Основы САПР (CAD,CAM,CAE) - (Кунву Ли)(2004) (951262), страница 47
Текст из файла (страница 47)
à — вектор внешних сосредоточенных сил, действующих 1[йю<дг1дбвые точки. Компоненты вектора Р соответствуют компонентам смещений :[~[[<ю(<фа Ю. Обратите внимание, что в уравнении (8.14) вектор 0 вынесен за знак -'ф~~(1>ч)(рования, потому что он не зависит от рассматриваемого элемента. :ЧТЬО выражение (8.14) было верным для произвольного виртуального смеще(юг)я'(а это и есть условие равновесия), должно выполняться следующее равенство: Ц <.В<ю'С ю>В ->Л«-)~ПюЦ,.Н ->'( <-),(У ю>+ (8.15) +~5( Нж ' г~< )пз(ю) -~~1 В'ю' ""' Л <") +К >5(ю —,,'т(.( ;:.БУдем отныне обозначать смещения в узлах просто буквой П.
Перепишем урав'1<енне (8.15) в виде трйе (8.21) К =~~„В<">'С< >В("> (У< >; (8.17) ю +К -К, +К; (8.18) К, ю2',~л Н(""("-)Л«-', (8.19) Н5(ю) (5(ю)(5(О, (8.20) ю К с-Г В< >' (< ),(1>( >. ю Кс — ю. (8.22) Обратите внимание, что суммирование интегралов по объемам отдельных эле"',:" .",' ментов в формуле (8.17) выражает тот факт, что матрица жесткости набора элементов как целого получается сложением матриц жесткости элементов К'ю>. Аналогичным образом, вектор Кз объемной силы, действующей на все тело, получается суммированием векторов объемных сил, действующих на отдельные элементы.
Тем 1ке путем вычисляются и векторы прочих сил. Выражение (8.16) описывает статическое равновесие. Если приложенные силы =.; ' изменяются во времени, это выражение применимо к любому конкретному мо- ~,'"...::менту. Однако при быстром приложении нагрузки необходимо учитывать силы инерции. По принципу Даламбера силы инерции отдельных элементов могут ,;, ' быль добавлены к массовым силам. Если предположить, что ускорение в любой '-'".
'тачке элемента связано с ускорениями в узловых точках матрицей Н' ' подобно смещениям, вклад массовых сил в вектор нагрузки К будет выражаться так. К, ю~~,.Н( >'[(а< > -р< >Н< >П1 ( < >, (8.23) где П вЂ” ускорения узловых точек, а р(ю) — массовая плотность элемента т. Слагаемое г з(ю' в выражении (8.23) больше не включает никаких сил инерции. (,:.':-" .Подстановка (8.23) вместо (8.19) в (8.15) дает новое уравнение равновесия: М0+КПюК, (8.24) " где М вЂ” матрица масс, определяемая следующим образом: Мю~ ( Ер'>Н(")тН" ( '"'. (8.25) ~>т( ( -'::Обратите внимание, что П и К в уравнении (8.24) являются функциями времени. ;.",'. Демпфирующие силы могут быть учтены как дополнительный вклад в массовые ;- силы, что позволяет описать эффект демпфирования (затухания).
Уравнение (8.23) при этом принимает новый вид К =~'Г Н'ю) [(в<ю) -р' >Н("'П-комн' )П1(()« ', (8.26) , ' где П вЂ” вектор скоростей узловых точек, а к'ю> — демпфируюший коэффициент для элемента и. Уравнение равновесия приобретает вид М(1 + СО+ К<> = К, (8.27) Рис. 8.6. Треугольный элемент с тремя узлами у гз >3 ~5 а>и> +ази, +азиз а, = 2и Ь>и> + Ьзиз + Ьзиз ат = 2и р,„-р„пз (>а си +слит+сзиз. аз= 2а '2>с> + пзсз + '>зпз Р> = 2п Ь>г 1 + Ь2с2 + Ь' с' 2а Рис.
8.8. Анализируемая структура С>Ю> + С>Г> + СЗСЗ 2а где — ху, Ь, =у -уз с, =х,-х; -х,у„Ь, =уз -у,,сз =х> —.Хз — х.У,, Ьз =У> У»сз =«2 а> =х,уз аз =Х.У, 225 «>У2 (8.29) ' (8.30) и ' ',','х)ге'С вЂ” матрица демпфирования, структура которой описывается выражением С = ~ 1 '"'Н'"'" Н'н>,) < > (8.28) —,,2>ли и ..'На практике матрицу С обычно конструируют из массовой матрицы и матрицы 'жесткости на основании экспериментальных данных по демпфированиго в материйле, потому что определить параметры демпфирования отдельных элементов 138статочно сложно.
йряйбденны>й н>иже пример иллюстрирует изложенную процедуру вывода сис$йьн>ВЬП' уранисинй. .ЩФ$вз8Р 8.1 >)383>уьеСтн и решить системные уравнения для пластины, нагруженной так, как по- 833(а~но на рис. 8.5, а, используя двухзлементную модель (рис. 8.5, б). Модуль ",-фв((а и коэффициент Пуассона материала, пз которого изготовлена пластина, .:,'1(щ>)чы Е и в соответственно. Толщина пластины постоянна и равна 1 см. Считай'.'тв,:."4но нагрузка Р„прикладывается постепенно, благодаря чему силами инерции Л>8>8(цо пренебречь. атвщение лчйг'8>врвом этапе необходимо построить векп>ры Н' ' и В'"> для т = 1, 2, соотФйтвующие смещениям () ' = (с>, () (/з б>„(/ (У б>, бгз 1.
Чтобы вы- 1>зсХи матрицу Н2п произвольного элемента, следует рассмотреть треугольный :,;'ч.-эденмент (рис. 8.6). Смещения внутри треугольного элемента с тремя узлами мо:;: — л;;гг считаться линейными. Следовательно, выражения для смещений внутри ка., ждого элемента в направлениях х и у будут иметь следующий впд'. и =а, +а,х+ азу; с р> + > 2« + >)зу' Мы можем по той же формуле выразить смещение каждого из узлов: и, =а, +а х, +а У,, с, =(3> +13 х, +РзУ>; ц, = а, + <22«2 + азу> сз = >3> + >32«2 + ~3зуз; 3 > 2 з + зуз, сз Р! +>32«з +блуз. Функци>г а, + а>х + азу и 1>, + 132х + рзу играют роль ннтерсоляцнонныл функций.
Одновременное решение этих уравнений позволяет определить константы а„13 > через иь хь уь Таигм образом получа>отея следу>ощис выражения для аь >3, '. 2а= а> +ад+ аз Подстановка значений хь хн х„уь у„уз для элемента 1 в эти уравнения дает ' После того, как выражения для а, н р, будут подставлены обратно в уранцення (8.29) н(8 30).смешения и и и можно будсг зашкать н форме и = В(х,у)и, + В (т,у)из е +Вз(х у)из н = В (2:-,У)н, + В>(х У)г) ь В>(ху)г .
г)>ункеш В (х у), В>(х у) и Вз(х у) называются фуцкцнямн формы. ( 1 1 1 Г 1 1 и=и, + — и, + — из (х+~ — и, + — из у; 1, 1О' 10 / ( 4 4 ) (1 1 ) ~1 1 о=о + — о + — о 7)х+~ — о + — о у. 10 10 4 4 (8.31) 1 1 — 0 10 10 0 0 0 0 0 (з) е() = = В(з)(). (8.33), 0 0 0 1 4 0 0 — 0 1 4 0 0 0 1 1 0 10 4 1О (:Г= 1 — — х — -у 0 0 1- — х — — у — х 0 — у 0 0 О 1 1 10 4 1 1 0 — х 0 — у 0 0 10 4 (8З2) Соотношение между деформациями и ной пластины выглядит так: для однородной изотроп ~ напряжениями 1 о 0 :::!,".:: ' Аналогичным образом получается выражение для смешений в элементе с номером 2: о 1 0 0 0 -(1-о) 1 2 Предполагается, что изначально сгруктура не была напряжена Матрица жесткости для каждого элемента получается подстановкой результат-', тов (8.34) — (8.36) в уравнение (8.17). Рассматриваемые элементы сделаны и, одинакового материала, поэтому выражение для С("' из (8З6) может использо- А' ваться для них обоих.
(В приведенном ниже выводе интеграл по объему преобразуется к интегралу по поверхности благодаря тому, что пластина имеет еди-' ничную толщину.) о о ~1-"-) о ~1-,— '-) о (-1 —;"- -") о О О О ~1- — ~ О ~1- — ) О (-1+ — + — ) (8.33) В(!) С(!)В(!)йАО) = А( ! ! На следующем шаге определяются деформации, то есть матрица В( ). Для этого мы воспользуемся соотношениями между смещениями и деформациями для двумерного случая: ди И до ди е = —; е = —; у = — + —.
дх " ду " дх ду Ко' = 1„» Во'~Со'Во!(11)о! = )гв) Во' Со'Во' 4 =Г О Т вЂ” 0 10 1 0 4 1 1 4 10 — 0 0 1 10 0 0 0 О 0 0 Таким способом из выражений (832) н (8.33) получаются функции с")(х,у,г) . а")(хгу,з): 1 о 0 о 1 0 0 0 2 — 0 0 1 4 0 0 0 1 1 0 10 4 0 0 0 0 0 о) О 0 — 0 0 — — О 0 0 1 1 10 4 = Во )(); (8.34) 4- — х ((х = Уравнение (8.31) можно переписать в матричной форме: 1 1 — 0 10 1О 0 — О 1 1 1 — — — 0 4 10 (7! ('з и, о'! П, () и, и, с(! и, (7з и, Гз ()' ~' 7 и„ г)! ()з ((з и, и, пз ()) уз 1 — — 0 10 1 х 0 4 1 1 4 10 — 0 0 0 0 0 10 О 0 Π— О О 1 0 — — 0 0 0 10 4 Г! ((з ()з 4 ()'з ~'6 (' 7 ('з 1 1 — ю — + 1+в 80 1 1 — г( — +— 1 1 †1-и зг 1-(( 80 100 »( 40 ! 1-» 100 32 1 — и 60 1-и 26Π— о о 40 1 — о о 16 — о о 40 о о о о 40 1 10 1+(' 80 зг 1 — ю 1ОО ВО 77 1-ю 40 200 о 1ОО 80 ! — » 60 1 1б 1+и 80 1-и 100 32 1 1-» 18 2СО ! +»' 80 0 (в.з9) 20(76 К 1-» ,2 20Е 1 — ю 2 1-ю 200 1-ю 80 1-0 80 1 — ю 32 о о о о о о (8.37) 1 1-и 16 200 ! — ( 80 1 — »' 200 1+и 80 1 — и 32 ! — и 80 О ! 100 и 48 40 1 !б 1 — о о 16 о о о о о о 0 4О о о о о К„потов!у что на узлы действук(т толь- Вектор нагрузки К совпадает с вектором ко сосредоточенные силы.
Отсюда о 0 о о Р(, Р(„ 0 1(!'! =~ В!2!"С!2! ыг, !2! о Е„, Гв„ о (8.40) В!21'С!21В!»,(1ы! 24(0 ГдŠЄ— ИЗВЕСтиая Висщпяя СИЛа, а Р» и Г,„, Гз, И Г;, — НЕИЗВЕСП1ЫЕ СИЛЫ реаКцни опоры. !: Теперь нужно найти неизвестные смешения узловых точек из приведенного ниже уравнения: ~ыВ!2!'~!2!В!2! 4 0 1О о о о о о о о о 32 о о о о о о о о о о Р(„ 0 ((!! А ' А " * А!7 )г!в ~2! (722 23 в 77 КВ о 1 — ю 80 1 77 16 40 гг 1 0 о (8.41) Г.„ Е. „ о о о о о (8,38) 4О 100 0 О 80 о о -' ' зг О О 1 80 1-ю 200 1-ю о о ~7! и ~7! * ' ' 77 76 йв( 'гв2 йвв йв7 йм 80 1-ю 100 32 1+ю 80 4О 1ОО 1 ю где элементы матрицы жесткости нз уравнения (8.39) обозначены йб Вы можете самостоятельно убедиться а том, что матрица жесткости в уравнс нии (8.39) вырожденна, а потому уравнение (8.41) решить невозможно.
Аналоф., гичная ситуация возникает при решении дифференциальных уравнений, которые не лают единственного решения без граничных условий. Так, решение (8.41) можно получить, если учесть в этом уравнешш граничные условия: 16 40 200 — +— 16 200 -Матрица жесткости ст к иий (8.37) и (8.38). структуры как целого получается объединением уравне- 1оо зг 1+ю 80 1 100 1-ю 80 1-ю Зг ю 1О о 16 200 ю 40 1 — ю гоо 1-ю 8О 1 16 0 О 1 —.ю зг ю 40 1 1ОО 1 — ю 80 1 1-ю + о 1 — ю 80 1 16 ю 4О 1-ю 200 1+ю 80 1 1-ю ! 1-и — +— 100 32 ! (.и 80 1 !Оо 1 — и 80 1 — и 32 и ао 1+и 80 1 1-и — +— 16 200 и 40 1 — » 200 ! — и 80 1 16 и, ив ив и„ ив ив и, ив 32 и 40 1 100 1-» 80 1-( 100 32 1+( 80 Гы Г14 О О О ХП йгВ йгг 23 ~11 ~12 13 1гм кгг «гз О (8.42) Гзю Гзз О О 1' 7 и, ~71 ~72 ~73 Квг Квг ггю Уравнение (8А2) может быть разделено на два независимых матричных урав- нения: 'гэз 4454 4737 4733 «43 кы «47 4743 ~73 «74 «77 «Ы х„)гм к, О 1'з и, (' 7 (73 О (8.43) О -Р 3 Гы Гзк Гзз '413 ~14 '717 '715 Хзг Ц, Кгг Х 53 54 757 ~58 к х, 7747 х, (8А4) 8.3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
