Калиткин, Карпенко, Михайлов, Тишкин, Черненков - Математические модели природы и общества - 2005 (947500), страница 70
Текст из файла (страница 70)
Решение задачи определения границ данной области (области Й), начиная с которых действуют, либо прекращают свое действие каузалыгые закономерности, ивгеет немаловажное значение: в частности, сужение П способствует более эффективному применению известных методов или критериев установления причинной связи В с другими событиями Лг, Ам ..., Лл. Существенную роль при этом играет возможность характеризовать события Л, В с различных точек зрения, что позволяет сформулировать ряд вариантов представления граничных условий, выделяющих й в различных пространствах признаков данных событий. Каждому из таких вариантов соответствуют свои характеристики (показатели) случайных событий Л, В, рассматриваемые в качестве переменных либо параметров в формулировках условий, ограничивающих эту область. В результате реализуется возможность выявления различных факторов, от которых зависит установление каузалшгых отношений, определяются взаимосвязи между ними, что и позволяет учитывать характер воздействия этих факторов на конфигурапию границ рассматриваемой области.
Относительно Л и В будем предполагать далее, что они образуют систему упорядоченных во времени случайных событий, каждое из которых может произойти, либо не произойти в интервале времени Т наблюдения за развитием некоторого процесса, протекающего при заданном комплексе условий. Принимая такое наблюдение за единичное испытание, в качестве его возможных исходов будем иметь следующее множество взаимно-несовместимых ситуапий: 1. имеет место событие ЛВ: событие А произошло и в пределах определенного промежутка времени т(г ( 7') за ним последовало событие В; 2.
имеет место событие .4В: событие 4 произошло, однако, за время т после его осуществления события В не последовало; 340 Вл. П. Мооелироваяие взаимосвязей проблем при обработке текстов Р(В~А) ~ И~6 (66) условие (65) может оыть представлено в виде: Р(АВ) > Р(А) Р(В) (67) События, для которых Р(АВ) ф Р(А) Р(В) по определению являются зависимыми и, таким образом, соотношение (67) свидетельствует о наличии частного вида зависимости между А и В.
Так как из (67) в силу (66) при Р(ЛВ) 7- '0 тривиально следует (65), а также и Р(Л)Б) Р(Л) (68) то отношение Л является симметричным, и условие его установления может быть записано в любой из трех эквивалентных форм — (65), (67) или (68). Ниже преимущественно используется симметричная форма данного условия (67). Представим теперь каждое из сооытий А и В в виде суммы несовместимых событий из (г, а именно: А =АВОАВ, А =АВОАВ (69) и таким образом Р(А) = Р(АВ) + Р(АВ) и Р(В) = Р(АВ) + Р(АВ).
(70) Учитывая (69) и (70), исходя из (67) получим: Р(АВ) > (Р(АВ) р Р(АВ)) (Р(АВ) э Р(АЛ)) = 3. имеет место событие АВ: событие В произошло, однако, за период времени т. предшествующий данному событию, событие А отсутствовало; 4. имеет место событие АВ: как событие Л, так и событие В за период наблюдения Т отсутствовали. В этом случае все вероятности, входящие в выражение (65), определяются по отношению к полному множеству несовместимых событий ср = (АВ,АВ,АВ,АВ) с заданной на нем вероятностной мерой. Нетрудно убедиться также, что и вероятности событий элементов множества Г могут быть однозначно определены как только Р(А), Р(В) и Г(В;А) становятся известны.
Следуя терминологии Вригта [3), будем называть далее отношение между событиями А, В, возникающее при выполнении условия (65), отношением Л каузальной релевантности событий А, В, а само соотношение (65) условием каузальной релевантности. Отметим сначала одно свойство данного отношения, непосредственно вытекающее из (65). Ясно, что в силу определения условной вероятности, или теоремы умножения, согласно которой Э 3 Вероятностное модель определения облисти деистеин 341 —.- (Р(ЛВ))з —, (Р(ЛВ) + Р(ЛВ)) Р(ЛВ) —, Р(ЛВ) Р(ЛВ). (71) Но Р(АВ) + Р(АВ) =- 1 — Р(АВ) — Р(АВ), откуда следует.
что Р(ЛВ) ) (Р(АВ)) л- (1 — Р(АВ) — Р(АВ)) Р(АВ) + Р(ЛВ) . Р(АВ), (72) и в результате: Р(ЛВ) Р(ЛВ) Р(ЛВ) Р(.ЛВ) или, что то же: „( ) Р(л1В) Р(ЛВ) 1 — Р(А ш В) (74) Из (74) сразу следует, что для любых событий А и В в сумме составляющих достоверное событие, при Р(А), Р(В) < 1 условие каузальной релевантности невыполнимо.
Другие простейшие выводы из (73), (74) можно сделать, обратившись к графической интерпретации этих соотношений. На рис. 7 множеству событий () соответствует квадрат КЩ5 со стороной, равной !. Рис. 7. Полная группа несовместимых событий АВ, АВ, АВ, АВ распределе- ние вероятностей при выполнении условия (6?) Событиям Л и В отвечают фигуры, площади которых равны вероятностям Р(.4) и Р(В): это, соответственно, прямоугольник К(.М)н' с основанием Р(А) и трапеция ГВЯС.
Ясно, что если прямая ГС параллельна основанию квадрата КВ. то Гй = Р(В). Р(АВ) = Р(А) Р(В) и, следовательно, события Л и В являются независимыми. В этом случае условия (73), (74) не выполняются. Ясно также, что данные соотношения справедливы лишь тогда, когда прямая ГС образует положительный угол о с направлением 7бо.
Изменяя вероятности событий А и В в интервале О < Р(Л), Р(В) < 1 или, в графической интерпретации, изменяя положение вертикали 1нМ, позицию точки 0 в интервале (ГЕ, 31). а также величину угла о в пределах 342 Гл. Л. Мос)елиравивие взиимасвязей проблем ири обработке текстов (75) получим неравенство Е' Р(4) ) Р(В) '2 (76) служащее достаточным условием выполнения (67). Так как (76) можно представить также в виде: Р(ЛБ) > Р(.4) Р(Б) + (77) то для любых равновероятных событий, условия (76) и (67) эквивалентны. Учитывая, что Р(А) + Р(В) = Р(Л О В) + Р(АВ), получим из (76); Р(ЛВ) (78) 4 или. деля обе части (78) на Р(.4 О В) ф О, > )л) е) .Р(АОВ) 4Р(.4В) Е Р(АВ) (79) Вводя показатель совместности событий А, В: Р(АВ) Р(А О В) ' (80) будем иметь, наконец, что , >Р(Аг)В) (81) (! .) и) является достаточным условием установления отношения Б между событиями А и В.
Как видно из данного соотношения, начиная с любого произвольно малого р > О, события .4 и В будут связаны отношением каузальной ре- 0 < о < — ', нетрудно убедиться, что соотношения (73). (74) имеют 9' место для любых значений Р(Л) и Р(В), но только при определенных ограничениях на соответствующие величины Р(ЛВ) и Р(А О В). В совместном изменении последних прн варьировании значениями Р(Л) и Р(В) прослеживается некоторая закономерность.
Чтобы сделать ее более прозрачной, количественно оценить зависимость, существующую между указанными величинами, достаточно перейти от переменных Р(АВ). Р(ЛВ), Р(4В). Р(ЛВ) к другим, подходящим для данной цели характеристикам рассматриваемых событий. Обращаясь к (67) и учитывая. что в силу известного соотношения между средним арифметическим и средним геометрическим: з 3 Вероятностьил мооель определения облисти действия 343 Р( 4) Р(В) (82) из определения и найдем, что Р(А В) (1 Ч- ы) Р(В) — Р(.1В) (83) или 1 Р(В) и Р(АВ) (84) Т.к.
при произвольно фиксированном значении ш ) 1 величина Р(ЛВ)7Р(В) изменяется в пределах: !'(АВ) Р(Б) (85) то минимальное значение Р(В)/Р(АВ) равно 1 и, в силу (84) ! — >(1.! щ) — 1=щ, (88) При щ < 1 Р(АВ))Р(Б) изменяется лишь в пределах: Р(АВ) Р(А) Р(В) Р(В) (87) ! минимальное значение Р(В~у Р(Л) равно — и, следовательно, (88) Таким образом, область й' возможного изменения показателей щ щ задается следующеи системой неравенств: О<и< — прим)1; 1 О < и < 1при щ = 1; О < и < щпри О < щ < 1.
(89) левантности если только вероятности зтих событий достаточно малы. Напротив, события, в сумме близкие к достоверному, удовлетворяют соотношению (81) лишь при значениях и весьма близких к 1. Являясь достаточным для установления отношения В, условие (81) равносильно (87) лишь при Р(Л) = Р(Б), и не дает отвечающей (67) картины соответствия между ы и Р(А 0 В) для неравновероятных собьпий.
Различие состоит хотя бы в том, что область возможных значений и задается соотношением О < и < 1 лишь для событий А, В, таких, что Р(Л) = Р(В). Нетрудно видеть, однако, что при Р(Л) 7'- Р(В) верхний предел области изменения и в любом случае меньше 1, и его значение существенно зависит от величины Р(4)7Р(В). Действительно, вводя в рассмотрение показатель 344 Гл.
'е7. Моделироеипие ееиииоселзеи проблем при обработки текстов Езассматривая в качестве независимого параметра, получим из (84) и соотношения Р! Л ш В) =- Р(л1) + Р(В) — Р(ЛВ), что Р(В) = ~ — ' — (Р(А с~ В) + Р(.4В)), После преобразований получим Р(ЛВ) >, (Р(ЛВ) + Р(Л ш В)), (! ч-ш", (91) в результате чего (67) сводится к следующему неравенству: Г(р, ш) =, > Р (.4 щ В), (92) (1 ' и) где (р, ш) с ПС При ш = 1, т. е. в случае равиовероятных А и В данное условие, очевидно, переходит в условие (81). Здесь важно отметить, что при перестановке Л и В правая часть (92) остается неизменной. По определению и то же верно и относительно первого. зависящего от о, сомножителя в левой части.
Однако, в соответствии с (82), ш не обладает таким свойством: при (Р(е!)гР(В)) = и, (Р(В))Р(Л)) = ш' = 17ш. '!ем не менее, в силу симметрии отношения к, условие (92) должно быть инвариантным относительно перестановки Л и В. На самом деле так и есть, т.к.
в данном случае имеет место функциональное равенство: 7(се) = ( ) = ( " ) = 7(1/ое), (93) и асимметрия. заложенная в определении ш компенсируется указанным свойством 7(се). Из вида функции Д(ш) следует также, что граница области П' в части, не совпадающей с прямой р =- О, является линией уровня Р(р, ) =- ! функпии Р(р,ш) =- 7(ш)г)(р), которая при любом фиксированном значении ш > 0 монотонно возрастает, изменяясь от 0 до 1 с увеличением р в пределах, определяемых соотношениями (89).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
