Основы САПР (CAD,CAM,CAE) - (Кунву Ли)(2004) (951262), страница 41
Текст из файла (страница 41)
Такое преобразование рассматривается в работе 1691 ' уоналогичным образом получаются координаты точки Р(и, р): Р(и,р) (1 и)Р +иР (7.6) 'Подстановка уравнений (7.4) и (75) в (7.6) даст иам приведенное ниже уравнение билинейной поверхности: Р(и.и) =(1- )[(1- )Ро, +РР„[+и[(1- )Р„+РР„[= Ро,о Р,о Роз Р,, (7.7) (О ьи <1,0 <в <1). =[(1-и)(1 — р) и(1-р) (1-и)р ир[ Мы можем убедиться, что заданные точки расположены по углам билинейной поверхности, подставив соответствующие комбинации нулей и единиц в уравнение (7.7). Зто уравнение говорит нам также о том, что билинейная поверхность представляет собой сопряжение угловых точек при помощи функций сопряжеиоопг'(1 — 'и)(1 — р), и(1 — р), (1 — и)р, ит Из-за того что этн функции сопряжения .
линейны по соответствуюшим параметрам„билинейная поверхность обычно :апазывается плоской. 7.3. Лоскут Куна Р1~ ьоо(и) рнр. 7.2. Граничные кривые, определяющие лоскут Куна Если граничные кривые не удовлетворяют этим требованиям, вам придется выполнить преобразование их к описанному выше виду. Направление и интервал изменения параметра легко изменить инверсией или масштабированием [120[. .:. - 'фйряжение углов дает билинейную поверхность. Сопряжение граничных крив)г[х-произвольной формы дает поверхность, называемую лоскутом Куна (Сооп'з )ш7сд).
Слово «лоскут» указывает на то, что описываемая поверхность представляет собой сегмент, соотвегствуюший значениям параметров 0 < и < 1 0 < р < 1. :;:",Комбинирование лоскутов позволяет образовать поверхность произвольной формы и размера. Уравнение лоскута Куна выводится следуюшим образом. Предположим, что нам ; ' 'известны уравнения четырех граничных кривых: Ро(в), Р,(р), Я (и) и Я,(и) -..
(рис. 7.2). Предположим также, что направление кривых Яо(и) и (), (и) совпада-бт (на рис. 7.2 зти кривые направлены вправо, что обозначено стрелкой). То же :::, предположение мы выскажем и относительно Р, (р) и Р, (р). Удовлетворяющие описанным требованиям кривые интерполируются так, как ' показано ниже. Выберем две кривые, расположенные друг напротив друга, например Ро(р) и ' ;;;:,:., Р,(р). Интерполяция этих кривых в направлении и осуществляется линейным уравнением Р, (и,р) = (1 — и)Р,(и)+ иР, (р). (7.8) ' Поверхность, определенная уравнением (7.8), будет ограничена кривой Р,(р) при [ и = 0 и кривой Р, (р) при и = 1.
Однако две другие границы будут отрезками пря- ' мых, соединяющих угловые точки. Убедиться в этом можно, подставив в уравне- ~ ние (7.8) р = 0 или и = 1. Таким образом, полученная поверхность не ограничивается кривыми Я (и1О,(и). Определим вторую поверхность, интерполируя Яо(и) и Яо(и) в направлении ж Р,(и,р) = (1 — р)Яо(и)+ рЯ, (и). (7.9), ::- Подставляя граничные значения и и р в уравнение (7.9), можно убедиться, что [ ":„,новая поверхность ограничивается кривыми Яо(и) и Яо(р), но не Р (р) или ~ ":-'Р,(р). Попробуем определить еще одну поверхность Ро(и, р), сложив Р, (и, р) и ~ -; Рз(и,р), и проверим, не будет ли она ограничиваться требуемыми кривыми. Рз (и,р) = (1 — и) Ро (р) + и Р, (р) + (1- р)Я о(и) + р(), (и).
(7.10) ~ ;!:::.Пчодстановка граничных значений и и р в (7.10) дает: Ро(О,р) =Р (р)+(1-р)О (0)+рЯ,(0); (7.11) Рз(1,Ю) =Р,(р)+(1-р)а(1)+ба(1); (7.12) .; Рз(и О) = Я»(и)+ (1-и)Р,(О)+ и Р, (0); (7.13) [ Рз(и,1) = О, (и)+ (1-и)Ро(1) + и Р, (1). (7.1Д) ~ '",;"лэсли Рз(и,р) удовлетворяет поставленным требованиям к граничным кривым, ~ ,- правые два слагаемых в уравнениях (7.11)-(7.1«) должны быть равны нулю.
За, »~."" метьте, что эти слагаемые представляют собой интерполяцию конечных точек ~ ;;-о соответствующих граничных кривых. Другими словами, слагаемые, которые ';;!;:'должны быть равны нулю, описывают границы билинейной поверхности. Следо:;::; вательно, правильное выражение для лоскута Куна получается вычитанием,' ,;: Уравнения билинейной поверхности из Рз(и,р): Р(и,р) =(1 — и)Р,(р)+ иР,(р)+(1 — р)Яо(и)+рЯ,(и)-(1-и)(1-р)Роо 71<) ~ -и(1 — р)Р, -(1 — и)пРоз -ирРы (Оьи <1, О»и<1). " ЗдесьР, =Р (0)ыЯ,(0),Р, ыЯ (1)=Р,(0),Р, =Р„(1)=Я,(0),Ры =Р (1)ыЯ~(1). ' Влагодаря простоте концепции и уравнений лоскут Куна использовался доста- ~ .-.":. точно широко. Однако он непригоден для точного моделирования поверхностей, поскольку форма поверхности не может задаваться одними лишь ее гра-:, ; ницами.
а, ао, а, а. а,о ап а„а„ а, ам а„ аж ам азг азг аоз Р(и,п)=11 и и' из1 (7.17) :";эййй()рггпеииях (7.17) ар — алгебраические векторные коэффициенты с компонен.1ййгэ~~:~о у'и к Влияние этих коэффициентов на форму поверхности не является , ' "эцо понятным, точно так же, как по алгебраическим коэффициентам ' з)я (6.10) нельзя было представить себе форму кривой. Возникает жела) ." "' ейить алгебраические коэффициенты иа геометрические, что было сделапри выводе эрмитовой кривой. Поскольку алгебраических коэффици"' поверхности насчитывается 16 штук, нам нужно ввести 16 граничных ор граничных условий мы получим, потребовав, чтобы четыре гран Р(0 0), Р(0,1), Р(1,0),Р(1,1) удовлетворяли уравнению (7.! 7). Чтовторой набор граничных условий, мы зададим векторы касательных кривым поверхности в угловых точках по параметрам и и ж Р„(0,0), Р,,-:~фг~„(1,0), Р„(1,1) и Рс(0,0), Р„(0,1), Р,(1,0), Р„(1,1).
Перечисленные гранич((1$~$~3Ьвия определяют форму граничных кривых поверхности, поскольку они т конечные точки этих кривых и векторы касательных в этих точках "здданные граничные кривые можно провести бесконечно много поверхноч!око(гзглзэтому нам придется добавить граничные условия, которые определяли )1язрму внутренней области поверхности. Мы потребуем, чтобы вторая произв„' в:угловых точках имела определенные значения Р,(0,0), Р,(0,1), Р„„(1,0), "'кро1М)."Под второй производной мы понимаем следуюгцее выражение, называе))$7йй~юрам' кручения (ггэмг песгог): д'Р(и,п) дгг дэ о,".
1~~~Й мы обсудим влияние векторов кручения в угловых точках на форму внут(мгз1пей области поверхности. Пои4с!гаЦовка 16 граничных условий в уравнение (7.17) даст иам 16 линейных Ф~"йу'Уравнений. Эти уравнения образуют систему, результат решения которой пзойдтавпяется обратно в уравнение (7.17)', что дает нам приведенное ниже урав1го озпебикубического лоскута: -,Фравнеиие эрмвтпвой кривой получается при помощи аиалосичиай процедуры. ::;.~4.:6икубический лоскут .;:Викубгзческий лоскут (Бгсибгс рагсгг) — это поверхность, определяемая полиномийг))ьпыхг уравнением третьего порядка по параметрам и и ж з з Р(и,п) = ~ ", а, и'и' (О < и < 1, 0 < в ~ 1).
з ог-о -Урргигение (7.16) можно переписать в матричной форме: Р(0,0) Р(0,1) Р,.(0,0) Р,(0,1) Р(1,0) Р(1,1) Р, (1,0) Р, (1,1) Р„(0,0) Р„(1,0) Р,„,(0,0) Ри,(0,1) Р„(1,0) Р„(1,1) Р,(1,0) Ри (1,1) Г, (и) Гг(п) Гз (и) 4( ) (7.18) Р(0, ор Р(0,0 ,О) Рие. 7.3. Изопараметрическая кривая к = ко При попьпке воспользоваться уравнением (7.18) мы столкнемся с проблемой задания векторов кручения, влияние которых на форму поверхности не является интуитивно понятным.
Иногда для простоты им присваивая>т нулевые значения. Получаемая таким способом поверхность называется лоскутом Ферзюсоиа нли гхлоскутом (регйизоп'з рагс7г или Е-рай..Ь), Поскольку нулевые векторы кручения (О <и ь1,0 ьп ь1), где фУнкции сопРЯжениЯ Рь сг, гз и )со опРеделЯютсЯ следУющим обРазом: г,(и) =1-Зи' +2и', Р (и) =3иг 2пз гз(п) ем -2иг +и~; Е„(и) = -и + и . .:: 'Это те же функции сопряжения, что и в уравнении эрмитовой кривой. Вообще ,,:~":":.'говоря, уравнение (7.18) представляет собой попросту расширение уравнения 'б, зрмитовой кривой для описания поверхности.
Уравнение (7.18) может быть ,.":,' 'редуцировано до уравнения кривой путем подстановки конкретного значения :-::::,.:. адного из параметров, например и = по. Произведение последних двух матриц в правой части уравнения (7.18) дает вектор-столбец. Это умножение может быть чг ,'.' "'интерпретировано следующим образом.
Первая строка дает уравнение левой граничной кривой между Р(0,0) и Р(0,1), а вторая строка дает уравнение правой граничной кривой между Р(1,0) и Р(1,1) (рис. 7.3). При подстановке конкретноРз значения по первые две строки дают нам конечные гочки Л и В. Последние две строки столбца для и = во задают векторы касательных в направлении и в точках '=:; 'А и В. Последнее утверждение мы проверим позже.
Следовательно, уравнение (7.18) представляет собой объединение уравнений эрмптовых кривых, соот- я':.'яетствующих разным значениям м Граничные кривые, определяемые условиями ,з(:: и = 0 и в = 1, будут эрмитовыми кривыми. Лналогичиылг образом можно пока- ';,:~., зать, что и граничные кривые для и = О, и = 1 тоже будут эрмитовыми.
,;;,:;.,-,::..::: У.Б. Поверхность Безье Р(0,0) Р(0,1) Р„(0,0) Р„(ОЛ) Р(1,0) Р(1,1) Р„(1,0) Р„(1,1) Р„(0,0) Р„(1,0) Рм(0,0) Р„„(0,1) Р„(1,0) Р„(1,1) Р„(1,0) Р (1,1) Е; (о) Х; (о) 'з (о) Р4 (о) ,~З:-кока 4КН > 4Г.Ы~ ',ь' С,( ) С,(о) Сз(о) С,( ) (7.20) Ро Сю(оо) Сг(оо ) Сз(оо) С4(оо) Рз,о Р„(В) =[О 0 0 1] (7.21) ~в(оо ) к"о(ро ) Бо(ро ) 4 (Оо ) ':: дЫщот поверхность более плоской, Г-лоскут не может использоваться для моде лирования поверхностей с большой кривизной.
Однако он хорошо описывает ' Поверхности с нулевой кривизной по крайней мере в одном направлении во всех тцчказс Покажем теперь, как векторы кручения влияют на форму внутренней области поверхности. Если мы сможем показать, что векторы кручения определяют форму изопараметрической кривой о = оо на рис. 7.3, мы сможем утверждать, что зги , „векторы влияют на любую внутреннюю изопараметрическую кривую, а значит, и ,; на зюю внутреннюю область лоскута. Точки А и В определяются граничными .крйвыми — зрмитовыми кривыми, которые не зависят от векторов кручения. ':Следовательно, мы должны показатгь что векторы касательных в точках А и В ййределяются векторами кручения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
