Солодовников (950639), страница 12
Текст из файла (страница 12)
:.~!:-:.:::":"'~"';,';::"~()задует отметить, что имеются так называемые существенно ные характеристики. Среди них можно выделить типич- САР, которые могут быть представлены математически учены экспериментально. При анализе систем, элементы содержат такие характеристики, применяют методы елинейных систем автоматического регулирования д. 8). из. Рис. Зп.
Статическая характеристика электронного усилителя постоянного тока ь)=Д(/т) (рис. 3.2). Здесь (/,,— напряжение па выходе уси-:: лителя; (/,„— напряжение на его входе; ьз — скорость вала -', электродвигателя, рад/с, "(/т — управляющее напряжение ца якоре. Статические характеристики (см. Рис. 3.1 и 3.2) являются -, нелинейными. Когда это возможно, для упрощения расчетов их '" следует линеаризовать, например ! методом усреднения или методом ' касательной при небольшом диа- .,и » ли„ с назоне изменения входной и вы- з лир ходной величин (рис. З.З). з Точка С (см. Рис. 3.3) характс-, огг ав ристики ь)=)((/т) с координатамя Рис.
З.З. Лииезриэзция нели- Йч и (/г, соответствует номинальпо-:.' нейной статической характери- му режиму работы электродвига теля. Если учесть малость откло пений Л(з и Л(/т (угловой скорости якоря и управляющего со.::е ответственно), то можно прилежащий к точке С крнволиней- ': При значательном токе возбуждения необходимо учитывать насыщение магнитной цепи электрической машины, т. е. перейти к нелинейному уравнению О» =1(0») . Для малых отклонений регулвруемой величины можно пользоваться лннеаризоваиными уравнениями, а для больших — нелинейными вида х=((р); х=)(х), где х, у, х — абсолютные значения регулируемой величины, регулирующего и возмущающего воздействий соответственно. Геометрическое изображение уравнений статики системы —- это статические характеристики, т.
е. кривые, построенные в координатах х, у или х, я. Примером таких характеристик нвляется статическая характеристика электронного усилителя (/ии.=) ((/,„) (рис. 3.1) или электродвигателя постоянного тока 3.2. Методика составления дифференциальных ' уравнений САР. Линеаризация уравнений ый шаг при составлении уравнений динамики элемента становление физических законов его поведения. Как мечалось, ими являются основные законы физики.
Мате- еское выражение закона, определяющего процесс в данЛвт(анте системы, является исходным дифференциальным вием этого элемента. ой шаг — выявление и анализ факторов для определе. симостей переменных, входящих в исходное уравнение, дание выражений, характеризующих эти зависимости. не могут быть или выражены аналитическими функили заданы графически. В большинстве случаев они я нелинейными зависимостями.
Подстановка найденных ий в исходное уравнение дает нелинейное уравнение а (в частности, объекта регулирования). для полученного уравнения линеарнзация допустима, ванне процесса (например, регулирования) может быть О. Достаточными признаками для проведения линеарнбычно являются отсутствие разрывных, неоднозначных чгго изменяющихся характеристик, а также правомеравнения для всего интервала времени регулирования, ференциальные уравнения линеарпзуют при помощи ы Тейлора. Используя ее, можно разложить нелинейную ю нескольких переменных по степеням их малых прирав окрестностях значений, соответствующих установив- Режиму). Формула Тейлора содержит остаточный член, ание которого позволяет оценить величину ошибки, поейся в том случае, когда ограничиваются лишь первыми .Разложения.
ла Тейлора, например для функции трех переменных х, у и х г (х. У. »)=Р (ла+Л»* де+ Лу, »а+ Л»)= дй' дР дР =Р (ле Уе»а)+ д Лх+ д Лу+ д Л»+ ... =-Р (ха, уа, ге)+ мч ! ( дР дР дР у(а! + Д вЂ” ( — Лх + — Лу-1 — Л»/ -1-Р айаг (! '»дх ' ду д» / ! где х=»а+Лх; у=уа+Лу; «=лга+Л«; ха=сапа(; у«=сапа!; г,=-..сопз1 Рлэ! — остаточный член. Если в выра!кении пад знаком суммы показатель степени «=.2, та ( — - )=е дР' дР дР )' д'Р д'Р д'Р— Лх+ — Лу )- — Л») = —.
,Лх'+ —, Лу'+ — Лг" + дх ду - ' дг ) дх" ду' д»' дгР даР д'Р +2 г! о««ЛхЛУ+2 — д д Л»Л»+2 ! ! ЛУЛ». ';:,::",;,~~;:,!';,':,у'.Все члены уравнения делят на некоторое постоянное зна,';(«"-;~-' '„"«е-Переменной, имеющей размерность членов этого уравне- :,у~"::(таким постоянным может быть, например, номинальное, (:«~зле«''(:,имальное или некоторое началы|ое значение переменной).
:,'!,=,~~:,'!~веэультате каждый член уравнения станет безразмерным. :" ";ба;;-:::,;.д' Переходят к относительным единицам. Выбирают постоян- :"»'о!,'-'"'-"-',-:::.еомачение для каждой координаты любого пз приращений, :-„::;".~~~"1))уЩВХ в полУченпое УРавнение. Затем опРедслЯют соотноше:,"!ф":~~~гриращеннй и выбранных постоянных значений. '„;~:.;==:«»(Згг, Вводят обозначения относительных единиц и коэффи- »:!~-;~«(~::,'ю "качестве примера рассмотрим методику составления уравнений сислнрования угловой скорости вала элекгродвигателя.
Для объекта ння исходным является уравнение баланса момен!он: Частные производные здесь вычисляются в точке с координатами хь уа, г и поэтому являются постоянными. При линсарнзацин нелинейных уравнений обычна ограничиваются лишь членами первого порядка малости, пренебрегая остагочиым членам Ре. Г1о этому чг~жно записать дР дР' дР Р (х У») Р (хе Уа га) -1. ! Лх -1 д Лу -1 — Лг. Для исследования устойчивости процесса регулирования така«о прнбли. женин, как правило, бывает достаточво. Однако иногда линезризаааиные уравнения используют для исследования качества процесса р«тулировання, В этом случае приращения переменных могут быть не всегда малыми. Та«лз для строгой оценки допускаемой погрешности проводят анализ остаточно«о члена Ра.
Выражение приращения ЛР(х, у, г) функции Г(х, у, г) определяется как разность между текущим значением этой функции и ее значением Р в неюторай фиксированной тачке, заданной координатами ха, у, и га, т. е. ЛР(х, у, г) =Р(х, у, «) — Г(хь уь га)„ Подставив в это выражение значение Г(х, у, «), определяемое по формуле Тейлора, получают приближенное, с точностью до Ра соотношение дР дР дР ЛР'(х, у, ») «в —, Лх+ — Лу+ — Л». дх ду д» (3 1» Им следует пользоваться при лннеаризации нелинейных дифференциальных уравнений. После линеаризации получают уравнение в отклонениях (или в приращениях), выраженное в абсолютных единицах. Каждый член уравнения (3.1) имеет определенную размерность.
Однако прн исследовании САР удобнее иметь уравнения, выраженные з относительных единицах с коэффициентами: безразмсрнымн илп имсющимн размерность времени и степень, соответствукв щую порядку производной, к которой относится данный коэффициент. При приведении дифференциального уравнения в отклоне ниях, выраженного в абсолютных единицах, к уравнению в от' носительных единицах с безразмерными коэффициентами необ ходимо провести следующие операции.
(3.2) М=™л ~!а мент инерции движущихся частей, приведенный к валу элсктродвн— угловая скорость вращения вала; Мд — лвижущнй (вращающий) валу электродвигателя; М, — момент сопротивления на валу; е всего выясвим, от каких величин зависит и какими величинами Ются движущий момент Мд, момент сопротивления М, и является най величиной привсденийй момент инерции Х.
и, что исходное уравнение (3.2) справедливо для любого двигако вид зависимостей соответствует конкретному типу двигателя, регулирования числа оборотов, например, авиационного двигателя щи вкнта с измеияющимси шагом движущий момент зависит от угости двигателя, а также от налдува, которое задается датчиком т быть заранее определено, так как является неизвестной функеии. Поэтому д(ы !). т сопротивления зависит от угловой скорости вала двигателя ы, анки лопасти винта арл и ряда других факторов (плотности возрасти полета и др.), изменение которых учесть трудна.
Выражение а сопротивления имеет вид Ме(ю, !рл, !). еь на теории двигателей, можно записать аналитические зависиученных функций или представить их в виде графиков,и т, д. и приведенный к валу электродвигателя момент янерции враща!отей является постоянным, то, как следует из (3.2), уравнение устая режима, илн уравнение статики при ы=сопж имеет внд Мео. (ЗД) лонеиия моментов (приращения) от установившихся значений обочерез Лмд и Лма. Тогда да+Лмд, М,=Мае+ЛМ . дставив в исходное уравнение (3.2) выражение установившегося 3), получим — Лма ЛЛ!с. (3 а) рнзации выражения (3.4) следует воспользоваться формулой ТейПриращсния Лмд н ЛМ, определим из выражений; 6! Мл ЛМ ==я — Л«о+ЛМ (г), дМс дМ» ЛМс=- дго Л«о+ д,р' Лфл+Л)И»(Г) Лт (3.6) д«рл Лфл д Лт' дт и; — =н; с М вЂ” л 'л Дн» «)фл — — » й Дфл д)« ъекта регулирования принимает внл (е) — Гг (р) (3.7) различных ованных ур =)(() — х~., х=((Х) — А х« ования (р — = г(((г(() ).
62 63 где ЛМл(1) и ЛМ»(1) — составляющие приращений Мл и М», нзменяющ ес„ ва в смени по неизвестному или заданному закону. гал установки лопастей винта «рл изменяют с помощью исполнительного механизма регулятора (серводвигателя), координату перемещения которого обозначают череа т: Функция фл=-.((т) задается обычно графически, н частную производную (дф»Щт) определяют как тангенс угла наклона касательной к кривой фл=((т) в точке„соответствующей устаиовивщемуся режиму. Тогда ДМ» «)М» «)фл с= ды + д дт т+Л»(). 'Рл Полученные выражения подставляют в уравнение (3.4): «)М» ДМс «зфл — =-.
д«о Лы+ ЛМл (г) — д Лю — л д Л«о — ЛМс (1). (лю) После переноса в левую часть уравнения (3.5) членов, содержащих Лы, получим для рассматриваемого двигателя линеаризованное уравнение в приращениях, выраженное в абсолютных единицах. Для приведения дифференциального уравнения в отклонениях, зыражсннога в абсолютных единицах, к уравнению в относительных единицах и с безразмсрными коэффициентами ныбирают номинальное значение момен«а М, и на него делят каждый член уравнения (3.5): 1 ( «)М» д«Ил 1 ЛМ (1) 1 ДМ, д«Р» Мл д» Мл ( дю д«о ( Мл Мл дфл дт гле ЛМ(1) =ЛМ„(1) — ЛМ, (1), В результате все члены уравнения стали безразмсриымн. Для координат кажлого приращения, входящего в полученное уравнение, выбирают сааг. встственно некоторые постоянные значения.
Так, для угловой скорости-- номинальное значение ю„ для координаты серводзигателя — максимала««»с значение тм. Каждый' член уравения, в который вхолит та или иная переменная, делят (умножают) на соответствующее ей выбранное постоянное значение. После этого уравнение (3.3) будет иметь вид Ло„дю гол (дМ ДМл ) Л«о ЛМ(») т„, ДМ Д«Р Лт л«ол «1 Мл 1, Ды Д«о / ыл ' ' Мл М««Дфл Дгл глт Учитывая, что вайо д (Лы) ДЛ1 дЛМ ит. д. Д( ДГ ' Д«о д (Лы) последнее уравнение переписывают в виде («Лы ) ::;.'.«;:;:~~':„.'.;~!;-'!':"::;., 'ЛМ (1) Мл Дфл д— фй«''!л«). ""' "1(т обозначения; Н еняе (3.6) двигателя как об («)((«)Вчательно '««=:ъф. д( + й ф= Тм (Г) л)чив)нчвяы, входящие в уравне (~фваедевы к безразмерному 'других днигателей, так как йуют другу«а форму этоса 'виня) .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
