Основы САПР (CAD,CAM,CAE) - (Кунву Ли)(2004) (951262), страница 46
Текст из файла (страница 46)
После задания граничных условий для всех внешних узлов программа дснечноэлементного анализа формирует систему уравнений, связывающую гра.: гничбые условия с неизвестными (смешениями или температурой в узлах или зщзффициентами функции формы в р-версии), после чего решает эту систему 'гй~йсительно неизвестных. Процесс формирования и решения системы уравнеййй'рассматриваегся в разделе 8.2. Иосле нахождения значений неизвестных пользователь получает возможность :: ':::: ..,Р)ссчитать значение любого параметра в любой точке любого конечного элемен' та.по той же функции формы, которая использовалась при построении системы дравнений.
Выходные данные программы анализа методом конечных элементов : чбычно представляются в числовой форме. В задачах механики тверлых тел '..выходными данными являются смешения и напряжения. В задачах на тепло- ' ч ункции формы — независимые полиномьк определяюшие аппроксимацию переменной„относительно которой решается задача. 2 В р.версии функция формы представляет собой ослином высокого порядка, а коэффи. циенты этого полинома также считаются неизвестными, которые ищутся в процессе решения задачи. перенос выхолными данными являются температуры и тепловые потоки через .Г конкретные. элементы.
Олнако по числовым данным пользователю бывает затруднительно получить общее представление о повелении соотвегствуюших параметров. Графические изображения обычно более информативны, поскольку дают возможность изучить поведение параметров на всей области задачи. Анаа~'" лиз повсления парамегров может произволиться прн помощи постпроцессора, который строит кривые и контурные графики переменных по данным програм,"':м, мы конечнозлементного анализа. Для зэлач строительной механики возможно отображение деформированных тел вместе с недеформированными. В этой области для систем автоматизированного конструирования очень важными становятся функции компьютерной графики Мы завершим вводный раздел обсуждением ограничений метода конечных элементов.
Многие конструкторы страдают чрезмерной верой в мощь этого метода, !::, ' не имея представления о его ограничениях; онн принимают неправильные ре, зультаты без тени сомнения. К преимушествам метода конечных элементов относится возможность работы с телами произвольной геометрии и неолнородными материалами. Однако суть метода состоит в делении области задачи на набор конечных элементов и поиске наилучшего решения, непрерывною «внутри» алеф,'" ментов. но имеюшего возможность претерпевать скачки на их границах. Например, дечюрмация на границе конечных элементов кронштейна (рис. 8.3, а), может испытывать скачок, невозможный с точки зрения физики.
Величина такого ",:;,. скачка часто служит мерой точности решения. полученного методом конечных ",-:':, 'элементов. Неточности такого рода зависят от количества элементов, их размера и степени функции формы, используемой внутри каждого из элементов. 8.2. Формулировка метода конечных элементов ",.::, Как уже отмечалось, программы анализа методом конечных элементов формиру;;.'-. Ют системы уравнений с неизвестными, учитывая заданные граничные условия. Затем система уравнений решается относительное неизвестных, а по найденным решениям рассчитываются значения характеристик внутри элементов. В этом Разделе мы рассмотрим процелуру построения системы уравнений в классиче- ~"." оком варианте метода конечных элементов (Ь-версия).
Чтобы вывести уравне"!-':. ния для задач строительной механики, мы воспользуемся принципом виртуаль- ' ":.!;:.; иых перемещений. Мы будем следовать схеме именования переменных, ~'.:;- принятой в работе 1101, чтобы заинтересовавшийся читатель мог с легкостью найти в ней ответы на свои вопросы. Для вывода системы уравнений из основных дифференциальных уравнений используется иная процедура, описанная н приложении Л. Рассмотрим трехмерный объект произвольной формы, находящийся в равновес- ~ ном состоянии под воздействием некоторой нагрузки (рис. 8А), Силы трения,, действуюшие на поверхность, обозначим гз, массовые силы — (э, а сосрелоточен- ~ ные внешние силы — Р'. В общем случае эти силы раскладываются на компонен- ~ ты, параллельные осям координат: (8.1) Рив.
8.Я. Трвкмврный объект с внешними снлвмн 'е)йййиачим смещения произвольной точки объекта (Х, у, 2) по сравнению с конфйФур»ацией в отсутствие нагрузки символом 11. Тогда (1~ = [Г(Х,У,Х) $'(Х У,Х) И'(Х У,Х)), (8.2) ,:,;. (где -индекс з означает транспонирование. Смещения 11 приведут к возникновейию деформаций е = е е . е (8.3) 1 лл и 22 л> уы тгх1 и собтветствуюших напряжений т =1тлл ти т тхг тг т-х 1. т (8А) 21аша задача состоит в том, чтобы рассчитать Ц е, т в точке (Х, У, 2) по заданцым внешнилл силам. Возможно, вы знакомы со следующим подходом к этой за- «1)йчж основные дифференциальные уравнения равновесия записываются путем г "-Мзлозгення условия равновесия на эделленты объекта, после чего эти уравнения ' .р«ЕШаются с учетом граничных условий и условий совместности.
Сгуншствует равноправный подход к описанию равновесия объекта — принцип виртуальных т~еремещений. Согласно этому принципу, равновесие объекта тре'буеч, чтобы для любых совместных малых виртуальных смещений, удовлетворялоших существенным граничным условиям, полная внутренняя виртуальная работа была равна полной внешней виртуальной работе. Отсюда уравнение равповесия лшжет быть записано следующим образом: етт ~(Р У ()т(вг(Р + )» (1е гег15+ ч~~ 21~ (8.5) Левая часть уравнения (8.5) описывает виртуальную внутреннк>ю работу, выполняемую реальными напряжениями на виртуальных деформациях, вызванных виртуальными смещениями 11.
В этом выражении е = (е„д. еи йж Тлг (8.6) ;.,". Слагаемые в правой части выражения (8.5) описывают внешнюю работу, выпол;,;~-" няемую реальными силами г, г и г' на виртуальных перемещениях О, где в (1~ = ((7(ХХ,2) Ё(Х У,Х) Ё(Х.У,Х)). (8.7) ~,:-":!.:-'." Верхний индекс 5 у вектора $3 означает виртуальное смещение на поверхности, ~ 1 ':;„!'::. а верхний индекс 1 — смещение в точке п1знложсипн сосредоточенных спл Р '~.'~,:', Уравнение (85) вюпочает также требования па совместимость и констнтутпвность непрерывных функций смещений, которые удовлетворяют граничным -::,'1:, условиям. Напряжения вычислякггся через деформации по соответствующим ,::-: материальным уравнениям. Поэтому прлшшш виртуальных перемещений вклю."» .
чает нсе требования, которым должно удонлетнорять решение задачи строитель;,,":.:".. Ной механики. Посмотрим теперь, как из уравнения (8.5) получаются уравнения метода конеч;:.';:-ных элементов. Начнем с аппроксимации обьекта, изображенного на рис, 8А, " -сеткой конечных элементов. Элементы соединшотся друг с другом в узловых '; .Точках, которые находятся на их границах. Смешение в любой точке с координа;"-тами (х, у, 2) в локальной системе координат элемента считается функцией смешений в узловых точках'. То есть для элемента и высказывается прецположе- :~,"':. ние, что н (х,у,г) = Н (х,у,2)Н, (8.8) „гйе Н'"' — интерполяционная матрица смещений, а (1 — вектор смешений на -';: всех узлах.
Если общее количество узлон равно 7»', вектор О запишется следую;".;" й01м образом. =М п~ % нл вг гвл " нл ек гвн1 (8.9) .;:-',.',:.:Это выражение можно переписать так: Ст =1(7 (7е Пл ". (7.1. (8.10) л',"':»где (7,. может задавать смещение в любом направлении, а п соотнетстнует обще"". му количеству степеней своболы.
Далее мы будем использовать это выражение е-"!', для Е1. " ' Котя в уравнении (8.10) перечисляются смещения всех узлов, а следовательно, -:-','ран смещения входят и в выражение (8.8), для каждого конкретною элемента „, бскмещения ннутри него определяются только смещениями в его собственных уз"; яах.
В уравнение же (8.8) все узлы вошли потому, что это облегчает процесс объ„:"- единения матриц отдельных элементов в матрицу структуры в целом, как булет '-'::;,:, показано ниже. ',;. Уравнение (8.8) позволяет вычислить деформации: е~" 1(х,у,г) = В' '(х,у,г)(1 (8.11) .: Строки матрицы деформаций-смещений В'"' нз ураннения (8.11) получаются диффе~лелщированием и объединением строк матрицы Н'"'.
Пропзводныс матриц Н "' и В'"' рассматриваются в примере 8.1. В р-верснн смещение включает две составляющие. Первая онредедяетсн сл~ещеннялш уз- лов, как н в (8.8), зато вторая описывает «иерархическое» смещение, выражаемое поли- номом произвольной степени. Подрвбнсе оп-верою конечновлементного анализа можно прочитать в работах 1103, 1481, -:,'~>~)Перь мы можем записать и выражения для напряжений внутри квжд .
мента*. (ю) (ю) (ю) ( ((ю) -гдгю. С< > — матРица УпРУгости элемента т, а т ' ' — начальное напРЯж ; рц элемента. Матрица упругости, которая связывает напряжения с д ' 'цй;":подробно изучается в учебниках по основам сопротивления матер :-:Вфуруктуре, состоящей из разных материалов, для каждого элемента ':~ф(,свою собственную матрицу упругости. Кроме того, матрица упр '8<[[1>диет учесть изотропию или анизотропию свойств материала ':Й)>йед тем как подставить выражения (8.8), (8.11) и (8.12) в формулу ;..;.(>ю(пт)(альных смещений, мы перепишем уравнение (8.5) в виде сумм - ~К[>цо объемам и поверхностям отдельных элементов: 1 С-1 -< > < >,11«-> ч" 1 — <->'(в<-),( < > ~ г>г(ю Л )г(( ю ю + т1 й— г(ю)'г5( ) с( >+С" т)рк 1г<( ".у-',::.':.
(й[[~!(>>)изменяется от 1 до полного количества элементов в системе я выражения (8.8), (8.11) и (8.12) в (8.13), будем предпол ые смещения в элементе В' ' связаны с виртуальными узло Ю той же матрицей Н < > из (8.8). Эта подстановка даст следу ого эле- (8.12) ение внуг- еформацияиалов [261. можно заугости по- принципа ы интегра- (8.13) агать, что выми сме- юшее вы- 6 [~~>( В( > С' 'В' )()1)< >]ПюС ~~1 Н' ' Г~( ><(Р( ' + с >т(ю )(,( ) (8.14) + ~ ( Н~( > г~("><(з(">(->~~( В( > т~(")(г>""> +Г, ~ ~>5( ) х >т<» КиюК, ()18[ай[<)юерхностные интерполяционные матрицы смещений Нг<ю> получаются из '.~ф~ф[[[йых интерполяционных матриц смещений Н( > подстановкой координат ;~4.';([>))>Гости элемента.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
