Основы САПР (CAD,CAM,CAE) - (Кунву Ли)(2004) (951262), страница 39
Текст из файла (страница 39)
Здесь под Е понимается модуль Юнга матерна ла, из которого изготовлена балка, а 1 — момент инерции ее поперечного сече' -':,. ния'. Двойное интегрирование уравнения (6.54) дает функцию у(х), степень кп-' ', 1« торой равна 3. Поэтому для описания сегл!ентов кривой между точками может, ." использоваться эрмитова кривая. ' Вывод уравнения (6.54) можно найти а любом учебнике по сопротивлению материало!л,"!;, ,41,'О.-...ОВ 141О ..
ОО О 1 4 1 О ЗРт -ЗРе -Ре ЗР, — ЗР, ЗР, -ЗР, (6.59) л(е) 1 4 1 0 1 4 0 0 0 0 ЗЄ— ЗР„т — Р„' ртР.( ) (тР О (6.56) Яодстановка (6.55) в (6.56) дает ЗР, -ЗР ЗР, -ЗР, 3Рз ЗР 2 1 0... 0 0 1 4 1 0 .. О 0 0 1 4 1 0 (6.64) 0 1 4 1 0 1 2 О 0 0 0 р! )[[14эедем уравйенце эрмитовой кривой для всех сегментов при условии, что мы ейв61т координаты точек Ры Рь;„., Р„. Эти и + 1 точек дадут нам л эрмитовых крйаьгх,'которые мы обозначим буквами Р,(и), Рт(и), ..., Р„(и) (рис. 6.11). Рис. 8.11. Иитерполируемые тачки и ермитоеы кривые ~~[1йй[Мтхец кривая под номером 1 может быть записана с использованием уравнец~$6:(ФЩ)' и (6.12): Р(к)=Ркч +Р,',я+[3(Р, -Р,-,)-2Р,'„-Р,.']и'+ (6.55) +[2(Р;, -Р,)+Р',ч+Р,)ит.
Вдесгк4Фтт,'~:;и.,Р— векторы касательных в точках Р 1 и Р; соответственно. УпаянеПт[й:.Ц[[(:;:Юйкретного сегмента получается подстййовкой конкретною згтээения 1 э':664е~~~.фрфвнение. Для каждого сегмента параметр изменяется от О до.1. Ц~(:,'фйэгрке воспользоваться уравнением (6.55) мы столкнулись бы с одним ва'фд)й)~1[[)а)с коэффициенты Р,', и Р,' обычно не указываются. Поэтому нам нужно ~'::Уравнение (6.55) тис, чтобы они в нем и не появлялись. Чтобы иметь 4$~~$Й[к1стьчэычислить производные Р;, и Р,' по самим данным, нам нужно те'до1йтййкрэи[ичное условие, гарантирующее непрерывность производной второго йе(эг(гче.в точках соединения сегментов кривой: 2(-ЗР,, + ЗР, -2Р,', — Р,')+6(2Р,, -2Р; + Р, + Р,') = 1[бЕгяэ[.строка в уравнении (6.57) получается двойным дифференцированием зй[[[тцейия (6.55) и подстановкой значения и = 1.
Вторая строка получается тем [[[впутал после'получения выражения для Ре,(и) после подстановки 1+ 1 вместо ,$:.'я:)'[1апйение (6.55). Упрлцение (6.57) дает следующее выражение: Р;, + 4Р,.' + Р,'„= ЗРкы — ЗР,, (658) Яодетаэляя в уравнение (6.58) все значения т от 1 до и — 1, мы получим приведегтпое:аиже матричное уравиение: ;.: Если нам известны значения Р' и Р„' из правой части уравнения (6.59), мы мо,::екем найти значения и — 1 неизвестных переменных Р,', Р,',...,Р„',.
Получив зна,'-',чения всех производных, мы можем подставить их в уравнение (6.55) и полу",'чить, таким образом, полностью определенную эрмитову кривую. .:;,:,1)сталось определить Р' и Р„', то есть векторы касательных на концах кривой. ;з[ля этого обычно выбирают один из двух методов, однако от этого выбора зави.;„;О[ах форма ингерполяционной кривой. В первом случае конструквэр задает на'~(равнения касательных вручную. Говорят, что на кривую дакзадывается условие "~еестко закрепленных котщов.
Второй метод состоит в щмдположении об отсут- ~кчп1И КрутящИХ МОМЕНТОВ На 'КОНцаХ баЛКИ. ЭтО ЭКВИВапситНО ПрИСВаИВаНИЮ Р', , „цулевых значений, поскольку вторая производная пяриорционахьна крутяу моменту. Отсюда получаются приведенные ниже ппгеезптительиые уравне"'"'", выражающие заданное ограничение: т(~Р, (и)[ ЗРо +ЗР~ 2Ре Р[ ио. (6.60) м=е (тР ( )[ тги ='2[3(Є— Ркч )-2Р„И-Рт'[+ (6.61) + 6[2(Р„, -Р„)+Р,',, +Р„'[.
"Упрощение выражений (6.60) и (6.61) дает: 2Ро+Р~ =ЗР~ — ЗРо' (6.62) 2Р„', +Р„', =ЗР„-ЗРк ы (6.63) пишем матричное уравнение (6.59), переставив Р' и Р„' в левую часть и до., " 'йв уравнения (6.62) и (6.63) в начало и конец матрицы соответственно. В ре'льтате получится новое магри пюе уравнение: :-';~~Уравнение (6.64) позволяет найти и + 1 неизвестных: Р,', Р;„..., Р„'. ф.чеэднчия между двумя интерполяционными кривыми, построенными по одним ".М тем же точкам, иллюстрирует рис. 6.12: у одной кривой конец жестко зак1х и- » а у другой — свободен.
Обратите внимание, что интерполяционная кривая .. ео свободными концами как бы «распрямляется» вблизи них. Звкрвплвнный конец Свобвйный конец рно. 6,12. Завнснмосп ннтврлолвцнонных кривых от граничных условий ИнтОРПОляция В-спляйнОМ разделе мы рассмотрим вывод уравнения В-сплайна, проходящего через Яь Я„., (,» Нам придется определить степень, количество задающих токоординаты, а также узловые значения параметра интерполяционного В- . Любой В-сплайн, определяемый и + 1 'и более задающими точками, ровести через и + 1 точек, потому что у такой кривой будет и + 1 и 'более й свободы.
В-сплайн с большим числом степеней дает конструктору ю аюбоду в управлении формой кривой, например направлением касана ее концах, В этом разделе для простоты лсы рассмотрим только В- с и + 1 задающими точками, ;:;;.,~~ф[[ссчала нужно выбрать порядок В-сплайна. Чаще всего выбирается порядок 4, ысу степень 3 является минимальной. удовлетворяющей требованию не- Г ности второй производной в точках соединения. Затем определяются уззначения. Поскольку мы решили работать с и + 1 задающими точками, 'йуриается вычислить и + я + 1 узлов.
Узлы можно выбрать множеством спо', так что мы воспользуемся результатами Харгли [63[ и Ли [981: Гс = 0 (с = О, 1, ..., Ус -1); ~Иу Г, = Гс, +, (1 = Ус, я+ 1, ..., и); ~2~, «=ау «-о г, =1 (1= и+1, и+2,..., и+я), (6.65) », -,го,,'63 (6.66) „":Пусть нам нужно определить положение и + 1 задающих точек Ро, Рн ..., Р Эти , ' точки должны удовлетворять соотношению: Оу = ~~~, РсйУс,(иу ) ( У = О, 1, ..., и), (6.67) с о где иу — значения параметра, которые должны соответствовать точкам (гу.
Люйсуй набор иу между го, и г„с даст В-сплайн, проходящий через точки данных. Однанй гладковть этого В сплайна будет очень сильнс, за~~ . б л рекомендует для получения гладкой кривой выбирать следующие значения и л йус»(и« ) йг,»(и, ) тсо Я, (6.69) Фы(и„) ,.':гашение (6.69) относительно Р; позволяет получить координаты задающих то.н~~як В-сплайна, проходящего через точки ф. :,'6.3. Пересечение нривых "Мы уже показали, что для реализации булевских операций необходимо уметь "' считывать точки пересечения кривых.
Точку пересечения приходится также ,, "'ределять для отсечения части кривой другой кривой. В этом разделе мы кратко "' ожим основные сведения об алгоритмах поиска точек пересечения кривых, анных параметрическими уравнениями. Описанный метод может использоься для расчетов с произвольными кривыми следующих типов: эрмитовы вые, кривые Безье, В-сплайн и [с[(УКВ3. Методы расчета точек пересечения кривых, заданных не параметрически, а также для кривых с уравнениями ных типов (параметрическими и непараметричеакими) излагаются в работе манна [691.
редположим, что пересекающиеся кривые заданы уравнениями Р(и) и ()(о). ' Значение параметра, соответствующее точкам пересечения, задается уравнением Р(и)-Щп) =О. (6.70) '~обратите внимание, что уравнение (6.70) распадается на три скалярных уравне"'н' с двумя иеизвестньсми. Выберем какие-либо две компоненты векторов, на'мерхиу: Р„(и) — Я»(е) =0; (6.71) Р» ( и ) ( 7» ( е ) 0 (6.72) ;."Решим уравнения (6.71) и (6.72) относительно и и е и воспользуемся оставшим'вос скалярным уравнением (компонентой г уравнения (6.70)), чтобы проверить '-;полученные значения и и ц Системы нелинейных уравнений обычно решаются ;,,!численными методами, такими как метод Ньютона — рафсона [391. Последний требует вычисления производных Р, Я„, Р„, Я», для чего нам потребуются выве;,;;денные а разделах 6.4.1, 6.5.3 и 6.6.2 формулы дифференцирования уравнений .
кривых. ',;'. Решая уравнения (6.71) и (6.72) любым численным методом, мы можем столк,:,:нуться со следующими:проблемами. тли +г,„+ ... +ту,„, и, = Ус -1 ( у = О, 1, ..., и). (6.68) !: Значения ия полученные из уравнения (6.68), подставляются в формулу (6.67), в результате чего получается следующий набор уравнений для Р,: О Итерации могут разойтись, если начальные приближения и и в окажутся слишком далеки от настоящих решений.
О При наличии нескольких точек пересечения может случиться, что не все они будут найдены. Обычно возвращается решение, находящееся ближе всего к начальному приближению. Д Ситуация, в которой часть одной кривой точно совпадает с частью другой кривой, не может быть обработана алгоритмом в силу его внутренних особенностей. В этом случае будет возвращено неопределенное количество точек пересечения.
о ..Если в некоторых местах расстояние между кривыми очень мало, координаты этих участков могу"г быть возвращены в качестве точек пересечения (в зависимости от внутренней погрешности алгоритма). 'Первая и вторая проблемы решаются последовательным заданием начальных приближений, близких к реальным точкам пересечения. Для кривых Безье и В- 'сплайнов начальные приближения могут быть получены путем аппроксимации кривых отрезками.
В приложении Ж мы показали, что аппроксимация кривой Безье или В-сплайна отрезками получается путем последовательного деления . такой кривой. Третья проблема обычно возникает при расчете точек пересечения простых кривых, например отрезков или дуг окружностей. Например, мы 1ттожем попытаться найти численным методом точку пересечения двух дуг, лежаЩих на одной и той же окружности, преобразовав уравнение каждой из них к ч1здвнению ХПВВБ. Вспомните, что это преобразование часто выполняется для 'тйго'„чтобы одна программа могла работать с кривыми любых типов. Численный ' "метод' не может обнаружить перек1тытие, поэтому он возвратит неопределенное количество точек пересечения, зависящее от начального приближения.
Следовательно, проверятыюзможность перекрытия следует до вызова численного метода. Эта проверка может осуществляться путем сравнения характерных параметров кривых, например центров н радиусов дуг, перед преобразованием их к форме ХПВВБ. Четвертую проблему в большинстве случаев можно решить, правда не полностью, аккуратной настройкой точности численного метода. Рэссмотрим теперь более простой метод ощюделения точки пересечения, который применим в том случае, если одна из кривых является прямой. Предположим„что Р(и) — уравнение прямой, а О(в) — уравнение кривой. Если прямая проходит через точки, положение которых задается векторами Ря и Р„то ее уравнение может быть записано следующим образом: Р(и)=Р, +и(Р, — Рр).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
