Буслов, Яковлев - Численные методы. 2. Решение уравнений (947496), страница 8
Текст из файла (страница 8)
îïðåäåëèì åãî ñîáñòâåííûå ôóíêöèè è ñîáñòâåííûå ÷èñëà.(d2− dx2 Φ = λΦ,Φ(a) = Φ(b) = 0.(18)√λx, cos λx óäîâëåòâîðÿþò óðàâíåíèþ.√Ïóñòü a = 0 äëÿ óïðîùåíèÿ çàïèñè. Ïîñêîëüêó Φ(0) = 0, òî íàñ óñòðàèâàåò òîëüêî ôóíêöèè âèäà sin λx .√Èç âòîðîãî ãðàíè÷íîãî óñëîâèÿ Φ(b) = 0 ñëåäóåò, ÷òî λb = πn , òàêèì îáðàçîì, ñïåêòð çàäà÷è äèñêðåòíûéÎ÷åâèäíî, ÷òî ôóíêöèè Φλ (x) = e±i√λx, èëè èõ êîìáèíàöèè sin√è áåñêîíå÷íûé. Ñîáñòâåííûå ôóíêöèè Φn è ñîáñòâåííûå ÷èñëà λn èìåþò âèäΦn (x) = sinπnn2 π 2x , λn = 2 .bb(19)3.5.2 Ðàçíîñòíûé îïåðàòîðÐàññìîòðèì òåïåðü ñîîòâåòñòâóþùóþ ðàçíîñòíóþ çàäà÷ó. Ðàçîáüåì ïðîìåæóòîê íà (N + 1) ÷àñòü c ðàâíîìåðíûì øàãîì h : a = x0 < x1 < . .
. < xN +1 = b . Çàäà÷à íà ñïåêòð ðàçíîñòíîãî îïåðàòîðà ïðèíèìàåòâèä(i +Fi+1− Fi−1 −2F= λ̃Fi , i = 1, 2, . . . , N,h2(20)F0 = FN +1 = 0,èëè, îáîçíà÷èâ λ̃h2 = µ,(−Fi−1 + 2Fi − Fi+1 = µFi , i = 1, . . . , N,F0 = FN +1 = 0.Ýòà çàäà÷à ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé çàäà÷ó2 −1AF = µF : 0 ......íà ñïåêòð òðåõäèàãîíàëüíîé−1 0... 0F 12−1 0. . . F2−1 2−1 . . . . .
.... ... ... ... ...... ... ... ...FNF0 = FN +1 = 0 ,36ìàòðèöû N -ãîF 1 F2 = µ ... ...FNïîðÿäêà ,ñ N -êîìïîíåíòíûìè ñîáñòâåííûìè âåêòîðàìè F = (F1 , F2 . . . , FN )T .dÄëÿ ðåøåíèÿ ýòîé çàäà÷è âñïîìíèì ñíà÷àëà (ñì. Ãëàâó "×èñëåííîå äèôôåðåíöèðîâàíèå), ÷òî eh dx F (x) =dF (x + h) , òî åñòü e±h dx Fi = Fi±1 . Òàêèì îáðàçîì, ñèñòåìó ìîæíî ïåðåïèñàòü â âèäå(dd[e−h dx + 2 − eh dx ]Fi = µFi ,F0 = FN +1 = 0.Ïðèìåíÿÿ îïåðàòîðû ñäâèãà êî âñåì êîìïîíåíòàì âåêòîðà F, ïîëó÷àåì ñëåäóþùóþ ïåðåôîðìóëèðîâêó(dd[e−h dx + 2 − eh dx ]F = µF,F0 = FN +1 = 0.Íåêîòîðîå íåóäîáñòâî òàêîé ôîðìû çàïèñè ñîñòîèò â òîì, ÷òîddxíå ÿâëÿåòñÿ ñàìîñîïðÿæåííûì îïåðàòî-dðîì, íî òàêîâûì ÿâëÿåòñÿ îïåðàòîð 1i dx(ïðàâäà ðàññìàòðèâàåìûé íà âñåé îñè):¿À¶¿ÀµZZ11 d1 d1 df, g =g(x) dx = f,g .f 0 (x)ḡ(x)dx = f (x)i dxii dxi dxÑîáñòâåííûå ôóíêöèè îïåðàòîðà D ýòî ýêñïîíåíòû eipx :1 d ipxi dx e= peipx , ñïåêòð ñïëîøíîé è çàïîëíÿåòâñþ âåùåñòâåííóþ îñü: p ∈ R1 .
Íî ñîáñòâåííûå ôóíêöèè ïðîèçâîëüíîãî ñàìîñîïðÿæåííîãî îïåðàòîðà Aÿâëÿþòñÿ ñîáñòâåííûìè è äëÿ ôóíêöèè îò îïåðàòîðà f (A) , à ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ îïåðàòîðà f (A) ýòî÷èñëà f (p) ), ãäå p ñîáñòâåííûå ÷èñëà A :Pλi hϕ, F (i) iF (i)Pf (A)ϕ =f (λi )hϕ, F (i) iF (i)Aϕ =⇒ f (A)F (k) = f (λk )F (k) .Ïîäåéñòâóåì íà ñîáñòâåííóþ ôóíêöèþ F = eipx îïåðàòîðà äèôôåðåíöèðîâàíèÿ D ôóíêöèåé f (D) =[−eihD − e−ihD + 2] îò ýòîãî îïåðàòîðà:[−eihD − e−ihD + 2]F = [−eiph − e−iph + 2]F = 2[1 − cos ph]F . ñèëó ñèììåòðèè f (D) î÷åâèäíî ÷òî f (p) = f (−p) , ïîýòîìó ñîáñòâåííàÿ ôóíêöèÿ e−ipx îòâå÷àåò òîìóæå ñîáñòâåííîìó ÷èñëó 2[1 − cos(ph)] , ÷òî è eipx (ðàâíî êàê è ëþáàÿ èõ ëèíåéíàÿ êîìáèíàöèÿ).
 íàøåéçàäà÷å íåîáõîäèìî óäîâëåòâîðèòü ãðàíè÷íûì óñëîâèÿì F (0) = F (a) = 0 . Èç ïåðâîãî ãðàíè÷íîãî óñëîâèÿF0 = 0 ñëåäóåò, ÷òî êîìïîíåíòû ñîáñòâåííîãî âåêòîðà, îòâå÷àþùåãî ñîáñòâåííîìó ÷èñëó p , èìåþò âèäFjp = sin pxj , ãäå xj = hj . Âòîðîå ãðàíè÷íîå óñëîâèå FN +1 = 0 ïîçâîëÿåò îïðåäåëèòü ñàìè ñîáñòâåííûå÷èñëà: sin ph(N + 1) = 0 , îòêóäà ph(N + 1) = πn , èëè pn =πnh(N +1)=πnb, n = 1, 2, . . . , N . Òî åñòü âçàäà÷å (20) ñîáñòâåííûå âåêòîðû èìåþò âèäFn : Fjn = sinπnxj , xj = hj .bÇàìåòèì, ÷òî çíà÷åíèå èñòèííîé ñîáñòâåííîé ôóíêöèè Φn îïåðàòîðà äâîéíîãî äèôôåðåíöèðîâàíèÿ âëþáîé òî÷êå xj ñîâïàäàåò ñ j -êîìïîíåíòîé n-ãî ñîáñòâåííîãî âåêòîðà ðàçíîñòíîãî îïåðàòîðà:Φn (xj ) = Fjn .Ïîñìîòðèì òåïåðü íàñêîëüêî îòëè÷àþòñÿ ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ λn îïåðàòîðà äâîéíîãî äèôôåðåíöèðîâàíèÿ è ñîáñòâåííûå ÷èñëà λ̃n =µnh2λ̃n ==ðàçíîñòíîãî îïåðàòîðà (19):µn22πn= 2 [1 − cos pn h] = 2 [1 − cosh] =h2hhb2π 2 n2 2π 2 n24[1−1+h+O(h)]=+ O(h2 ) = λn + O(h2 ) .h22b2b2373.5.3 ÐåçîëüâåíòàÎïðåäåëåíèå.
Ïóñòü A ëèíåéíûé îïåðàòîð, ôóíêöèÿ îò îïåðàòîðà Rλ (A) = (A − λ)−1 íàçûâàåòñÿpåçîëüâåíòîé îïåðàòîðà A .Ðåçîëüâåíòà Rλ (A) îïðåäåëåíà , êàê ëåãêî âèäåòü, íå ïpè âñåõ λ, à ëèøü âíå ñïåêòðà.Ïóñòü A ñàìîñîïðÿæåííûé îïåðàòîð ñ äèñêðåòíûì ñïåêòðîì, λk åãî ñîáñòâåííûå ÷èñëà, ϕk ñîîòâåòñòâóþùèå ñîáñòâåííûå ôóíêöèè. Âûïèøåì ñïåêòðàëüíîå ðàçëîæåíèå A :A=XXλk Pk =λk h·, ϕk iϕk , ||ϕk || = 1 .Ïîñêîëüêó ôóíêöèÿ îò îïåðàòîðà çàïèñûâàåòñÿ êàêf (λ) =Xf (λk )h·, ϕk iϕk ,òî ðåçîëüâåíòà â ñïåêòðàëüíîì ïðåäñòàâëåíèè îïåðàòîðà A èìååò âèäRλ (A) =X h·, ϕk iϕkλk − λk.(21)Ïîäñòàâëÿÿ â (21) âìåñòî ϕk íîðìèðîâàííûå íà åäèíèöó ñîáñòâåííûå ôóíêöèè îïåðàòîðà ëèáî âòîðîéïðîèçâîäíîé ëèáî ñîáñòâåííûå âåêòîðû ðàçíîñòíîãî îïåðàòîðà, à âìåñòî λk ñîîòâåòñòâóþùèå ñîáñòâåííûåçíà÷åíèÿπ 2 k2b2îïåðàòîðà äâîéíîãî äèôôåðåíöèðîâàíèÿ èëè ñîáñòâåííûå ÷èñëà2πkh2 (1−cos b h)ðàçíîñòíîãî,ìû ïîëó÷èì, ñîîòâåòñòâåííî, påçîëüâåíòó îïåðàòîðà âòîðîé ïðîèçâîäíîé èëè ðàçíîñòíîé âòîðîé ïðîèçâîäíîé.Ïóñòü ρ2n =Rb0sin2 ( πnxb )dx , òîãäà íîðìèðîâàííûå ñîáñòâåííûå ôóíêöèè îïåðàòîðà äâîéíîãî äèôôåðåí-öèðîâàíèÿ èìåþò âèä F (n) =1ρnsin πnb x .
 ñëó÷àå ðàçíîñòíîãî îïåðàòîðà ïîëîæèâρ2n=NXsin2j=1πnxj ,bïîëó÷àåì íîðìèðîâàííûå ñîáñòâåííûå âåêòîðû Fn ñ êîìïîíåíòàìèFjn =1πn1πnsinxj =sinhj .ρnbρnbÏîëó÷èì ìàòðè÷íûå ýëåìåíòû ðåçîëüâåíòû ðàçíîñòíîãî îïåðàòîðà.  áàçèñå èç ñîáñòâåííûõ âåêòîðîâðàçíîñòíîãî îïåðàòîðà, ðåçîëüâåíòà, î÷åâèäíî, ïðåäñòàâëÿåòñÿ äèàãîíàëüíîé ìàòðèöåé. Ïóñòü e1 , e2 , . .
. , eN íåêîòîðûé îðòîíîðìèðîâàííûé áàçèñ â RN è v ïðîèçâîëüíûé âåêòîð. Ðàçëîæèì v è ñîáñòâåííûåâåêòîðû Fn ïî ýòîìó áàçèñóv=NXhv, ei iei =i=1NXv i ei ,NXFn =i=1hFn , ei iei =i=1NXi=1Äåéñòâèå ðåçîëüâåíòû íà v èìååò âèäNPRλ (A)v =NXi=1iihv, F iF=λi − λNXi=1l=1vl Fliλi − λFi .k -àÿ êîìïîíåíòà âåêòîðà Rλ (A)v åñòü[Rλ (A)v]k =NPvl FliNXl=1i=1λi − λFki =38N XNXFli Fkivl ,λi − λi=1l=1Fin ei .òî åñòü ìàòðè÷íûå ýëåìåíòû îïåðàòîðà Rλ (A) èìåþò âèä:Rλ (A)kl =NXFli Fki.λ −λi=1 iÂåðõíèé èíäåêñ ó F íóìåðóåò ñîáñòâåííûå ôóíêöèè, íèæíèé èíäåêñ èõ êîìïîíåíòû.3.5.4 Òåîðèÿ âîçìóùåíèéÑïåêòð îïåðàòîðà äâîéíîãî äèôôåðåíöèðîâàíèÿ è ñïåêòð ñîîòâåòñòâóþùåãî ðàçíîñòíîãî îïåðàòîðà íàìèçâåñòåí.
Ðàññìîòðèì ñîîòâåòñòâóþùèå âîçìóùåííûå çàäà÷è:(( F −2F −Fd2− i−1 h2i i+1 + εqi Fi = λFi ,− dx2 Ψ + εq(x)Ψ = λΨ,F0 = FN +1 = 0 .Ψ(0) = Ψ(b) = 0,Çäåñü ε ìàëûé ïàpàìåòp, q ïîòåíöèàë.Èçëîæèì ñóòü ìåòîäà òåîðèè âîçìóùåíèé [18] äëÿ ñëó÷àÿ îïåðàòîðà ñ äèñêðåòíûì ñïåêòðîì. Ïóñòü A èQ äâà ñîìîñîïðÿæåííûõ îïåðàòîðà, ïðè÷åì ñîáñòâåííûå ôóíêöèè è ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ A èçâåñòíû:AΨk = λk Ψk .Òðåáóåòñÿ ïðîâåñòè ïðèáëèæåííî ñïåêòðàëüíûé àíàëèç âîçìóùåííîãî îïåðàòîðà A + εQ , òî åñòü íàéòèðåøåíèÿ çàäà÷è[A + εQ]ϕk = µk ϕk .(22)Áóäåì ïðåäïîëàãàòü, ÷òî ñïåêòð A íåâûðîæäåí.
Ðàçëîæèì ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ è ñîáñòâåííûå ôóíêöèèâîçìóùåííîãî îïåðàòîðà ïî ñòåïåíÿì ìàëîãî ïàðàìåòðà ε :(1)(2)(23)(1)(2)(24)µk = λk + εµk + ε2 µk + . . . ,ϕk = Ψk + εϕk + ε2 ϕk + . . . ,(i)(i)ãäå λk è ϕk íåêîòîðûå íåèçâåñòíûå ÷èñëà è ôóíêöèè, ñîîòâåòñòâåííî.
Îãðàíè÷èìñÿ ïåðâûì ïîðÿäêîìòåîðèè âîçìóùåíèé. Ïîäñòàâëÿÿ â (22) âûðàæåíèÿ (23), (24) è ó÷èòûâàÿ ñàìî óðàâíåíèå AΨk = λk Ψk , ñòî÷íîñòüþ äî ÷ëåíîâ ïåðâîãî ïîðÿäêà ïî ε ïîëó÷àåì(1)(1)[A + εQ − λk − εµk ](Ψk + εϕk ) = 0 ,èëè(1)(1)(A − λk )Ψk +ε[(A − λk )ϕk + (Q − µk )Ψk ] = 0 .|{z}=0Òàêèì îáðàçîì, íåîáõîäèìî ðåøèòü óðàâíåíèå:(1)(1)(A − λk I)ϕk = (µk − Q)Ψk .(25)Îáîçíà÷èì A − λk I = B . Ýòî âûðîæäåííûé îïåðàòîð (ïîñêîëüêó èìååò íóëåâîå ñîáñòâåííîå çíà÷åíèå:(1)BΨk = 0 ). Ïóñòü òàêæå (µk − Q)Ψk = g . Òîãäà çàäà÷à ñâîäèòñÿ ê óðàâíåíèþ(1)Bϕk = g .39 ñîîòâåòñòâèè ñ àëüòåðíàòèâàìè Ôðåäãîëüìà, ýòà çàäà÷à èìååò åäèíñòâåííîå ðåøåíèå, åñëè ôóíêöèÿ gîðòîãîíàëüíà ÿäðó ñîïðÿæåííîãî îïåðàòîðà, òî åñòü ðåøåíèÿì çàäà÷è B ∗ g = 0 . Íå âäàâàÿñü â äîêàçàòåëüñòâà, ïîÿñíèì ýòîò ðåçóëüòàò ñëåäóþùèì îáðàçîì. Ïðåäñòàâèì g â âèäå ñóììû äâóõ ôóíêöèé, îäíà èçêîòîðûõ ïðèíàäëåæèò ÿäðó ñîïðÿæåííîãî îïåðàòîðà, à äðóãàÿ îðòîãîíàëüíîìó äîïîëíåíèþ: g = v 1 + v 2 ,v 1 ⊥ v 2 , B ∗ v 1 = 0 .
Òîãäà(1)(1)(1)||g||2 = hBϕk , gi = hϕk , B ∗ (v 1 + v 2 )i = hBϕk , v 2 i = hv 1 + v 2 , v 2 i = hv 2 , v 2 i ,òî åñòü íîðìà íå çàâèñèò îò ïðîåêöèè g íà ÿäðî ñîïðÿæåííîãî îïåðàòîðà, èíà÷å ãîâîðÿ, ýòîé ïðîåêöèèïðîñòî íåò.  íàøåé ñèòóàöèè B = A − λk Iðàçðåøèìîñòè (25) ïðèíèìàåò âèä(1)(µk ñàìîñîïðÿæåííûé îïåðàòîð. Òàêèì îáðàçîì, óñëîâèå(1)− Q)Ψk ⊥ Ψk èëè h(µk − Q)Ψk , Ψk i = 0 , îòêóäà(1)µk = hQΨk , Ψk i .Òàêèì îáðàçîì, ïîïðàâêè ê ñîáñòâåííûì çíà÷åíèÿì îïðåäåëåíû. Ïîïðàâêè ê ñîáñòâåííûì ôóíêöèÿì îïðåäåëÿåì èç òîãî æå óðàâíåíèÿ (25)(1)(1)(A − λk )ϕk = (µk − Q)Ψk .Òî åñòü ôîðìàëüíî(1)(1)ϕk = Rλk (A)(µk − Q)Ψk =X hΨi , (µ(1) − Q)Ψk iki=1λi − λkΨik .(1)Íî Rλ (A) ïðè λ = λk íå ÿâëÿåòñÿ îãðàíè÷åííûì îïåðàòîðîì.
Ñ äðóãîé ñòîðîíû h(µk − Q)Ψk , Ψk i = 0 ,ïîýòîìó ñóììèðîâàíèå ìîæíî âåñòè ïî i 6= k . Ïðîäîëæàÿ ðàâåíñòâî, ïîëó÷àåì(1)ϕk =X hΨi , (µ(1) − Q)Ψk iki6=kλi − λkΨi =X hΨi , QΨk ii6=kλk − λiΨi .Çäåñü ìû âîñïîëüçîâàëèñü òåì, ÷òî ñîáñòâåííûå ôóíêöèè îðòîãîíàëüíû. Èòàê, â ïåðâîì ïîðÿäêå òåîðèèâîçìóùåíèéµk = λk + εhQΨk , Ψk i ,X hΨi , QΨk iϕk = Ψk + εΨi .λk − λii6=k40Ëèòåðàòóðà[1] Í.Í. Êàëèòêèí // ×èñëåííûå ìåòîäû // Ìîñêâà, Íàóêà, 1978.[2] Í.Ñ.Áàõâàëîâ, Í.Ï.Æèäêîâ, Ã.Ì.Êîáåëüêîâ // ×èñëåííûå ìåòîäû // Ìîñêâà Ñàíêò-Ïåòåðáóðã, Ëàáîðàòîðèÿ áàçîâûõ çíàíèé, 2000.[3] Ä.Êàõàíåð, Ê.Ìîóëåð, Ñ.Íåø // ×èñëåííûå ìåòîäû è ïðîãðàììíîå îáåñïå÷åíèå // Ìîñêâà, Ìèð, 1998.[4] Äæ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
