Калиткин, Карпенко, Михайлов, Тишкин, Черненков - Математические модели природы и общества - 2005 (947500), страница 71
Текст из файла (страница 71)
Простое вычисление показывает, что при значениях ш, фиксируемых в интервале 1 < ш < 1,5, степень приближения (92) неравенством (81) достаточно высока: относительная погрешность приближения Е не превышает здесь 0,042; при ш = 1.6Х =- 0,056; при ш = 2, Е = 0,125, а при ш = 4 возрастает до 0,56. Таким образом, для произвольного шо, такого, что 0,125 = 1/1,6 < и,о < 1.6 в интервале значений р. определяемом согласно (9!), использование (81) в качестве условия каузальной релевантности событий .4 и В представляется вполне оправданным. Суммируя сказанное выше. можно сделать вывод, что введение показателей и, позволило связать отношение В с другими наглядно интерпретируемыми отношениями между событиями А и В и на этой основе воссоздать достаточно полную картину такой взаимосвязи.
В частности, была выявлена определенная зависимость между совме- а 3 Вероятностная мебель определения облисти деистеия 345 стимостью и масштабом вероятности событий А и В, для которых В(Л,В) имеет место. Незатронутым, однако, остался один вопрос, непосредственно примыкающий к данной теме: о возможности выделения в 11 событий А, В степень зависимости которых регламентирована определенными условиями; например, не ниже (или не выше) некоторого заданного уровня. Решение этого вопроса требует введения еще одного параметра — )с, ограничивающего степень взаимозависимости Л и В таким образом, что: >й(й>1), (94) ( ) Р (АВ) Р(АВ) (9ог) 1 — Р (А О В) и > Р (А г) В) . (96) 1(о + 1)а Таким образом, в области з) сильная зависимость (й » 1) имеет место лишь для маловероятных событий А и В.
На рис. 8 представлена Н в случае равновероятных событии: область ограничивают ось р и кривая Вм отвечающая значению )г = 1. Рбчив) 1,0 О.З 0,6 0,4 о.г 0 0,2 0,4 0,6 О,З 1,0 р(лвв) Р(.4 ыв) Рис. 8 Области, степень взаимосвязи равновероятных событий в которых удовлетворяет заданным ограничениям: й > 1; 1 >!.25; й > 2; й > 3 Линии Вз, Вн Ь4 выделяют подобласти 11, в которых степень зависимости между А и В превышает, соответственно 1,25; 2 н 3. Используя аналогичные графики, где семейство кривых, параметрически зависящих от ), и от представлено более полно, можно легко определять границы, начиная с которых степень взаимозависимости событий А и В не меньше (либо не больше) некоторого заданного уровня. Так, 346 Вл.
Ь7. Моделирование взиилосвязей вройшм оро обработки текстов а) 0 < Р(АВ'), Р(ЛВ), Р(ЛВ), Р(.4В), (97) б) Р(АВ) Р(ЛВ) + Р(АВ) + Р(4В) = 1. Переформулируя (97 а, б) в терминах вероятностей событий А, В и АВ. получим, что О < (АВ) = (Р(ЛВ) -, Р(ЛВ)) — Р(АВ) = Р(Л) — Р(ЛВ) и, значит, 0 < (Р(АВ) < Р(А). Аналогичным образом имеем 0 < (Р(АВ) < Р(В).
Наконец, в соответствии с (97б) Р(АВ) + Р(АВ) + Р(АВ) = (Р(.4В) + Р(АВ) ) + (Р(ЛВ) + Р(АВ) )— — Р(АВ) =- Р(А) + Р(В) — Р(АВ) < 1. (98) В результате, обозначив для упрощения дальнейших выкладок Р(А), Р(В), Р(АВ) соответственно через ш, у,, полученную систему общих ограничений можно записать как Е О « - ах 0<а<у, л.!.
у — = < !. (99) Совместно с условием (99), которое в новых обозначениях имеет вид - > кшу, (100) система (99) определяет область Пь в трехмерном пространстве коор- динат,с,у,з. например, в представленном на рис. 8 случае (, .—. 1), условие (96) дает, что для любых А и В при Р(А ш В) < 0,1 и р > 0.1 степень зависимости не меньше 3. При Р(Л 0 В) > 0,7 для р < 0,3 зависимость между А и В вообще отсутствует, а при Р(А сз В) > 0,9 хотя и может иметь место, но лишь при значениях р, достаточно близких к 1, да и то слабая, с й < 1,25.
Для произвольных значений > 0 конфигурацию области Па, выделяемой из П при любом фиксированном У > 1, проще всего представить соотношением (94), рассматривая Пь в пространстве признаков Р(Л), Р(В) и Р(АВ). Предварительно следует, однако, определить область допустимых значений Р(Л), Р(В), Р(АВ), выделяемую в данном пространстве системой ограничений, обусловленных общими свойствами вероятной меры. Применительно к вероятностям несовместимых событий из (7 эти ограничения выглядят элементарно: р 3 Вероятяостяия модель определения области деистеия 347 представляющей собой гиперболический параболоид.
В этом нетрудно убедиться, перейдя к системе координат (л',у',я'), полученной из ястаройя путелг вращения вокруг оси О на угол я7'4; именно при таком переходе преобразование координат Л 72 х+р т72 тт 2 — — х+у— 2 2 х' .= (102) У = приводит уравнение (101) к нормальной форме: ( л) (р')' 2а' = -' —— 1,% 1/'й (103) 1,о,о) (А)) А (О, 1, у (р(В)) Рис. 9 Область допустимых значений Р(Л), Р(В), Р(ЛВ); треугольник ВОН проекция сечения этой области на координатную плоскость Оху Теперь анализ граничных условий удооно проводить, используя сечения (1 плоскостями, параллельными координатной плоскости Охр.
Сечение поверхности (103) плоскостью а = )г дает в проекции на Эта область представляет собой часть треугольной пирамиды с вершиной О и основанием .4ОЛХ (рис. 9). ограниченную поверхностью второго порядка а = )тку. (101) 348 Пл. Л. л1одслироеание езиимосвлзей проблем при обрабошкс тсксаое координатную плоскость Олу гиперболу Ь')' (104) с действительной полуосью, равной ~ — и асимптотами у = ~л, Г26 , с ~г й совпадающими с координатными осями акр старой системы. В той же проекции сечение пирамиды СЛОМ дает равнобедренный прямоугольный треугольник л СН с координатами вершин Г(й, 1), С()п й) и Н(1, й). Таким образом, множество точек 11ю принадлежащих секущей плоскости а = )и имеет своей проекпией на плоскость Олр область Й,, ограниченную сторонами прямого угла ЕСН и отрезком гипер(а болы (!04), заключенным между точками К и Ь (рис.
1О). о .=л т — нл- Рис. 1О Проекция сечения области П плоскостью = = Ь на координатную плоскость Олр. й = 0,2; й = 1,3 Ясно, что Й ' не пуста лишь в том случае, когда действительная 1Ь1 ось гиперболы превышает расстояние точки С| до начала координат, т.е. при условии, что : > йъ'2 (105) й < —.
1 Х' (106) Так как точки К и Е пересечения гиперболы с прямыми:с =- й и у = й имеют, соответственно, координаты ()ц 1,й), и, по определению. й > 1, то при любых допустимых значениях и и й, удовлетворяющих условию (106), эти точки лежат на сторонах ГС и СН треугольника З 3 Вероятностная.иос1ель оирсгзелеяия области деистеия 349 1 ГСН.
В случае, когда 6 = —, К и Ь сливаются с вершиной гиперболы и Пь'1 = Ы. Как видно из рис. 7, вероятности событий А и В 161 могут принимать значения в промежутке 16, 1Я . При этом каждому фиксированному в данном промежутке значению Р(А) соответствует 6 свое множество допустимых значений Р(В): 6 < Р(В) < . При минимальном значении Р(А). равном 6, это множество определяется 1 условием 6 < Р(В) < —, а при Р(А) =- 1/6 становится пустым.
Перестановка А и В в указанных соотношениях приводит к аналогичному результату. х=1дл М х =од о,а 0,6 0,8 у — — 1% Рис. 1!. Проекции сечений области Пь на коордииатную пяоскость Охл; 6 =- = О,1, 0,4, 0,6; 0,8. 6 = 1,2 Рис. 11 изображает проекции на плоскость Охусечений области П параллельными плоскостями = =. 6, (1 =- 1,2,...).
Взятые вместе, они дают достаточно ясное представление о данной области трехмерного пространства признаков Р(А), Р(В) и Р(АВ). Характерные особенности конфигурации П обусловлены тем, что она является результатом пересечения двух областей, одна из которых, определяемая условием = ) юу (м,р.а ) О), расширяется с увеличением 6, другая — область допустимых значений Р(А), Р(В).
Р(АВ) с увеличением 6 сжимается, вырождаясь в единственную точку С(1, 1, 1). При этом произвольно фиксированной точке (м„. уя) проекпии П на Оку соответствует, вообше говоря, множество значений 6 и 6. взаимное изменение которых удовлетворяет требованию Ьф = соиз1 < 1. Это вполне естественно в «трехмернойь модели взаимосвязи событий А и В, где в качестве начальных данных используются не только значения вероятности Р(ЛВ), но и значения вероятностей самих событий Р(Л) и Р(В).
Зависимость показателей и и и, от параметра 6 также легко проследить, используя горизонтальные сечения. Нетрудно убедиться, что 350 Вл. Л. Моделирование взииласвязеи пробсел» ири обработке текстов в рассматриваемой проекции на плоскость О:су линии уровня и и ш имеют чрезвычайно простой вид: в случае ш — зто отрезки прямых линий пучка прямых у — Сх, в случае и — отрезки параллельных прямых вида у+ х =- С, где С ) 0 (рис. 10). На каждой прямой у =- Сх, (ь1 имеющей хотя бы одну общую точку с (1~~, ш принимает значение, равное 1/С.
На каждой прямой семейства у+ х =. С, и .— — ЬДС вЂ” й). Отсюда, в частности, следует что, посколысу координаты точек 1б. В и С равны соответственно ()п1/)с), (17')с,й), ()пй), значения и и изменяются в пределах: йк <ш < —. (107) М' и уй<и<1. (108) 1(В ЗА) Р(АОВ) =Р(4В) =-1 — (АВ) 1 — (, (В) — й). (109) Тогда для произвольных пар событий (Аь В~),(Аа. Вз), вероятности которых удовлетворяют условию: й 6 Р(А~)Р(В~) ' ' Р(АДР(В ) ' выполняется авенство р Р(В,) (111) Р(Вз) здесь; = Р(4))Р(В), ! = 1, 2, и при ша ) ш~ Р(В~) > Р(Вз).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
