Буслов, Яковлев - Численные методы. 2. Решение уравнений (947496), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Òàêàÿ çàäà÷à èìååò âèä: 00u = f (x, u, u0 ), x ∈ [a, b],α1 u(a) + β1 u0 (a) = γ1 ,α2 u(b) + β2 u0 (b) = γ2 ,ãäå â êðàåâûõ óñëîâèÿõ ñ÷èòàåòñÿ, ÷òî |αi | + |βi | 6= 0, i = 1, 2.  îòëè÷èå îò çàäà÷è Êîøè çäåñü çíà÷èòåëüíîñëîæíåå èññëåäóåòñÿ âîïðîñ î ñóùåñòâîâàíèè ðåøåíèÿ. Î÷åíü âàæíûé è íàèáîëåå ÷àñòî âñòðå÷àþùèéñÿñëó÷àé ëèíåéíîå äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå âòîðîãî ïîðÿäêàu00 + p(x)u0 + q(x)u = f (x) ,êðàåâóþ çàäà÷ó äëÿ êîòîðîãî ìû è áóäåì ðàññìàòðèâàòü â äàëüíåéøåì.3.1.3 Çàäà÷à Øòóðìà-ËèóâèëëÿÇàäà÷à Øòóðìà-Ëèóâèëëÿ èëè çàäà÷à íà ñîáñòâåííûå ôóíêöèè è ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ ÿâëÿåòñÿ îäíîâðåìåííî è êðàåâîé çàäà÷åé (ñ îäíîðîäíûìè êðàåâûìè óñëîâèÿìè) è îáû÷íî çàïèñûâàåòñÿ â, òàê íàçûâàåìîì,ñàìîñîïðÿæåííîì âèäå:−·¸dduk(x)+ [q(x) − λr(x)] u(x) = 0 ,dxdxα1 u(a) + β1 u0 (a) = 0 , α2 u(b) + β2 u0 (b) = 0 .Çäåñü òðåáóåòñÿ íàéòè òå λ, ïðè êîòîðûõ çàäà÷à ðàçðåøèìà (ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ), è ñîîòâåòñòâóþùèå èìðåøåíèÿ uλ (x) ñîáñòâåííûå ôóíêöèè, îïðåäåëÿåìûå ñ òî÷íîñòüþ äî ïîñòîÿííîãî ìíîæèòåëÿ.3.1.4 ×òî ïîíèìàåòñÿ ïîä ÷èñëåííûì ðåøåíèåìÒî÷íûå (àíàëèòè÷åñêèå) ìåòîäû ðåøåíèÿ òàêèå ìåòîäû, êîãäà ðåøåíèå äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿìîæíî ïîëó÷èòü â âèäå ýëåìåíòàðíûõ ôóíêöèé èëè êâàäðàòóð îò íèõ, ÷òî, åñòåñòâåííî, âîçìîæíî íå âñåãäà.
×èñëåííûå ìåòîäû ìåòîäû íàõîæäåíèÿ ðåøåíèé íå íà âñåì ïðîìåæóòêå èçìåíåíèÿ íåçàâèñèìîéïåðåìåííîé, à ëèøü â äèñêðåòíîì íàáîðå òî÷åê x0 , x1 , . . . , xN ∈ [a, b]. Çäåñü, ïðàâäà, ñëåäóåò îòìåòèòü, ÷òîìîæíî èñêàòü ðåøåíèå â âèäå ðàçëîæåíèÿ â ðÿä ïî íåêîòîðîé ïîëíîé ñèñòåìå ôóíêöèé (ñêàæåì, â ðÿäÔóðüå) è îáðåçàòü åãî íà íåêîòîðîì ÷ëåíå.
Îäíàêî, âîïðîñ î òîì, êàêóþ ñèñòåìó ôóíêöèé èñïîëüçîâàòü èêàêîå êîëè÷åñòâî ÷ëåíîâ ðàçëîæåíèÿ èñïîëüçîâàòü, ÿâëÿåòñÿ îäíîâðåìåííî è ÷èñëåííûì è àíàëèòè÷åñêèì.×èñëåííûå ìåòîäû ïðèìåíèìû ê î÷åíü øèðîêîìó êëàññó äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé.  ñîîòâåòñòâèèñ äâóìÿ òèïàìè çàäà÷ äëÿ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé, ÷èñëåííûå ìåòîäû òîæå äåëÿòñÿ íà äâà êëàññà:×èñëåííûå ìåòîäû ðåøåíèÿ çàäà÷è Êîøè è ÷èñëåííûå ìåòîäû ðåøåíèÿ êðàåâîé çàäà÷è è çàäà÷è ØòóðìàËèóâèëëÿ.3.2 Çàäà÷à ÊîøèÐàññìîòðèì çàäà÷ó Êîøè äëÿ óðàâíåíèÿ ïåðâîãî ïîðÿäêà íà îòðåçêå [a, b] :u0 = f (x, u) , u(a) = u0 ,27(2)Ðàçîáü¼ì ïðîìåæóòîê [a, b] íà N ÷àñòåé a = x0 < x1 , < . . .
, < xN . Îáîçíà÷èì u(xi ) = ui , ãäå u(x) òî÷íîå ðåøåíèå çàäà÷è Êîøè, è ÷åðåç yi çíà÷åíèÿ ïðèáëèæåííîãî ðåøåíèÿ â òî÷êàõ xi . Ñóùåñòâóåò äâàòèïà ÷èñëåííûõ ñõåì :1. ÿâíûå : yi = F (yi−k , yi−k+1 , . . . , yi−1 ) (à);2. íåÿâíûå : yi = F (yi−k , yi−k+1 , . . . , yi ) (á).Çäåñü F íåêîòîðàÿ ôóíêöèÿ, ñâÿçûâàþùàÿ ïðèáëèæåíèÿ.  ÿâíûõ ñõåìàõ ïðèáëèæåííîå çíà÷åíèå yi âòî÷êå xi îïðåäåëÿåòñÿ ÷åðåç íåêîòîðîå ÷èñëî k óæå îïðåäåëåííûõ ïðèáëèæåííûõ çíà÷åíèé.  íåÿâíûõñõåìàõ yi îïðåäåëÿåòñÿ íå ðåêóððåíòíûì îáðàçîì êàê â ÿâíûõ ñõåìàõ, à äëÿ åãî îïðåäåëåíèÿ âîçíèêàåòóðàâíåíèå, ïîñêîëüêó ðàâåíñòâî (á) ïðåäñòàâëÿåò èç ñåáÿ èìåííî óðàâíåíèå íà yi .
ßâíûå ñõåìû ïðîùå,îäíàêî çà÷àñòóþ íåÿâíûå ñõåìû ïðåäïî÷òèòåëüíåå.3.2.1 Ïîëó÷åíèå ÿâíûõ ñõåìÎáøèðíûé êëàññ ÿâíûõ ñõåì äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷è Êîøè ïîëó÷àåòñÿ ñ ïîìîùüþ ðàçëîæåíèÿ â ðÿä Òåéëîðà.Âûïèøåì åãî äëÿ ôóíêöèè u(x) :u(x + h) = u(x) + hu0 (x) +h2 00hn (n)u (x) + . . . +u (x) + . . . .2n!Åñëè u(x) ðåøåíèå çàäà÷è (2), òî u0 (xi ) = f (xi , ui ) è, ñëåäîâàòåëüíî u00 (xi ) =ddx f (x, u)|xi= fx0 (xi , ui ) +f (xi , ui )fu0 (xi , ui ) . Ïîñòóïàÿ äàëåå òàêèì æå îáðàçîì, ìîæíî âûðàçèòü âñå ïðîèçâîäíûå u(k) ÷åðåç ïðîèçâîäíûå èçâåñòíîé ôóíêöèè f (x, u) :ui+1 = ui + hf (xi , ui ) +h2 0[f (xi , ui ) + f (xi , ui )fu0 (xi , ui )] + .
. . .2 x(3)Îáðûâàÿ (3) íà òîì èëè èíîì ÷ëåíå, ïîëó÷àåì ðàçëè÷íûå ÿâíûå ñõåìû äëÿ âû÷èñëåíèÿ ïðèáëèæåííîãîðåøåíèÿ ñ îïðåäåëåííîé ñòåïåíüþ òî÷íîñòè ïî h.3.2.2 Ñõåìà Ýéëåðà (ìåòîä ëîìàíûõ)Îñòàâëÿÿ â (3) òîëüêî ÷ëåíû ïåðâîãî ïîðÿäêà ïî h, ïîëó÷àåì ïðèáëèæåííîå ðàâåíñòâî: ui+1 ≈ ui +hf (xi , ui ) .Çàìåíÿÿ â íåì òî÷íûå çíà÷åíèÿ ui = u(xi ) íà ïðèáëèæåíèÿ yi , ïîëó÷àåì ïðèáëèæåííóþ ñõåìó: y =u00, i = 0, 1, .
. . , N . yi+1 = yi + hf (xi , yi )Óêàçàííàÿ ïðîöåäóðà ÿâëÿåòñÿ ìåòîäîì Ýéëåðà è èìååò ïåpâûé ïîðÿäîê ñõîäèìîñòè ïî h , åñëè f (x, u)îãðàíè÷åíà è îãðàíè÷åíû åå ïåðâûå ïðîèçâîäíûå ïî îáîèì àðãóìåíòàì. Óáåäèìñÿ â ýòîì. Äåéñòâèòåëüíî,ïóñòü c = max{|f |, |fx0 |, |fu0 |} . Îáîçíà÷èì ðàçíîñòü ìåæäó èñòèííûì ðåøåíèåì uj â òî÷êå xj è íàéäåííûìx,uïî ìåòîäó Ýéëåðà ïðèáëèæåíèåì yj ÷åðåç vj , òîãäàh2vj+1 = vj + h [f (xj , uj ) − f (xj , yj )] + u00 (xj ) + O(h3 ) ,|{z} 2fy0 (xj ,ỹj )vjãäå ỹj0 íåêîòîðàÿ òî÷êà ìåæäó ujv1 = 12 h2 u000 + O(h3 ) , è äàëååè yj . Çàìåòèì, ÷òî ïîñêîëüêó y0 = u0 , òî v0 = 0 . Òîãäà1v2 = v1 (1 + hfu0 (x1 , ỹ10 )) + h2 u001 + (h3 ) =228=1 2 00h (u1 + u000 [1 + hfu0 (x1 , ỹ1 )]) + O(h3 ) ,2...vj+1 =jj1 2 X 00 Y[1 + hfu0 (xi , ỹi )] + O(h3 ) =huk2k=0=i=k+1·¸jjX1 2 X 00huk 1 +hfu0 (xi , ỹi ) +O(h3 ) .2k=0i=k+1|{z}≤c(xj −xk+1 )|{z}≤exp{c(xj −xk+1 )}Ïîñêîëüêó u00 = fx0 + f fu0 , òî |u00 | ≤ c + cc ≡ c1 , èjX11hec(xj −xk ) = hc1|vj+1 | ≤ hc122k=0=hZxjec(xj −t) dt + o(h) =x0c1 c(xj −x0 )[e− 1] + o(h) = O(h) .2cÒàêèì îáðàçîì, ìåòîä Ýéëåðà èìååò ïåðâûé ïîðÿäîê òî÷íîñòè ïî h è ïðè äîñòàòî÷íî ìàëîì øàãå ïðèáëèæåííîå ðåøåíèå áëèçêî ê òî÷íîìó.3.2.3 Ìåòîäû Ðóíãå-ÊóòòàÌåòîä Ðóíãå-Êóòòà 2-ãî ïîðÿäêàÂûïèøåì ðÿä Òåéëîðà äëÿ ðåøåíèÿ äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ u(x) ñ òî÷íîñòüþ äî êâàäðàòè÷íûõ÷ëåíîâuj+1 = uj + hf (xj , uj ) +h2 0[f (xj , uj ) + f (xj , uj )fu0 (xj , uj )] + .
. . .2 |x{z}(4)u00 (xj )Ñàìà ïî ñåáå òàêàÿ ñõåìà óæå ãîäèòñÿ äëÿ ïðèáëèæåííîãî ðåøåíèÿ äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ, îäíàêîåå íåóäîáñòâî ñîñòîèò â òîì, ÷òî ïðèõîäèòñÿ äèôôåðåíöèðîâàòü ôóíêöèþ f (x, u) ïî îáîèì àðãóìåíòàì.Åñëè çàìåíèòü ýòè ïðîèçâîäíûå ðàçíîñòíûìè, òî ôîðìàëüíî ìîæíî çàïèñàòüuj+1 = uj + h[αf (xj , uj ) + βf (xj + γh, uj + δh)] + . . . ,(5)ãäå êîíñòàíòû α, β, γ, δ íåîáõîäèìî îïðåäåëèòü èñõîäÿ èç òîãî, ÷òî ýòè äâà ïðåäñòàâëåíèÿ äîëæíû ñîâïàäàòü ñ òî÷íîñòüþ äî O(h3 ) . Äëÿ ýòîãî ðàçëîæèì â (5) f (xj + γh, uj + δh) â ðÿä Òåéëîðà:uj+1 = uj + h(α + β)f (xj , uj ) + βh2 [γfx0 (xj , uj ) + δfu0 (xj , uj )] + O(h3 ) .Ñðàâíèâàÿ ñ (4), ïîëó÷àåì 3 óðàâíåíèÿ íà 4 íåèçâåñòíûõ êîýôôèöèåíòà: α + β = 1 , βγ =12 f (xj , uj )12, βδ =.
Âûðàçèâ èõ ÷åðåç β è çàìåíèâ èñòèííûå çíà÷åíèÿ uj = u(xj ) íà ïðèáëèæåííûå yj è îòáðîñèâêóáè÷åñêèå ÷ëåíû, ïîëó÷àåì íàáîð ðàçíîñòíûõ ñõåì Ðóíãå-Êóòòà 2-ãî ïîðÿäêàyj+1 = yj + h[(1 − β)f (xj , yj ) + βf (xj +Îáû÷íî ïîëàãàþò β ðàâíûì 1/2 èëè 1.29hh, yj +f (xj , yj ))] , 0 < β ≤ 1 .2β2βÌåòîä Ðóíãå-Êóòòà 4-ãî ïîðÿäêàÈçëîæåííûì âûøå ñïîñîáîì ìîæíî ñòðîèòü ñõåìû òèïà Ðóíãå-Êóòòà ðàçëè÷íîãî ïîðÿäêà òî÷íîñòè ïî h .
Â÷àñòíîñòè, ìåòîä Ýéëåðà ÿâëÿåòñÿ ñõåìîé Ðóíãå-Êóòòà 1-ãî ïîðÿäêà. Íàèáîëåå óäîáíîé è óïîòðåáèòåëüíîéÿâëÿåòñÿ ñõåìà 4-ãî ïîðÿäêà. Îíà èìååò ñëåäóþùèé âèäyj+1 = yj +h(k1 + 2k2 + 2k3 + k4 ) ,6k1 = f (xj , yj ) , k2 = f (xj + h/2, yj + hk1 /2) ,k3 = f (xj + h/2, yj + hk2 /2) , k4 = f (xj + h, yj + hk3 ) .Íà êàæäîì øàãå âåëè÷èíû km ðàññ÷èòûâàþòñÿ çàíîâî.Èíòåðåñíî îòìåòèòü, ÷òî åñëè f åñòü ôóíêöèÿ òîëüêî îò x , òî ðåøåíèå óðàâíåíèÿ åñòü u(x) =Rxu0 + f (t)dt , è ôîðìóëû Ðóíãå-Êóòòà ïðåâðàùàþòñÿ â ôîðìóëû ïðèáëèæåííîãî èíòåãðèðîâàíèÿ.
Ìåòîäóx0Ýéëåðà ñîîòâåòñòâóåò ôîðìóëà ëåâûõ ïðÿìîóãîëüíèêîâ, ìåòîäó Ðóíãå-Êóòòà 2-ãî ïîðÿäêà ñ β = 1 ñîîòâåòñòâóåò ôîðìóëà ñðåäíèõ, à ñ β = 1/2 ôîðìóëà òðàïåöèé. Íàêîíåö, ìåòîäó Ðóíãå-Êóòòà 4-ãî ïîðÿäêàñîîòâåòñòâóåò ôîðìóëà Ñèìïñîíà ñ øàãîì h/2 . Ýòî êîñâåííî ñâèäåòåëüñòâóåò î ïîðÿäêå òî÷íîñòè òîé èëèèíîé ñõåìû.Åñòåñòâåííûì îáðàçîì ñõåìû Ðóíãå-Êóòòà îáîáùàþòñÿ íà ñëó÷àé ñèñòåì óðàâíåíèé 1-ãî ïîðÿäêà ïðèïîìîùè ôîðìàëüíîé çàìåíû ôóíêöèé y(x) è f (x, y) íà âåêòîð-ôóíêöèè y(x) è f (x, y) .
Ïðè ýòîì,ïîñêîëüêó óðàâíåíèå n-ãî ïîðÿäêà ýêâèâàëåíòíî ñèñòåìå èç n óðàâíåíèé 1-ãî ïîðÿäêà, òî ìåòîäû ÐóíãåÊóòòà ìîæíî ïðèìåíÿòü ê çàäà÷å Êîøè äëÿ óðàâíåíèé ïîðÿäêà âûøå 1-ãî.  ÷àñòíîñòè, ðàññìîòðèì çàäà÷óÊîøè äëÿ óðàâíåíèÿ 2-ãî ïîðÿäêà 00u = f (x, u, u0 ).u(x0 ) = u0 00u (x0 ) = u0à !u, òîãäà ñèñòåìà ïðèíèìàåò âèäÎáîçíà÷èì u0 = v è ââåäåì âåêòîð u =v! à ! Ãuvd( dx v = f (x, u, v)u = f (x, u)Ã! à !.u(x0 )u0u(x0 ) = u0=v(x0 )u00à !Ã!yjkmÅñëè ââåñòè âåêòîð yj =ïðèáëèæåíèé ê èñòèííîìó ðåøåíèþ uj â òî÷êå xj è âåêòîðà km =zjqmðàñ÷åòíûõ êîýôôèöèåíòîâ, òî ìåòîä Ðóíãå-Êóòòà 4-ãî ïîðÿäêà ïðèíèìàåò âèäÃ! Ã!yy+h(k+2k+2k+k)/6j+1j1234y(j+1) ==zj+1zj + h(q1 + 2q2 + 2q3 + q4 )/6hhq1 , k3 = zj + q2 , k4 = zj + hq3 ,22hhhq1 = f (xj , yj , zj ) , q2 = f (xj + , yj + k1 , zj + q1 ) ,222hhhq3 = f (xj + , yj + k2 , zj + q2 ), q4 = f (xj + h, yj + hk3 , zj + hq3 ) .222k1 = zj , k2 = zj +303.2.4Ìåòîäû Àäàìñàßâíàÿ ñõåìà ÀäàìñàÐàññìîòðåííûå âûøå ñõåìû ÿâëÿþòñÿ ÿâíûìè îäíîøàãîâûìè (äëÿ íàõîæäåíèÿ ïîñëåäóþùåãî ïðèáëèæåíèÿèñïîëüçóåòñÿ ëèøü îäíî ïðåäûäóùåå).
Ïðèâîäèìûå íèæå ìåòîäû ÿâëÿþòñÿ ìíîãîøàãîâûìè. Îíè ìîãóòáûòü êàê ÿâíûìè, òàê è íåÿâíûìè.Ïóñòü çàäàíà çàäà÷à Êîøè(u0 = f (x, u),u(a) = u0 .Äëÿ òî÷íîãî ðåøåíèÿ u(x) (êîòîðîå íàì íåèçâåñòíî) âûïîëíåíîxZn+1f (x, u(x))dx .u(xn+1 ) = u(xn ) +(6)xnÏðåäïîëîæèì, íàì èçâåñòíû ïðèáëèæåííûå çíà÷åíèÿ yi ôóíêöèè u(x) â k òî÷êàõ xn−k+1 , xn−k+2 , . . . , xn(ñòàðòîâûå k òî÷åê, â ÷àñòíîñòè, ìîæíî íàéòè ìåòîäîì Ýéëåðà èëè ìåòîäàìè Ðóíãå-Êóòòà òîãî èëè èíîãîïîðÿäêà), òîãäà ôóíêöèþ f (x, u(x)) â (6) äëÿ ïðèáëèæåííîãî âû÷èñëåíèÿ èíòåãðàëà ìîæíî çàìåíèòü íàèíòåðïîëÿöèîííûé ïîëèíîì Pn,k (x) ïîðÿäêà k − 1, ïîñòðîåííûé ïî k òî÷êàì {xi , f (xi , yi )}nn−k+1 , èíòåãðàëîò êîòîðîãî ñ÷èòàåòñÿ ÿâíî è ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ëèíåéíóþ êîìáèíàöèþ çíà÷åíèé fi = f (xi , yi ) ñ íåêîòîðûìè ìíîæèòåëÿìè λi .
Òàêèì îáðàçîì, ìû ïîëó÷àåì ñëåäóþùóþ ðåêóððåíòíóþ ïðîöåäóðó âû÷èñëåíèÿïðèáëèæåííûõ çíà÷åíèé yi ôóíêöèè u(x) (ÿâëÿþùåéñÿ òî÷íûì ðåøåíèåì çàäà÷è Êîøè) â òî÷êàõ xixZn+1yn+1 = yn +Pn,k (x)dx = yn +kXλi f (xn+1−i , yn+1−i ) .(7)i=1xnÎïèñàííàÿ ñõåìà íàçûâàåòñÿ k -øàãîâîé ÿâíîé ôîðìóëîé Àäàìñà.Íåÿâíàÿ ñõåìà Àäàìñà.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
