Буслов, Яковлев - Численные методы. 2. Решение уравнений (947496), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Ìåòîä ïðîãíîç-êîððåêöèèÏóñòü Pn+1,k+1 (x) èíòåðïîëÿöèîííûé ïîëèíîì ïîðÿäêà k , ïîñòðîåííûé ïî k + 1 çíà÷åíèþ fn−k+1 , . . .,fn , fn+1 , îäíî èç êîòîðûõ, èìåííî fn+1 , ìû áóäåì ñ÷èòàòü íåèçâåñòíûì. Ìîäèôèöèðóåì (7), çàìåíèâ âíåì Pn,k íà ïîëèíîì áîëåå âûñîêîé ñòåïåíè Pn+1,k+1 , èíòåãðàë îò êîòîðîãî âûðàæàåòñÿ â âèäå ëèíåéíîéêîìáèíàöèè çíà÷åíèé fi ñ íåêîòîðûìè íîâûìè êîýôôèöèåíòàìè βi :xZn+1yn+1 = yn +Pn+1,k+1 dx = yn +kXβi fn+1−i + β0 f (xn+1 , yn+1 ) .(8)i=1xnÔîðìóëà (8) ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé íåÿâíóþ ñõåìó Àäàìñà è ÿâëÿåòñÿ óðàâíåíèåì íà yn+1 , êîòîðîå ìîæíî0ðåøàòü ñêàæåì ìåòîäîì ïîñëåäîâàòåëüíûõ ïðèáëèæåíèé. Åñòåñòâåííî, ÷òî íà÷àëüíîå ïðèáëèæåíèå yn+1,äîëæíî áûòü ðàçóìíî âûáðàíî. Äëÿ ýòîãî óäîáíî îáúåäèíèòü ÿâíóþ è íåÿâíóþ ñõåìû Àäàìñà â îäíó,íàçûâàåìóþ ìåòîäîì "ïðîãíîç-êîððåêöèè".
Èìåííî, ñ ïîìîùüþ ÿâíîé ñõåìû îïðåäåëÿåòñÿ íà÷àëüíîå ïðè0áëèæåíèå yn+1(ïðîãíîç), à çàòåì ïî íåÿâíîé ñõåìå îíî íåîáõîäèìîå ÷èñëî ðàç (îáû÷íî îäèí èëè äâà)êîððåêòèðóåòñÿ ìåòîäîì ïîñëåäîâàòåëüíûõ ïðèáëèæåíèé äî äîñòèæåíèÿ çàäàííîé òî÷íîñòè (êîððåêöèÿ):kP0ïðîãíîç: yn+1= yn +λi fn+1−i ,i=1êîððåêöèÿ:m+1yn+1= yn +kPi=1mβi fn+1−i + β0 f (xn+1 , yn+1).31Ïðèìåð. Ïóñòü k ðàâíî 1 è h = xn+1 − xn .  ýòîì ñëó÷àå "ïðîãíîç" ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé èíòåãðèðîâàíèåïî ôîðìóëå ëåâûõ ïðÿìîóãîëüíèêîâ, ñîâïàäàþùåå â äàííîì ñëó÷àå ñ ìåòîäîì Ýéëåðà, à "êîððåêöèÿ" èíòåãðèðîâàíèå ïî ôîðìóëå òðàïåöèé:ïðîãíîç:0yn+1= yn + hfn ,êîððåêöèÿ:yn+1 = yn + h2 (fn + fn+1 ) .Ïîñëåäíþþ ôîðìóëó íåîáõîäèìî ïîíèìàòü êàê óðàâíåíèå äëÿ îïðåäåëåíèÿ yn+1 (è, ñîîòâåòñòâåííî, óðàâíåíèå íà fn+1 = f (xn+1 , yn+1 )), êîòîðîå ðåøàåòñÿ ìåòîäîì ïîñëåäîâàòåëüíûõ ïðèáëèæåíèé.3.3 Êðàåâàÿ çàäà÷à3.3.1 Ìåòîä ñòðåëüáûÐàññìîòðèì êðàåâóþ çàäà÷ó äëÿ óðàâíåíèÿ âòîðîãî ïîðÿäêà 00y (x) = f (x, y, y 0 ) , x ∈ [a, b] ,α1 y(a) + β1 y 0 (a) = γ1 ,α2 y(b) + β2 y 0 (b) = γ2 .(9)Ïåðåéäåì îò ýòîé çàäà÷è ê ñèñòåìå óðàâíåíèé ïåðâîãî ïîðÿäêà.
Ïóñòü u(x) = y(x) è v(x) = y 0 (x) . Òîãäàóðàâíåíèå (9) ïåðåõîäèò â(u0 = v,v 0 = f (x, u, v),à êðàåâûå óñëîâèÿ ïðèíèìàþò âèä(α1 u(a) + β1 v(a) = γ1 ,α2 u(b) + β2 v(b) = γ2 .(10)(100 )Òàêèì îáðàçîì, èñõîäíàÿ êðàåâàÿ çàäà÷à ñâåëàñü ê çàäà÷å 1-ãî ïîðÿäêà äëÿ ñèñòåìû äâóõ óðàâíåíèé.Ìåòîä ñòðåëüáû ýòî ïåðåõîä ê ðåøåíèþ íåêîòîðîé çàäà÷è Êîøè äëÿ ñèñòåìû (10).
Âûáåðåì ïðîèçâîëüíî u(a) = ξ . Òåïåðü îïðåäåëèì v(a) èç ïåðâîãî èç óñëîâèé (100 ):v(a) = β1−1 (γ1 − α1 ξ) ≡ η(ξ) .Äàëåå, ðàññìîòðèì ñèñòåìó (10) ñ íà÷àëüíûìè óñëîâèÿìè(u(a) = ξv(a) = η(ξ) .Òàêàÿ çàäà÷à ÿâëÿåòñÿ çàäà÷åé Êîøè. Ðåøèì åå íåêîòîðûì ñïîñîáîì (íàïðèìåð, ìåòîäîì Ðóíãå-Êóòòà 4-ãîïîðÿäêà). Ðåøåíèå (uξ , vξ ) íàâåðíÿêà íå áóäåò óäîâëåòâîðÿòü âòîðîìó êðàåâîìó óñëîâèþ. Îáîçíà÷èì ÷åðåç∆ξ âîçíèêàþùóþ íåâÿçêó:α2 u(b)ξ + β2 v(b)ξ − γ2 = ∆(ξ) .Çàäà÷à ñîñòîèò â îòûñêàíèè òàêîãî ξ∗ , ïðè êîòîðîì íåâÿçêà îáðàùàåòñÿ â íîëü: ∆(ξ∗ ) = 0 , ÷òî ñîîòâåòñòâóåò óäîâëåòâîðåíèþ âòîðîãî êðàåâîãî óñëîâèÿ. Âàðüèðóåì (ñòðåëüáà) ïðèñòðåëî÷íûé ïàðàìåòð ξ äî òåõïîð, ïîêà íå îáðàçóåòñÿ âèëêàξi : ∆(ξi )∆(ξi+1 ) < 0 ,òîãäà ìîæíî óòâåðæäàòü, ÷òî ξ∗ ∈ [ξi , ξi+1 ].
Ïîñëå òîãî, êàê ïðîìåæóòîê íà êîòîðîì íàõîäèòñÿ êîðåíüôóíêöèè ∆(ξ) íàéäåí, äåëèì îòðåçîê [ξi , ξi+1 ] ïîïîëàì è âûáèðàåì òó åãî ÷àñòü, íà êîíöàõ êîòîðîé ∆èìååò ðàçíûå çíàêè, è òàê äàëåå, äî äîñòèæåíèÿ òðåáóåìîé òî÷íîñòè.32Çàìå÷àíèå. ïðè êàæäîì âûáðàííîì ξi íåîáõîäèìî ðåøàòü çàäà÷ó Êîøè äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ(10) ñ íà÷àëüíûìè äàííûìèu(a) = ξi , v(a) = η(ξi ) .3.3.2 Ìåòîä ñåòîê (ðàçíîñòíûé ìåòîä)Ðàññìîòðèì ðàçíîñòíûé ìåòîä íà ïðèìåðå ñëåäóþùåãî äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ âòîðîãî ïîðÿäêà:(−u00 + q(x)u = f (x) [a, b],(11)u(a) = A , u(b) = B .Ðàçîáüåì ïðîìåæóòîê íà N ÷àñòåé: a = x0 < x1 < .
. . < xN = b . Ïóñòü øàã ñåòêè ïîñòîÿííûé: xi −xi−1 = h .Àïïðîêñèìèðóåì âòîðóþ ïðîèçâîäíóþ u00 (xi ) ðàçíîñòíîé:u00 (xi ) =u(xi+1 ) − 2u(xi ) + u(xi−1 ) u(4) (xi )h2+ O(h4 ) ,−h212âûðàæåíèå äëÿ êîòîðîé ëåãêî ïîëó÷èòü èç ðÿäà Òåéëîðàu(xi ± h) = u(xi ) ± u0 (xi )h +u000 (xi )h3u(4) (xi )h4u00 (xi )h2±++ ... ,2624Ââåäåì îáîçíà÷åíèÿ: u(xi ) = ui , qi = q(xi ), fi = f (xi ). Çàìåíèì â (11) âòîðóþ ïðîèçâîäíóþ ðàçíîñòíîé,òîãäà äëÿ ïðèáëèæåííîãî ðåøåíèÿ yi â òî÷êàõ xi ïîëó÷àåì òðåõäèàãîíàëüíóþ ñèñòåìó−yi−1 + (2 + h2 qi )yi − yi+1 = fi h2 , i = 1, 2, .
. . , N − 1 .(12)Äëÿ åå ðàçðåøèìîñòè äîñòàòî÷íûì óñëîâèåì (íî âîâñå íå íåîáõîäèìûì) ÿâëÿåòñÿ äèàãîíàëüíîå ïðåîáëàäàíèå.  íàøåì ñëó÷àå ýòî ñâîäèòñÿ ê òðåáîâàíèþ |2 + h2 qi | > 2 , êîòîðîå âûïîëíÿåòñÿ åñëè q(x) > 0 .3.3.3 Ñõîäèìîñòü ñåòî÷íûõ ìåòîäîâÏóñòü u(x) òî÷íîå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (11), à yi ÷èñëåííîå ðåøåíèå çàäà÷è (12). Ñïðàâåäëèâà2Òåîðåìà. Ïóñòü q(x), f (x) ∈ C[a,b]è q(x) > 0 , ∀ x ∈ [a, b], òîãäà|u(xi ) − yi | = O(h2 ) .2Äîêàçàòåëüñòâî.
Ïîñêîëüêó q(x), f (x) ∈ C[a,b]òî èç óðàâíåíèÿ (11) ñëåäóåò, ÷òî u(x) ∈ C 4 [a, b], è òîãäàèñïîëüçóÿ ðÿä Òåéëîðà ìîæíî çàïèñàòüu00 (xi ) =1ui−1 − 2ui + ui+1− h2 u(4) (ξi ) , ξi ∈ (xi−1 , xi ) .h212Çíà÷åíèÿ ui òî÷íîãî ðåøåíèÿ óäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèÿì−ui−1 − 2ui + ui+11+ qui = fi − h2 u(4) (ξi ) ,2h12ãäå ξi íåêîòîðûå òî÷êè íà [a, b].
Äëÿ ïîãðåøíîñòèvi = yi − uiâîçíèêàåò ñèñòåìà óðàâíåíèé−vi−1 − 2vi + vi+11 2 (4)+ q i vi =h u (ξi ) , v0 = 0 , vN = 0 .2h1233(13)Ïóñòü xk òî÷êà, ãäå ìîäóëü ïîãðåøíîñòè ìàêñèìàëåí, òî åñòü|vk | ≥ |vi | , i = 1, 2, . . . , N − 1 .Ýòîé òî÷êîé íå ìîæåò ÿâëÿòüñÿ x0 è xN , ïîñêîëüêó v0 = vN = 0 . Ñðàâíèì ìîäóëè ëåâîé è ïðàâîé ÷àñòèñèñòåìû (13) ïðè èíäåêñå ðàâíîì k|vk (2 + qk h2 )| ≤ |vk−1 | + |vk+1 | +èëè|vk |(2 + qk h2 ) ≤ 2|vk | +îòêóäà|vk | ≤1 4 (4)h |u (ξk )| ,121 2 |u(4) (ξk )|h,12|qk |òî åñòümax |vi | ≤i1 4 (4)h |u (ξk )| ,12h2|u(4) (ξi )|max,12 i|qi |÷òî è òðåáîâàëîñü äîêàçàòü.3.3.4 Ìåòîä ÍóìåpîâàÒî÷íîñòü ñåòî÷íîãî ìåòîäà (12) ìîæíî ïîâûñèòü äî ÷åòâåðòîãî ïîðÿäêà íåñêîëüêî ìîäèôèöèðîâàâ åãîìåòîäîì Íóìåðîâà, ñïðàâåäëèâûì äëÿ áîëåå øèðîêîãî êëàññà óðàâíåíèé.
Èìåííî, äëÿ óðàâíåíèé âèäàu00 = f (x, u) .(14)Ïîäñòàâèì â (14) âìåñòî âòîðîé ïðîèçâîäíîé ðàçíîñòíóþ:0 = u00 (x) − f (x, u) =u(x + h) − 2u(x) + u(x − h)h2 u(4) (x)−f(x)−+ O(h4 ) .h212(15)Íåïîñðåäñòâåííî èç óðàâíåíèÿ (14) ñëåäóåò, ÷òî u(4) = f 00 (x, u). Çàìåíèì â (15) ÷åòâåðòóþ ïðîèçâîäíóþ îòíåèçâåñòíîé ôóíêöèè â òî÷êå xi íà âòîðóþ îò f (x, u), êîòîðóþ â ñâîþ î÷åðåäü çàìåíèì ðàçíîñòíîéf (x, u)00i =f (xi+1 , ui+1 ) + f (xi−1 , ui−1 ) − 2f (xi , ui )+ O(h2 ) .h2Òîò ôàêò, ÷òî òî÷íîñòü òàêîé ôîðìóëû äåéñòâèòåëüíî èìååò âòîðîé ïîðÿäîê, íåîáõîäèìî åùå ïðîâåðÿòü.Çäåñü ìû íå áóäåì îñòàíàâëèâàòüñÿ íà ýòîì (ïîäðîáíåå ñì. [2]).
Èìååìu00i − f (xi , ui ) ==·¸ui+i + ui−1 − 2uih2 f (xi+1 , ui+1 ) + f (xi−1 , ui−1 ) − 2f (xi , ui )2−f(x,u)−+O(h),iih212h2òî åñòü ÷èñëåííàÿ ñõåìà ïðèîáðåòàåò âèäyi+i + yi−1 − 2yi1=[f (xi+1 , yi+1 ) + f (xi−1 , yi−1 ) + 10f (xi , yi )] .2h12 ÷àñòíîñòè, äëÿ óðàâíåíèÿ (11)ui+1 (1 −qi+1 h25qi−1 h2) − ui (2 + h2 qi ) + ui−1 (1 −)=12612h2(fi+1 + fi−1 + 10fi ) + O(h6 ) .12Îòáðàñûâàÿ îñòàòî÷íûé ÷ëåí è äîáàâëÿÿ ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ â òî÷êàõ x0 è xN , ïîëó÷àåì ñåòî÷íûé ìåòîä=−ñ ïîãðåøíîñòüþ 0(h4 ) (íàïîìíèì, ÷òî â îáû÷íîì ìåòîäå ñåòîê áûëî:ui+1 − ui (2 + h2 qi ) + ui−1 = −fi h2 + O(h4 ) .)343.4 Çàäà÷à Øòóðìà-ËèóâèëëÿÇàäà÷ó íà ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ ðàññìîòðèì íà ïðèìåðå ñëåäóþùåãî äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ 2-ãîïîðÿäêà:(−u00 + q(x)u = λu,u(a) = 0 , u(b) = 0.(16)Âîïðîñ.
Ïî÷åìó ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ îäíîðîäíûå (íóëåâûå)? çàäà÷å ïîÿâèëàñü íîâàÿ ñòåïåíü ñâîáîäû λ. Âàæíûå ñâîéñòâà çàäà÷è (16) òàêîâû, ÷òî ðåøåíèå äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ ñóùåñòâóåò è óäîâëåòâîðÿåò ãðàíè÷íûì óñëîâèÿì ëèøü ïpè íåêîòîðûõ çíà÷åíèÿõ λ , íàçûâàåìûõ ñîáñòâåííûìè çíà÷åíèÿìè. Ñîîòâåòñòâóþùèå ýòèì λ ðåøåíèÿ uλ (x) íàçûâàþòñÿ ñîáñòâåííûìè ôóíêöèÿìè. Ñïåêòð ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé ìîæåò áûòü äèñêðåòíûì (â ðàññìàòðèâàåìîì ñëó÷àåñïåêòð äèñêðåòåí, åñëè è a è b êîíå÷íû), íåïðåðûâíûì, òàêæå λ ìîæåò îäíîâðåìåííî ïðèíàäëåæàòü äèñêðåòíîìó è íåïðåðûâíîìó ñïåêòðó.
 çàäà÷å (16) òðåáóåòñÿ îïðåäåëèòü êàê âîçìîæíûå çíà÷åíèÿ λ, òàê èñîáñòâåííûå ôóíêöèè uλ (x).Ñóùåñòâóåò 2 îñíîâíûõ ìåòîäà ðåøåíèÿ çàäà÷è (16).3.4.1 Ìåòîä ñòðåëüáû ñèëó îäíîðîäíîñòè çàäà÷è (16), åñëè u(x) ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì, òî u1 (x) = const u(x) òîæå ðåøåíèå,ïîýòîìó ìîæíî çàäàòü ïðîèçâîëüíî çíà÷åíèå u0 (x) â òî÷êå a (îáû÷íî âûáèðàþò u0 (a) = 1), à çàòåì ïåpåéòèê ñòðåëüáå, òî åñòü ðàññìîòðåòü çàäà÷ó Êîøè:−u00 + q(x)u = λuu(a) = 0 u0 (a) = 1è íàõîäèòü åå ðåøåíèå u(x, λ) è ïîäîáðàòü λ òàê, ÷òîáûu(b, λ) = 0 .(17)Ïðè ýòîì ìû îäíîâðåìåííî íàõîäèì è ñîáñòâåííîå çíà÷åíèå λ è ñîîòâåòñòâóþùóþ ñîáñòâåííóþ ôóíêöèþu(x, λ). Ðåøàåòñÿ óðàâíåíèå (17) ëþáûì èç ìåòîäîâ íàõîæäåíèÿ êîðíÿ àëãåáðàè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ. Íàïðèìåð, âàðüèðóÿ ïðèñòðåëî÷íûé ïàðàìåòð, ìîæíî äîáèòüñÿ âèëêè u(b, λi )u(b, λi+1 ) < 0 è çàòåì èñïîëüçîâàòüìåòîä äåëåíèÿ ïîïîëàì.Ìåòîä ñòðåëüáû óäîáíî ïðèìåíÿòü â ñèòóàöèè, êîãäà àïðèîðè èç ôèçè÷åñêîé ïîñòàíîâêè çàäà÷è èçâåñòíû åñòåñòâåííûå ïðèñòðåëî÷íûå ïàðàìåòðû.3.4.2 Ìåòîä ñåòîêÐàçîáüåì ïðîìåæóòîê íà N ÷àñòåé ââåäÿ ñåòêó a = x0 < x1 < .
. . < xN = b , è òàêæå, êàê â ñëó÷àå êðàåâûõçàäà÷, çàìåíèì â (16) ïðîèçâîäíûå ðàçíîñòíûìè. Ïðè ýòîì çàäà÷à ïðèíèìàåò âèäy− (2 + h2 qi )yi + yi+1 = λh2 yi , i−1y0 = 0 , y =0.N35Òàêèì îáðàçîì, èñõîäíàÿ çàäà÷à ñâåëàñü ê çàäà÷å íà ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ äëÿ òðåõäèàãîíàëüíîé ìàòðèöûA ðàçìåðà (N − 1) × (N − 1) :Ay = λy ,A :aii = 2 + h2 qiai−1 i = ai i+1 = −1i = 1, 2, . . . , N − 1 .Ñîáñòâåííûå ÷èñëà ìàòðèöû A ÿâëÿþòñÿ ïðèáëèæåíèÿìè ê ïåðâûì ñîáñòâåííûì çíà÷åíèÿì èñõîäíîéçàäà÷è.3.5 Ðàçíîñòíûé îïåðàòîð âòîðîé ïðîèçâîäíîé3.5.1 Îïåðàòîð âòîðîé ïðîèçâîäíîéÏðîèçâåäåì ñíà÷àëà ñïåêòðàëüíûé àíàëèç ñîáñòâåííî îïåðàòîðà âòîðîé ïðîèçâîäíîé íà îòðåçêå [a, b] ñíóëåâûìè ãðàíè÷íûìè óñëîâèÿìè, ò.å.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
