Лекции 2012 (949139), страница 19

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 19)

10.2. Формула Вейсбаха-Дарси. Коэффициент Бусинеска

Потери напора на трение выражаются через среднюю скорость по формуле (10.6). Приведем формулу для потерь на трение к виду формулы Вейсбаха—Дарси:

для этого в формуле (10.7) выразим расход через среднюю скорость , и перегруппировав множители, после сокращении получим

, (10.7а)

Умножим числитель и знаменатель на V_ср получим

Формуле Вейсбаха-Дарси для определения потерь на трение при ламинарном движения

(10.8)

где - λ_л - коэффициент потерь на трение для ламинарного течения:

λ_л =64/Re (10.9)

Потеря напора на трение по длине при ламинарном течении пропорциональна скорости в первой степени. Квадрат скорости в формуле (10.8) для ламинарного течения получен умножением и делением на V_ср, а коэффициент λ_л обратно пропорционален Re и, следовательно, скорости V_ср.

[Закон распределения скоростей по сечению трубы позволяет определить коэффициент Кориолиса, учитывающий неравномерность распределения скоростей в уравнении Бернулли, для случая установившегося ламинарного течения жидкости в круглой трубе. Для этого в выражении для α заменим скорость по формуле и среднюю скорость по формуле (1.81), а также учтем, что dS = 2πrdr. После подстановок и сокращений получим

α =

Обозначив переменную 1 — r²/r₀ через z, найдем

α = - 8

Итак, действительная кинетическая энергия ламинарного потока с параболическим распределением скоростей в 2 раза превышает кинетическую энергию того же потока, но при равномерном распределении скоростей.

Таким же путем можно показать, что секундное количество движения ламинарного потока с параболическим распределением скоростей в 2 раза больше количества движения того же потока, но при равномерном распределении скоростей, причем коэффициент β, называемый коэффициентом Буссинеска, в данном случае равен 4/3.]

Изложенная теория ламинарного течения жидкости в круглой трубе хорошо подтверждается опытом, и выведенный закон сопротивления обычно не нуждается в каких-либо поправках, за исключением течения в начальном участке трубы, где происходит постепенное формирование параболического профиля скоростей.

2) при течении с теплообменом;

З) при течении в капиллярах и зазорах с облитерацией;

4) при течения с большими перепадами давления (пп. 2—4 рассмотрен в п. 1.27).

10.3. Начальный участок ламинарного течения

При ламинарном течении и подаче жидкости из резервуара в прямую трубу постоянного диаметра у входа в трубу распределение скоростей по сечению получается практически равномерным, особенно, если вход выполнен c закруглением (рис.10.2).

Затем под действием сил вязкости происходит перераспр еделение скоростей по сечениям: слои жидкости, прилежащие к стенке, тормозятся, а центральная часть потока, где еще сохраняется равномерное распределение скоростей, движется ускоренно.

При этом толщина слоев заторможенной жидкости постепенно увеличивается, пока не станет равной радиусу трубы, т. е. пока слои, прилегающие к противоположным стенкам, не сомкнутся на оси трубы. После этого устанавливается характерный для ламинарного течения параболический профиль скоростей.

Участок от начала трубы, на котором формируется параболический профиль скоростей, называется начальным участком течения - l_нач. За этим участком стабилизированное ламинарное течение, параболический профиль скоростей остается неизменным, как бы не была длинна труба, если сохраняется ее прямолинейность и постоянное сечения.

Теория ламинарного течения применима для этого стабилизированного ламинарного течения и неприменима для начального участка:

Для определения длины «начального участка» можно пользоваться приближенной формулой Шиллера, выражающей эту длину, отнесенную к диаметру трубы, как функцию числа Re:

l_нач /d = 0,029Re. (10.10)

Сопротивление на начальном участке трубы получается больше, чем на последующих участках. На начальном участке значение производной dv/dy у стенки трубы больше, чем на участках стабилизированного течения, больше и касательное напряжение, определяемое законом Ньютона.

Потеря напора на участке трубы, длина которого l ≤ l_нач определяется по формулам (10.7) или (10.8) с поправочным коэффициентом k>1. Значения этого коэффициента могут быть найдены по графику (рис.10.3), на котором он изображен как функция безразмерного параметра х*10³/ (d*Re). С увеличением этого параметра коэффициент уменьшается и при значении

х/( d*Re) = l_нач /( d* Re) = 0,029, (10.11)

т. е. при х = l_нач, становится равным 1,09. Следовательно, сопротивление всего начального участка трубы на 9% больше, чем сопротивление такого же участка трубы, взятого в области стабилизированного ламинарного течения.

Для коротких труб значения поправочного коэффициента, как видно из графика, весьма существенно отличаются от единицы.

Учитывая формулы (10.7) и (10.8) и выполняя соответствующие преобразования, получаем

(10.12)

Если относительная длина l/d трубы трубопровода велика, то дополнительный член в скобках, равный 0,165 можно ввиду малости не учитывать. Однако, при уточненном расчете труб, длина которых соизмерима с l_нач этот член следует учитывать. Для начального участка трубы с плавным входом коэффициент Кориолиса α возрастает от единицы до двух.

10.4. Ламинарное течение в зазоре

Определим скорость, расход и потери при ламинарном течении в зазоре, образованном двумя параллельными плоскими стенками, расстояние между которыми равно а (рис. 10.4). Начало координат поместим в середине зазора, направив ось Ох вдоль течения, а ось Оу — по нормали к стенкам.

Возьмем два нормальных поперечных сечения потока на расстоянии l одно от другого и рассмотрим поток шириной, равной единице. Выделим объем жидкости в форме прямоугольного параллелепипеда, расположенного симметрично относительно оси Ох между выбранными поперечными сечениями потока и имеющего размеры сторон l*2y*b, где b=1.

Условие равномерного движения выделенного объема вдоль оси Ох:

(2у*b)*p_тр = - μ(∂V/∂y)*2l*b (10.13)

где р_тр = р₁- р₂ – разность давлений(перепад) в рассматриваемых сечениях. Знак минус, потому что производная ∂V/∂y отрицательна, 2l*b, так как две поверхности – сверху и снизу

Из предыдущего (10.13) найдем приращение скорости ∂V, соответствующей приращению координаты ∂y:

После интегрирования получим:

Так как на стенке y = a/2, V = 0, находим C = , откуда

, (10.13)

Далее подсчитаем расход q, приходящийся на единицу ширины потока, для чего возьмем симметрично относительно оси Оz две элементарные площадки 2b*δy = 2δy, так как b=1 и выразим элементарный расход

перейдя к дифференциалам и интегрируя, получим

Выразим потерю давления на трение через полный расход Q= q*b при зазоре шириной b ≠ 1; получим

(10.14)

10.5. Ламинарное течение в зазоре. Случай подвижных стенок.

Когда одна из стенок, образующих зазор, перемещается параллельно другой стенке, а давление в зазоре постоянно вдоль длины, подвижная стенка увлекает за собой жидкость, и возникает так называемое фрикционное безнапорное движение.

Выделим в таком потоке элемент dx*dy*b, как показано на рис. 10.5 и рассмотрим действующие на него силы.

Давления, приложенные к левой и правой граням элемента одинаковы (напора – нет), на элемент действуют только силы трения, вызываемые касательными напряжениями на верхней грани - τ на нижней грани τ+δτ.

Для того чтобы имело место равновесие, эти силы должны быть равны и τ = С.

По закону Ньютона τ = - μdv/dy = C (знак минус взят т.к. при dy > 0, dv<0) и после интегрирования

Постоянные С и С₁ найдем при y = a/2, v = 0 и при y = a/2, v = u, где u – скорость стенки. Отсюда

После подстановки С и С₁ в последнее уравнение получим закон распределения скоростей

Расход жидкости q, приходящийся на единицу ширины зазора, определяется по средней скорости: Vср = (u/2),

Если же указанное перемещение стенки происходит при перепаде давления в жидкости, заполняющей зазор, то закон распределения скоростей найдем, как сумму при совпадении силы давления жидкости и направления движения стенки или разность в противоположном случае.

Распределение скоростей в зазоре показано на рис.10.6 в двух вариантах:

а) направление движения стенки совпадает с направление течения жидкости под действием перепада давлений;

Характеристики

Список файлов лекций