ра и. Как вы помните, значение параметра определяет отношение, в котором раз- биваются соответствующие сегменты линии. Рисунок Е.1 показывает также, что исходная кривая Безье состоит из двух кривых Безье: одна определена четырьмя задающими точками Р„, Ра, Р,з и Р, а другая — Р,, Р,', Р,' и Рз.
Проверку этого утверждения можно найти в 1481. Обратите также внимание, что два новых за- дающих многоугольника аппрокснмируют оригинальную кривую Безье гораздо более близко, чем исходный задающий многоугольник. Таким образом, алгоритм де Кастильо может применяться многократно для аппроксимации кривой Безье сегментами прямых линий. Процесс получения Р,", с помощью формулы (Е.1) иллюстрируется схематически на рис.
Е.2. Любая точка Р,." определяется верхним левым соседом Р; ' и левым соседом Р;,,', следовательно, новые точки, создаваемые в процессе рекурсии, об- разуют нижний треугольник с вершиной в Р,",. Зта схематическая диаграмма со- держит дополнгггельную полезную информацию. Мы показали, что кривая Безье порядка 3 в процессе применегшя алгоритма де Кастильо может быть разделена 'га две кривые Безье того же порядка. Зту идею можно распространить на кри- ' вУю Безье любого порядка. На самом деле две группы точек, окруженные пунк- тирными линиями, — это задающие точки двух кривых Безье, полученных путем ':"' " '-"-))й()~а~й~~Ф)Й)Ю~)йьйМ~~~ю~е~:-"".':,' '-'-':-'.": "":"ьри.".:''::.".-"'-"':.'=:',::".'::.'!:".:'::;::::..".:-"-"'":":'::;-,:;:$9Ф разделения исходной кривой Безье, определенной точками Рв, Р,, ...,.Р„'. Таким образом.
кривую Безье любого порядка можно разбить на миожеспю кривых Безье.': того же порядка„многократно применяя алгоритм де Кастзиьо, и результирующие',: задающие многоугольники будут достаточно близко аппроксимировать поколдую,':., '" кривую. Такая аппроксимация прямолинейными сегментами мсвкет использоваться . для вычисления начальных значений точек пересечения между кривывш Бегзье.: '... Реализация алгоритма де Кастильо на языке С представлена в листинге Е.1, С помощью алгоритма де Кастильо можно также вычислить произволные кри-' .„: вой Безье.
Дело в том, что производная любого порядка от кривой Безье может',: -". быть выражена уравнением кривой Безье, как отмечалось в разделе 6А.1. Рз Рв Рис. Е.т. Применение алгоритма де Кастильо Рис. Е.2. Схематическая иллкгстрация алп)ритма де Кастильо Листинг Е.1.
Реализация алгоритма де Кастильо на языке С поаг оесазгоейгее. соегп ы) /* Использует алгоритм де Кастильо для вычисления одной координаты гочки кривой Безье. ))плана вызываться для каждой нсордина!ы гх. у и/или з) задаоцего нногоугольника. ~~йч(О<И(чйй~Ф"'~щй безье Вход: йейгее: степень кривой асей: пассив иозйфиниентов кривой ы: значение параметра Выход: значение иоординаты ь/ (пт сергее: Поас совы[3; Поас н: (пг г. ц Пода о1". Раас соетта[ЗО]: /* дополнительный массив измените разиерность. если его недостаточно */ и1--1.0 - о: Гог(т-0: з =Оедгее: з++) соепа[(3 - соетт[): /* сохранлен входной пассив */ тог(г-1: г<-сергее: г++) тог(з-О; з<=сейгее-г: 1++) ( саетта[з 3 = ы1 * сов/та[13 + н * соетта[з+13: гео/гп(сое/та[03): Приложение Ж Вычисление В-сплайновой кривой по методу Кокса — де Бура Опишем вычисление В-сплайновой кривой по методу Кокса — де Бура Для это(ту,', '.
мы вычислим координаты В-онлайновой кривой для параметра и в диапазо((е:"' г, < и < г/но Когда и находится в этом диапазоне, достаточно рассмотреть тольадд::. ь' ФС(. РаСПрОСтраНяя ЭффЕКт Л~г( (СМ. рне. 6.5), МЫ МОЖЕМ ЗаКЛЮЧИтЬ, ЧтО тО))дй(чд'" ' функции сопряжения Ф~ (ь,)„н, Фсв могут иметь ненулевые значения. Поэтйвд)зв"' выражение для Р(и) можно изменить следующим образом: Р(и) = ~Р,])/хз(и) = ~) Р,.Ц„(и). (Ж 1() 1 в / /-ко Подставляя уравнение (6.32) в уравнение (Ж.1), получаем: + ~(~ — С, )й/,.
„, (т„з -т/)/)/ьи ! чрГ + -/-и+/ //,/ 1 -г, х=/-мз Г„ьч — Г/ и — г,. /+! ( и — т. ! /-з 2 г, ви /1 / /-ь+з "/+ь-( /) / — Р+1 — ' Р,, ])/; — ~ Р,'Ф,. 1/-ь з где Р, определяется следующим образом'. (ЖЗ) 1, Г/ зл Г'/ Таким образом, Р,' можно интерпретировать как внутреннюю точку разбиения, сегмента линии Р,Р/ „аналогично алгоритму де Кастильо. Теперь ]т//д з выражается через комбинацию Ф/д з и Ф;„д з с помощью форму-,: лы (6.32), и это выражение подставляется в уравнение (Ж.2) вместо /)/сь е Посде этого, используя процесс, аналогичный тому, который применялся при вывода:.( уравнения (Ж.2), мы можем получить следующее соотношение: ' Во второй строке (Ж 2) делается подстановка/ = з ч- 1, а в третьей строке диапазон суммах,'.
.': рования сужается, поскольку А;.ь,,/, и Л;„х, равны вухо в ииМяво)е й и г/ (. (Ж.4) (Ж.10) (ж.5) рз 1=!-а+га! где Р ~ Р~-1+ 1 ', Р,-! и — С 1 1 1-1 Сааа-а — Сг Сгаа-а — С, (Ж.6) Рис. Ж.т. Создзнив точки Р Р(и) = 2; Рагу, 1 1-ЬЗ где Р!4 определяется следующим образом: С„„, -С, Иными словами, Р,' также прелставляет собой внутреннюю точку разбиения сег ' мента линии Р,'Р,. ' Повторив ту же процедуру произвольное число раз г, мы получим: Р(и) = ~Р,.'А',з,(и), Р," носит название точки де Бура. Обратите внимание, что под Рз в выражении (Ж.б) понимается Р,. Делая в уравнении (Ж.б) подстановку г = (14 — 1), получим Р(и) =Р,' 'А!11(и) =Р1' (Ж.7) Поэтому мы можем сказать, что координаты точки, соответствующей значению параметра и в диапазоне С, < и < С„„— это координаты Р,, получаемые путем а-! рекурсивного разбиения сегментов линий между соответствующими точками, начиная с сегмента между двумя исходными задающими точками.
ПРмьзвР Ж.1 Для кривой В-сплайна, показанной в примере 6.4, вычислите координаты точки, соответствующей и = 2,5, используя алгоритм Кокса — де Бура. Решение В соответствии с условием примера 6.4 значения узлов таковы: Со = О, С! = О, Сг = О, Сз = 1, С4 = 2, Сз = 3, Сз = 4, Сг = 4, Св = 4. Таким образом, в данном случае С становится равным 4, поскольку Са < 2,5 < Сз, и в соответствии с уравнением (Ж.7) Р(2,5) = Р,'. Используя уравнение (Ж.б), можно выразить Р4 как Сача-г С4 а. С4+а-г Са а и-С4 ! С и-С, 1 (Ж.8) Сз -С, Сз -Са = 0,5Р,' + 0,5Р,'.
Обратите внимание, что при выводе уравнения (Ж.8) были подставлены значения )2=3 н и = 25. Можно также получить Р,' и Р,', используя уравнение (Ж.б): Р! 4 Ра +~1 а ]!Рз = Ра + Рз и-г, ! ' и Сз1 3 1 Ра Рз+~1 ]Р2 Рз+ Р2 Обратите внимание, что Ра заменяется на Р1, как и прежде. Теперь можно найти точку Р(2,5) на кривой (см. рис. 6.6), используя уравне- ния (Ж.10), (Ж.9) и (Ж.8), как показано на рис. Ж.1. Рисунок Ж1 показывает, что исходная кривая В-сплайна разделена на две кри-!' вые В-сплайна того же порядка, как это делалось для кривых Безье: одна кривая::.
г г определена задающими точками ЄЄР2, Рз и Р,, а другая — Р,, Р4, Р4 н Р,, Первая кривая В-сплайна имеет пять задающих точек (л = 4) и порядок 3 (Сг = 3), ':::: так что она имела бы узловые значения 10 0 0 1 2 2,5 2,5 2,5]. Аналогичным обра-,',. зом„вторая кривая В-сплайна имела бы узловые значения 12,5 2,5 2,5 3 4 4 4]. Процесс итеративного вычисления Р1' с использованием уравнения (Ж.б) мож-,: но иллюстрировать схематически (рис.
Ж.2). Любая точка Р;" определяется верхним левым соседом Р,.',' и левым соседом Р,.", следовательно, новые точки, создаваемые в процессе рекурсии, образуют нижний треугольник с вершиной в Р," 1. Эта схематическая диаграмма солержит дополнцтельную полезную информацию. Мы показали, что кривая В-сплайна порядка 3 в процессе применения ал-::-, горитма Кокса — де Бура в примере Ж.1 может быль разделена на две кривые В- сплайна того же порядка. Эту идею можно распРостранить на кривую В-сплайна любой степени, как и в случае кривых Безье. На самом деле две группы точек на ., рис.
6.12, окруженные пунктирными линиями> — зто задающие точки двух кри- .,'' .', вых В-сплайна, полученных путем разделения исхолной кривой В-сплайна, оц-':.::,, Ределенной точками Ра, Р,, ...„Р„, в точке, где паРаметР и пРинимает значение, С, < и < С14 ь Таким образом, кривую В-сплайив любого порядка можно разбить иэ— множество кривых В-сплайна того же проявив миопжратно применяя алгоритм Кокса — де Бура, и результирующие задающие многоугольники будут достаточно Рис. Ж.2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
