Солодовников (950639), страница 13
Текст из файла (страница 13)
+хо= у (1) + йх„ „,",Хз" -"'ф; х,=рц Т вЂ” постоянн '.;., ~4: ((1) = (1(й.)(.(О); .= ч»тр«лй»йведем для „;. 'фых' линеарнз , '«))орые: ~;;::;.;(й(РР+1) ха =( Я вЂ” йх «1 '.;:! .:.л(.РХК=1 (Г) — Х1, : .:,!' ~:,::::;;(1,'рз+т,р), :,.!;,:,:;:~л,:й' Р к+Т, р+ ) ) к :„,; 'р:, 'символ дифференцнр иие (3.7), за исключением 1 и постоянной виду. Полученное уравнение справедливо их линамика во многом аналогична. Часто уравнения (лля янерцяакнаго объекта ре- ая времени объекта регулирования (Т=- й, — — г«ерезаточпь«й«коэффициент объекта. йс обектов регулирования несколько авнений, записанных в оператор- Методика составления уравнений элементов автоматического регулятора аналогична рассмотренной ранее методике со.
ального закона изменения величиставлевия уравнений объектов. Во всех уравнениях Т представляет ! 1 собой постоянную времени регуля- 1 тора. В случае экспоненциального (инерционного) процесса постоянная времени Т может быть опредсс лена известным способом, показанРнс. Зл. Определение постояв- ным на рис. 3.4. ной врененн ннегцнонного про- С точю! зрения физики процес цессв са постоянная времени экспоненцины х представляет собой то время, через которое эта величина достигла бы своего конечного значения (являющегося ее пределом в бесконечности) в случае, если бы она изменялась с постоянной скоростью, равной скорости ее изменения в начальный момент, т.
е. если бы кривая изменения х, начиная с этого момента, совпадала с касательной (к экспоненте), проведенной в ег начальной точке. 3.3. Свободные и вынужденные колебания САР. Частотные характеристики Система линеаризованных дифференциальных уравнений, описывающих физические процессы элементов САР, может быть сведена к одному дифференциальному уравнению путем исключения промежуточных координат, кроме одной: апх ов-'х тх а„=- — +а, — +...
+а! — +аех=- г1тп и- Лтв-г ' ' ДГ (3.8) =-й.— „,.+й. „—,, +" +51„-1+М. Здесь 1(1) — входное воздействие; х(1) — изменение выходной величины; аь Ь; — постоянные величины, которые определяются физическими (техническими) свойствами системы. Уравнение (3.8) описывает физические процессы, т. е. измснение переменных х и Г, в замкнутой системе регулировании. Его решение может бьггь: 1) общим, когда правая часть уравнения (3.8) равна нулю, т. е. и "х и'"-дх г1х а„— „„+ а„, — „, +...
-р а! „— =- а,х= О. 2) частным, когда это уравнение представляет собой выражение, которое, будучи подставлено в его левую часть, даст правую, т. е. обращает уравнение в тождество. (3.10) определять орые совсрпскоторым ло равным вол яст ния, кот вповесня ие ста получив 9) при усло корней (Л,, может быть ,;~~вщенне уравнения (39) удовлетворяет условию 11п! х(1) ==О, ." свободные колебания системы с течением времени затуха!'-",~Ьлько в том случае, если все корни Л; характеристического '"""пиния имеют отрицательные вещественные части. ;,;-,511ячисление вынужденных колебаний. Пусть воздействие ': представляет собой гармоническую функцию времени, т.
е. ййгтую комбинацию з(н н1 и соз И: .ф(1) '1о соз (н1+н), ;,Ю: — угловая частота воздействия; )е — амплитуда; ',,''"':начальная фаза гре=О, то :,~:1$) =!"о соз н й ;:;.Г~йгрмоничсскую функцию можно рассматривать и как сумму ,,' экспонент: '!!~(Г)==гесоз ге! — '~'едл Р'~'е — и»', У )У ! . д я ,,;йднее удобно с математической точки зрения, так как ,', вводная и интеграл — тоже экспоненциальпыс функции. :"''т1ая' данную систему линейной, применяют к ией принцип позиции и определяют реакцию, создаваемую каждой из ::,„., нснциальных функций в отдельности.
Ь'"', "--,"НРп г (У) ==- —,' е~''и частное рещение уравнения (3.8) имент 2 Ь ";:;."~1е (г):--= — ')' (/н) е1"". 5 — 359! 55 ,".!1Пб0щсс решение уравнения (3.9) длн случая а„=ап,=... $;:::-':,'-,!с!г",,":~':=,-"а~=О находи и в виде ",!~фф".(каине такого вида уравнения (3.9) поз !:.":!,,."."""' одное движение системы, т. с. колсба :"" '::.,~е ойрат, система, выведенная из состояния ра '.-"*.'дсгествием после того, как это воздейств .';;,',,:';;":"; '"~ге".; Подставляя выражение (3.10) в (3.9), -'; Ф;" ';„~!~П',:Л**'+н.,Л" '+ ..
+а,Л+а„)е"=0 """,йжснис (3.!0) является решением уравнения (3. ""'!'Что Л вЂ” — корень характеристического уравнения фй ~"~),;Х'+а —,Л" '+... +а Л-1-а =0 ' "';,.как последнее уравнение имеет п различных "-';"':::",-.:::,: Ле), то общее решение уравнения (3.9) "дСтавлсно в видс ~сф == С1е~'-1-Сесхи+...
-1 С ех ' „::Суь См..., С вЂ” постоянныс, зависящие от начальных усло- (3.8), по- (3 11),,.',-'...;4 рез амплп- .~-,:„, ристики си- 1) запишем,! )т сивые коле-: Подставляя выражения 1(») н х„(1) в уравнение лупим (а„((и) "+а„| ()о») '+... +а, ()и)+ао)У()о|)е|в»= =(Ь ()и) +Ь |()и) '+... +Ь! ()о|) — Ьо)е|в». и, следовательно, кс ° Ь»в(,»и) +Ьв»- (»»и) |+...
+Ь»1,/и),' Ь» (ус|)— ав(ли)л+пв»(уи)а-'+ ...-Ьо,()ы) рп, ' Последнее выражение может быть представлено че тудную А(и) и фазовую гр(и) частотные характе стемы: У()и) =А (и) е"'"'. Подставляя выражение У(уи) в формулу для х|,( х| (г) А (и) е»гв»с'»и||, Если в уравнении (3.8) У(8)= — 'е )с»', то вынужд 2 бания хт,(|) =-- — '1 ( — уи) е-~"' или хз (»»)= — 'А (о|) е — и ' — е| || Когда )(1) — гармоническое воздействие, т. е. 1(1)' )осозиХ, то х,(1) =х| (»)+хгв(1) = —,' А(и)(е'"'е"|"|+ (ЗЛ2) ', +е '"'е гс'"') )оА(и)соз(и1+ф(и)).
Выражение (3.12) показывает, что вынужденные колебания,;.: вызываемые в линейной дннамнческой системе гармоническим, воздействием, представляют собой также гармоническую функ- ) цию времени, имеющую ту же круговую частоту и, что и воз-:.' действие, но отл||чающуюся по амплитуде и по фазе. При этом.', относительная амплитуда и фаза вынужденных колебаний ' определя|отся амплитудной А(и) и фазовой ф(и) частотными ' характеристиками. Если в выражении для функции У()и) (3.11) в числителе и,': ' знаменателе отделить вещественную часть от мнимой, то оио . может быть записано и (о|) + у Ь (и) (3А3) - .! с «в) + уг| (и) где а(и) Ь,— Ь,о|'+Ьсис —..., Ь(и) =Ь»го — Ьвиз+Ьвиз —...; 8 с(|о) =а — азия+а о|с —.
о((и) =а,го — а,|о'+авив— '- "®ейие (3.13) может быть представлено в виде а(и)с«о) ьЬ«я)б(и) . Ь(|о)с(и) — а(и)б(и) ,!::,".;:.:К(у.") = ° ( )+ '( ) +' "( )+ |«) У(1 ) =Р( )+и( ), ~":::::»Рг:(и), я(и) — вещественная и мнимая частотные харак- ч'фтиктг системы соответственно: '4уфц =. (ас+Ьг()((ст+г(т) 1;) (и) = (Ьс — а4') (св+т(в) . . итудная и фазовая частотные характеристики САР опре' тия выражениями: ;4|(й) ! Г (аз+Ьв)! (сз+с(я), 'л)у()Ь) = агс18 ((Ьс — ас() / (ас+Ы) ). ные характеристики А(и) и ф(и) связаны с характери' ми Р(и) и Я(и) следующими соотношениями: 19(щ) =А (и) соз |р (и);. - ч)йййь)=А(|о) 5)п гр(и); -:ти|) =- )' ~' (и)+ ()в(и); . ф).= — агс)д [ —,„,1. '':,основе ныражсиия (3.!2) можно экспериментально о и фазоаую частотные характеристики линейной сис "»и| истоме прикладывается гармоническое воздействие к 'фф,',гимеюнгее угловую частоту и.
И результате н систе и процесс и зынужденаые колебания с частотой о| ,.'время произойдет затухание перекодного процесса, предел темы. Л » ()) = ме но , Через если ить амля атосов ий вникают неко. система Рис. З.а. Экспериментальное определение частотнык карактернстик динамической системы (динамического звена): а — системе ввв»ввас; б — п|юпссс»» вв ввод» в выхсвс устойчива, и останутся лишь аыиуокденныс колебания.
Они будут иметь чш точу ы, разную нагнете ноэдейс. аия, по оыошаты я от аког!но~о еоздсм ~ ния пс амсл пуде и фазе (рис. 3.3), Лмплитуда зыходного сигнала и у о сювгд фазы гп„х~ диого сигнала х„„— —. Л(ы).сгж(ыг+гй(о!)1 по отношение к нходпох у заьигят о! угловой !астоты гз. На рис 3.6 приведена схема аклю кпия гкштрсльнгьизмерительной апп,, ратуре для определения шгтогныл характсрнггик, которая позноляст генс рироазть гинусоидальггые аког!гите колебания рзэльчио!1 чагтотгл, измеря~к ампли;уду колебаний на нходе и ныходе системы, а также сдвиг фчзы мег д; этими колебаниями.
дгля экгпсримеел елового опрсделгиня частозных харзктсргшти! исполь зукн гтнцпзльнмо низкочастотную аппаратуру, так как СЛР -- обычно ниг кочастотные системы. В соглап аппаратуры гы:дят, например, следмоопт приборы (см рис 3.0): Рнс. 3.6.
Схема включения измерительной аппаратуры для оп- ределения частотных характеристик инзкочастотаый генератор периодических колебаний (НГПК) для генг риронаняя кзк зходных колебаний синусоидзльной, прямоугольнон, треуголь ной, трапецендальнь!х форм, так н одиночных импульсон тех жс форм; низкочастотный фазометр-частотомер (НФ) тля опрелеления частоты фазы колгбаиий, которые измеряются с помошью счета импульсон стандартной частоты (100 кГц) за время одного периода при измерении частом, и за время межлу двумя смежными прохожлепиями через нуль криных вход ного и выходного напряжений при измерении фазы; двойной пиковый нолыметр (!1ПВ) для намерения амплитуды на нходе и ныходс системы; П! и Пй - преобразоаатсли сигнала.
Приборы рассчитаны иа напряжения ч-100 В и диапазон частот от 0,00! до 100 Гц. Кривые отношения амплитуды аыходной переменной х„х к амплитуде ноздейстния хь и сднкга фазы между ними а зааисимости от частоть. пред стаалшот собой амплитудную и фазоную частотные характеристики САР соотнетстненно. В зависимости от условий эксплуатации системы иногла удобно полакать на ес вход колебания прямоугольной формы (нключение — выключение) и треугольной (разномернос открытие и закрытие регулнруюШего устройсгна] и т. п.
3.4. Передаточная функция непрерывной линейной стационарной системы и ее свойства В теории автоматического регулирования широкое применение получил способ математического описания, основанный на понятии передаточной функцни. Как уже отмечалось, физические процессы в системе (или злементе системы) автоматического регулирования в общем случае описывают линейным уравнением (3.8). ,."","дустть воздействие )(() удовлетворяет условиям; 3~ ',;:;-.."":.*~(1) =0; ( 0; '~:!«.Гу(1) (е ыг(1(оо, "::.'.-Ь-' абсцисса абсолютной сходимости.
Тогда преобразование ф:' """"вса для функции ((1) ~;:,'~":(в)==~ T(() е "аг(. ~ффи все члены уравнения (3.8) при нулевых начальных "' ' ях умножить на е " и проинтегрировать в пределах от 0 „"', то получим '.' айа"+а„гз" '+... +а,з+ао) Х(з) = (334) «Ьгй +Ь .-гз '+... +Ьгз+Ьо)г (з), 4а).=. ( х(()е "'Ж о чвльно, Х(з) =У(з)г (з)„где оператор л(з) омз -' бм — гз + ° ~ ага+бе (3.15) -'.«'~)'=Р'() — . -1- „, "-+...+, ! ~ ВЪЙЯ передаточной функцией динамической системы. ласно выражению (3.15), передаточной функцией нспре- ,„,М линейной стационарной динамической системы назы,Му)ношение преобразования Лапласа Х(з) переменной х(() '"й!(ейвде системы к преобразованию Лапласа Е(з) воздейст.'.';йг),, на ее входе при нулевых начальных условиях, „,в)уйдаточная функция полностью характеризует динамиче- Э,,'таКже статические свойства системы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
