Буслов, Яковлев - Численные методы. 2. Решение уравнений (947496), страница 5

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 5)

Òàêèì îáðàçîì, λmax ìîæíî èñêàòüêàê ñëåäóþùèé ïðåäåë|λmax | = lim√mm→∞èëè, íàïðèìåð, â âèäåT rAm ,T rAm+1.m→∞ T rAmλmax = limÏðîöåäóðó âîçâåäåíèÿ ìàòðèöû â ñòåïåíü ìîæíî îïòèìèçèðîâàòü:A × A×A × A ,| {z } | {z }|A2{zA4è òàê äàëåå, â ÷àñòíîñòè: A16 = (A8 )2 = A2222.20A2}â) Ìåòîä ñêàëÿðíûõ ïðîèçâåäåíèéÝòîò ìåòîä ÿâëÿåòñÿ îáîáùåíèåì ìåòîäà èòåðàöèé.

Ïóñòü x è y ïðîèçâîëüíûå íà÷àëüíûå âåêòîðû.Îïðåäåëèì èòåðàöèèym = Aym−1 = Am y =mxm−1= Ax=XXλm P s y ,smλ Ps x .sÀíàëîãè÷íî ìåòîäó èòåðàöèé óáåæäàåìñÿ, ÷òîhym , xm i→ λmax .hym , xm−1 i2.2.3 Îáðàòíûå èòåðàöèèÏîèñê ìèíèìàëüíîãî ïî ìîäóëþ ñîáñòâåííîãî çíà÷åíèÿÏóñòü y íåêîòîðûé ñòàðòîâûé âåêòîð. Îïðåäåëèì îáðàòíûå èòåðàöèè êàê y(n) = Ay(n+1) (èëè y(n+1) =A−1 y(n) ) , òî åñòü ýòî ïðÿìàÿ çàäà÷à äëÿ íàõîæäåíèÿ ìàêñèìàëüíîãî ñîáñòâåííîãî çíà÷åíèÿ µmax ìàòðèöûB = A−1 , îáðàòíîé ê èñõîäíîé ìàòðèöå.

Î÷åâèäíî, ÷òî ìèíèìàëüíîå ïî ìîäóëþ ñîáñòâåííîå çíà÷åíèåìàòðèöû A ðàâíî ìàêñèìàëüíîìó ïî ìîäóëþ ñîáñòâåííîìó ÷èñëó îáðàòíîé ìàòðèöû.B=µiA−1, (µi =λi1).λiÌåòîä îáðàòíûõ èòåðàöèé ñî ñäâèãîìÏóñòü A íåâûðîæäåííàÿ ýðìèòîâà ìàòðèöà è λ∗ íåêîòîðîå ïðîáíîå ÷èñëî. Ðàññìîòðèì ìàòðèöó(A−λ∗ I) , åå ñîáñòâåííûìè çíà÷åíèÿìè ÿâëÿþòñÿ ÷èñëà (λi −λ∗ ) , ãäå λi ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ èñõîäíîéìàòðèöû A . Ó îáðàòíîé ìàòðèöû (A − λ∗ I)−1 ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ ýòî âåëè÷èíû1λi −λ∗ .Ïðîöåäóðàìåòîäà îáðàòíûõ èòåðàöèé cî ñäâèãîìy(n) = (A − λ∗ I)y(n+1) ,1ïðèâîäèò ê íàõîæäåíèþ max | λi −λ| .

Èíûìè ñëîâàìè, ìû íàõîäèì òî ñîáñòâåííîå çíà÷åíèå λj , êîòîðîå∗iÿâëÿåòñÿ áëèæàéøèì ê ïðîáíîìó ÷èñëó λ∗ . Âàðüèðóÿ ïðîáíîå λ∗ è âíîâü ïðèìåíÿÿ ìåòîä îáðàòíûõèòåðàöèé ñî ñäâèãîì ìîæíî, íàéòè âñå ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ ìàòðèöû A .2.3 Íåýðìèòîâû ìàòðèöû2.3.1 Äîïîëíèòåëüíûå ñâåäåíèÿ ñëó÷àå åñëè àëãåáðàè÷åñêàÿ è ãåîìåòðè÷åñêàÿ êðàòíîñòè ñîáñòâåííûõ ÷èñåë îïåðàòîðà A ñîâïàäàþò, òîóíèòàðíûì ïðåîáðàçîâàíèåì (òî åñòü ïðåîáðàçîâàíèåì, ñîõðàíÿþùèì ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå: hU x, U yi =hx, yi ) (â RN îðòîãîíàëüíûì ïðåîáðàçîâàíèåì) îïåðàòîð ïðèâîäèòñÿ ê äèàãîíàëüíîìó âèäó, è íàäèàãîíàëè ñòîÿò ñîáñòâåííûå ÷èñëà A ñ ó÷åòîì êðàòíîñòè.

Îäíàêî íåðåäêà ñèòóàöèÿ, êîãäà àëãåáðàè÷åñêàÿêðàòíîñòü ñîáñòâåííîãî çíà÷åíèÿ ïðåâûøàåò ãåîìåòðè÷åñêóþ (îáðàòíîå, êñòàòè, íåâîçìîæíî).21 CN ïðè îïðåäåëåííîì âûáîðå áàçèñà (íàçûâàåìûì æîðäàíîâûì èëè êàíîíè÷åñêèì áàçèñîì îïåðàòîðàA ) ìàòðèöà îïåðàòîðà ñòàíîâèòñÿ áëî÷íî-äèàãîíàëüíîé.  êàæäîì èç áëîêîâ (æîðäàíîâûõ êëåòîê) ìàòðèöàîïåðàòîðà ÿâëÿåòñÿ âåðõíåòðåóãîëüíîé è èìååò âèäλ 1 0 ...0 λ 1 ...0 0 λ .... . . .. . ....

. .0 0 0 ...0000λ00..  ..10λ00......0(1)Ðàçìåðû æîðäàíîâûõ êëåòîê, èõ êîëè÷åñòâî, òàêæå êàê è ÷èñëà λ (êîðíè õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ)ÿâëÿþòñÿ èíâàðèàíòàìè îïåðàòîðà A (òî åñòü íå çàâèñÿò îò âûáîðà æîðäàíîâà áàçèñà). RN æîðäàíîâ áàçèñ ïðèâîäèò ê êëåòêàì âèäà (1) åñëè λ âåùåñòâåííûé êîðåíü õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ ìàòðèöû îïåðàòîðà A â êàêîì ëèáî áàçèñå. Ïîñêîëüêó êîýôôèöèåíòû õàðàêòåðèñòè÷åñêîãîïîëèíîìà ìàòðèöû îïåðàòîðà â RN âåùåñòâåííû, òî âìåñòå ñ êàæäûì êîìïëåêñíûì êîðíåì λ = µ + iνîí îáëàäàåò è êîìïëåêñíî ñîïðÿæåííûì λ̄ = µ − iν .

Æîðäàíîâà êëåòêà â ýòîì ñëó÷àå èìååò âèäµ ν1 0 0 0 ... 0 0 −ν µ 0 1 0 0 . . . 0 0 1 0 ... 0 0  0 0 µ ν 0 0 −ν µ 0 1 . . . 0 0  0 0 0 0 µ ν ... 0 0  . 0 0 0 0 −ν µ . . . 0 0  ........... . .....  ......... . 0 0 0 0 0 0 ... 0 1  0 0 0 0 0 0 ... µ ν 000000. .

. −νµ2.3.2 Ìåòîä èòåðàöèé äëÿ ìàêñèìàëüíîãî ïî ìîäóëþ ñîáñòâåííîãî ÷èñëà êðàòíîñòè 2 â ñëó÷àå æîpäàíîâîé àíîìàëèèÎñòàíîâèìñÿ ïîäðîáíî íà ñëó÷àå, êîãäà ìàêñèìàëüíîìó ïî ìîäóëþ ñîáñòâåííîìó çíà÷åíèþ λ îïåðàòîðà Añîîòâåòñòâóåò æîðäàíîâà êëåòêà ðàçìåðà 2 × 2 .  êàíîíè÷åñêîì áàçèñå u1 , u2 , . . . , uN ìàòðèöà îïåðàòîðàA èìååò âèäλ10 λ− −0 0 . . . . . .|0...|0...−−−|B|00− .0 0 |Çäåñü B ìàòðèöà, îòâå÷àþùàÿ îñòàâøèìñÿ ñîáñòâåííûì çíà÷åíèÿì, êîíêðåòíûé âèä êîòîðîé íàñ íåèíòåðåñóåò. Îáîçíà÷èì äóàëüíûé áàçèñ ÷åðåç v1 , v2 , . . . , vN .

ÒîãäàAu1 = λu1A∗ v1 = λv1Au2 = λu2 + u1A∗ v2 = λv2 + v122.Âåêòîð u1 ÿâëÿåòñÿ ñîáñòâåííûì äëÿ îïåðàòîðà A , ñîîòâåòñòâóþùèì ñîáñòâåííîìó çíà÷åíèþ λ . Âåêòîðu2 íàçûâàåòñÿ ïðèñîåäèíåííûì. Äëÿ ñîïðÿæåííîãî îïåðàòîðà A∗ ñîáñòâåííûì è ïðèñîåäèíåííûì âåêòîðàìè, ñîîòâåòñòâóþùèìè ñîáñòâåííîìó çíà÷åíèþ λ̄ (â RN ïðîñòî λ ) ÿâëÿþòñÿ âåêòîðû äóàëüíîãîáàçèñà v1 è v2 , ñîîòâåòñòâåííî. Çàìåòèì, ÷òî u1 = v2 , è u2 = v1 , òî åñòü ñîáñòâåííûé âåêòîð äëÿîïåðàòîðà ÿâëÿåòñÿ ïðèñîåäèíåííûì äëÿ ñîïðÿæåííîãî è íàîáîðîò.Íåïðèãîäíîñòü îáû÷íîãî ìåòîäà èòåðàöèéÁóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ ïðîíóìåðîâàíû â ïîðÿäêå óáûâàíèÿ ìîäóëÿ è ÷òî λ1 = λ .

Ïóñòüx ïðîèçâîëüíûé âåêòîð. Ðàçëîæèì åãî ïî âåêòîðàì æîðäàíîâà áàçèñà è äóàëüíîãî ê íåìóNPx=hx, vi iui , x =i=1NPhui , xivi .i=1Ïîäåéñòâóåì íà x îïåðàòîðîì A è ñîïðÿæåííûì:Ax =NPNPhx, vi iAui , A∗ x =i=1hui , xiA∗ vi ,i=1èëèNXAx = (λ < x, v1 > + < x, v2 >)u1 + λ < x, v2 > u2 +< x, vi > Aui ,i=3A∗ x = (λ̄ < u1 , x > + < u2 , x >)v1 + λ̄ < u2 , x > v2 +NX< u i , x > A∗ v i .i=3Àíàëîãè÷íî, ïîñêîëüêóAnλnnλn−1|0...0λn|0...−−−−−0...0...|00|=Bn|00− ,òîAn x = (λn < x, v1 > +nλn−1 < x, v2 >)u1 + λn < x, v2 > u2 + .

. . .(2)Êâàäðàòè÷íàÿ ôîðìà n-îé ñòåïåíè îïåðàòîðà A ñ èñïîëüçîâàíèåì (2) ìîæåò áûòü çàïèñàíà êàêhAn x, xi = hAn x,NXhui , xivi i =1= λn112n³a+bn´λo+ O ([λ0 /λ]n ) ,2ãäå a =< x, v >< u , x > + < x, v >< u , x > (= 2 < x, v1 >< u1 , x > â Rn ), b =< x, v2 >< u1 , x > èλ0 ñëåäóþùåå ïî ìîäóëþ çà λ ñîáñòâåííîå çíà÷åíèå. íàøåé ñèòóàöèè λ âåùåñòâåííî. Ïî àíàëîãèè ñ ìåòîäîì ñêàëÿðíûõ ïðîèçâåäåíèé, ïðèìåíÿåìûì äëÿýðìèòîâûõ ìàòðèö, ðàññìîòðèì îòíîøåíèå ÐåëåÿhAn+1 x, A∗n xihA2n+1 x, xiρn ===λhAn x, A∗n xihA2n x, xi23(a+a(2n+1)bλ+ 2nbλ³+ O [λ0 /λ]2n´)=(bλ2nbλa+=λ 1+a+³2n0´+ O [λ /λ])½µ ¶¾1=λ 1+O.nÈòàê, ρn = λ{1 + O(1/n)} , òî åñòü ñõîäèìîñòü ïðè n → ∞ íàñòîëüêî íåóäîâëåòâîðèòåëüíàÿ, ÷òî òåðÿåòïðàêòè÷åñêèé ñìûñë.

Òàêèì îáðàçîì, îáû÷íûìè èòåðàöèîííûìè ìåòîäàìè ñîáñòâåííîå ÷èñëî â ñëó÷àåæîpäàíîâîé àíîìàëèè ñîñ÷èòàòü íå ïðåäñòàâëÿåòñÿ âîçìîæíûì. Íåîáõîäèì êàêîé-òî äðóãîé ïîäõîä.Ìîäèôèöèðîâàííûé ìåòîä èòåðàöèéÑîñòàâèì êâàäðàòíîå óðàâíåíèå, äëÿ êîòîðîãî λ ÿâëÿåòñÿ êîðíåì êðàòíîñòè 2(t − λ)2 = t2 + pt + q = 0p = −2λ , q = λ2 .Êîýôôèöèåíòû p è q çàðàíåå íåèçâåñòíû, ïîñêîëüêó íåèçâåñòíî ñàìî λ . Ïîïûòàåìñÿ èõ îïðåäåëèòü.Îáîçíà÷èì xn = An x è ðàññìîòðèì âûðàæåíèåxn+1 + pxn + qxn−1 =< x, v1 > {λn+1+ pλn1 + qλn−1} u1 +1| 1{z}=0+ < x, v2 > {(n + 1)λn1 + pnλn−1+ q(n − 1)λn−2}u1 + < x, v2 > {λn+1+ pλn1 + qλn−1} u2 + .

. . =111| 1{z}=02=< x, v > {nλn−2n2(λ + pλ + q) +λ − qλ{z}|n−211}u + . . . =< x, v > λn−2(λ2 − q) u1 + . . . ,| {z }=0ïîñêîëüêó (λ2 − q) =2p4=0− q = 0 . Òàêèì îáðàçîì, xn+1 + pxn + qxn−1 = o(xn+1 ) . Ïðè ýòîì, êîîðäèíàòûn-îé èòåðàöèè xk âåäóò ñåáÿ êàê ñîîòâåòñòâóþùàÿ ñòåïåíü λ : xni = (An x)i ∼ λn xi , ïîýòîìó åñòåñòâåííîââåñòè òðè âåêòîðà yn+1,n,n−1 =xn+1,n,n−1λn+1. Äëÿ êîîðäèíàò ýòèõ âåêòîðîâ, êàê ñëåäóåò èç ïðåäûäóùåãî,âûïîëíåíîykn+1 + pykn + qykn−1 = O([λ0 /λ]n+1 ) .Âûïèøåì ñîîòâåòñòâóþùèå ðàâåíñòâà äëÿ ïàðû êîîðäèíàò, ñêàæåì k è l.³´n+1yln ykn+1 + pykn + qykn−1 = O [λ0 /λ]∼ 0 yln−1³´.n+1ykn yln+1 + pyln + qyln−1 = O [λ0 /λ]∼ 0 ykn−1Äîìíîæàÿ ïåðâîå ðàâåíñòâî íà yln−1 , à âòîðîå íà ykn−1 è âû÷èòàÿ èç ïåðâîãî ðàâåíñòâà âòîðîå, ïîëó÷àåìp=−=−³´ykn+1 yln−1 − yln+1 ykn−1n+10+O[λ/λ]=ykn yln−1 − yln ykn−1³´xn+1xln−1 − xn+1xkn−1n+10kl+O[λ/λ].xnk xn−1xnl xn−1lkÀíàëîãè÷íî, äîìíîæàÿ ïåðâîå ðàâåíñòâî íà yln , à âòîðîå íà ykn è âû÷èòàÿ èõ ïåðâîãî ðàâåíñòâà âòîðîå,ïîëó÷àåìq=−³´xnkxn+1xnl − xn+1n+10lk+O[λ/λ].xkn−1 xnl − xn−1xnklÇàìåòèì, ÷òî íåîáõîäèìîå êîëè÷åñòâî èòåðàöèé â ïðåäëîæåííîì ìåòîäå, ìîæíî êîíòðîëèðîâàòü èñõîäÿ èçòîãî, ÷òî äîëæíî âûïîëíÿòüñÿ ðàâåíñòâî p2 /4 = q .24Ãëàâà 3Îáûêíîâåííûå äèôôåðåíöèàëüíûåóðàâíåíèÿ3.1 Îáùèå ñâåäåíèÿÓðàâíåíèåF (x, u, u0 , .

. . , u(n) ) = 0íàçûâàåòñÿ îáûêíîâåííûì äèôôåðåíöèàëüíûì óðàâíåíèåì n-ãî ïîðÿäêà, åñëè F îïðåäåëåíà è íåïðåðûâíàâ íåêîòîðîé îáëàñòè G ∈ Rn+2 (n ≥ 1) è, âî âñÿêîì ñëó÷àå, çàâèñèò îò u(n) . Åãî ðåøåíèåì ÿâëÿåòñÿëþáàÿ ôóíêöèÿ u(x), êîòîðàÿ ýòîìó óðàâíåíèþ óäîâëåòâîðÿåò ïðè âñåõ x â îïðåäåëåííîì êîíå÷íîì èëèáåñêîíå÷íîì èíòåðâàëå. Äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå, ðàçðåøåííîå îòíîñèòåëüíî ñòàðøåé ïðîèçâîäíîéèìååò âèäu(n) = f (x, u, . . .

, u(n−1) ) .(1)Ðåøåíèåì ýòîãî óðàâíåíèÿ íà èíòåðâàëå I = [a, b] íàçûâàåòñÿ ôóíêöèÿ u(x) , òàêàÿ ÷òî1) u(x) ∈ C n [a, b] ,2) (x, u(x), . . . , u(n−1) (x)) ∈ D(f ) ∀x ∈ I ,3) u(n) (x) = f (x, u(x), . . . , un−1 (x)) ∀x ∈ I .3.1.1 Çàäà÷à ÊîøèÇàäà÷åé Êîøè (íà÷àëüíîé çàäà÷åé) äëÿ óðàâíåíèÿ (1) íàçûâàåòñÿ çàäà÷à íàõîæäåíèÿ òàêîãî ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ (1), êîòîðîå óäîâëåòâîðÿåò íà÷àëüíûì óñëîâèÿì(n−1)u(x0 ) = u0 , u0 (x0 ) = u00 , . . .

, u(n−1) (x0 ) = u0,(i)ãäå u0 íåêîòîðûå çàäàííûå ÷èñëà. Ñïðàâåäëèâà(n−1)Òåîðåìà Ïåàíî. Åñëè f íåïðåðûâíà â D, òîãäà äëÿ ëþáîé òî÷êè x0 , u0 , . . . , u0, ïðèíàäëåæàùåéîáëàñòè D, ñóùåñòâóåò ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (1), îïðåäåëåííîå â íåêîòîðîé îêðåñòíîñòè òî÷êè x0 ∈ I .Çàìå÷àíèå. Òåîðåìà Ïåàíî íå ãàðàíòèðóåò åäèíñòâåííîñòè.25Òåîðåìà Êîøè-Ïèêàðà. Åñëè f íåïðåðûâíà â D è óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ Ëèïøèöà ïî ïåðåìåííûì u,u0 , . . ., u(n−1) , òî åñòü|f (x; µ1 , µ2 , .

. . , µn ) − f (x; ν1 , ν2 , . . . , νn )| < LnX|µk − νk | ,k=1(n−1)òî äëÿ ëþáîé òî÷êè (x0 , u0 , . . . , u0) ∈ D ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííîå ðåøåíèå (1), îïðåäåëåííîå â íåêî-òîðîé îêðåñòíîñòè òî÷êè x0 ∈ I .Ëþáîå óðàâíåíèå òèïà (1) ìîæíî ñâåñòè ê ðàâíîñèëüíîé åìó ñèñòåìådui= fi (x; u0 , u1 . . . , un−1 ) , i = 0, 1, , . . . , n − 1 ,dxäèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé ïåðâîãî ïîðÿäêà ïóòåì çàìåíû âûñøèõ ïðîèçâîäíûõ íåèçâåñòíûìè ôóíêöèÿìè (ui (x) = u(i) (x)).Òåîðåìó Êîøè-Ïèêàðà íåñëîæíî äîêàçàòü âîñïîëüçîâàâøèñü òåîðåìîé î íåïîäâèæíîé òî÷êå ñæèìàþùåãî îòîáðàæåíèÿ [15].

Äåéñòâèòåëüíî, óðàâíåíèå ïåðâîãî ïîðÿäêà( 0u = f (x, u)u(x0 ) = u0ýêâèâàëåíòíî èíòåãðàëüíîìó óðàâíåíèþZxu(x) = u0 +f (t, u(t))dt .x0Ïî óñëîâèþ f íåïðåðûâíà è, ñëåäîâàòåëüíî, |f (x, u)| ≤ M â íåêîòîðîé îáëàñòè D0 ⊂ D, ñîäåðæàùåé òî÷êó(x0 , u0 ). Âûáåðåì δ > 0 òàê, ÷òîáû:1) (x, u) ∈ D0 , åñëè |x − x0 | ≤ δ è |u − u0 | ≤ δM ;2) δL < 1, ãäå L êîíñòàíòà, ôèãóðèðóþùàÿ â óñëîâèè Ëèïøèöà.Ïóñòü C 0 ïðîñòðàíñòâî âñåõ íåïðåðûâíûõ ôóíêöèé u, îïðåäåëåííûõ ïðè |x − x0 | ≤ δ è òàêèõ, ÷òî|u(x) − u0 | ≤ δM ñ åñòåñòâåííîé äëÿ íåïðåðûâíûõ ôóíêöèé ìåòðèêîé ρ(u1 , u2 ) = max |u1 (x) − u2 (x)|.

Êàêxçàìêíóòîå ïîäïðîñòðàíñòâî ïîëíîãî ïðîñòðàíñòâà C[x0 −δ,x0 +δ] , ïðîñòðàíñòâî C 0 ÿâëÿåòñÿ ïîëíûì. Óáåäèìñÿ, ÷òî îòîáðàæåíèå y = Au, îïðåäåëÿåìîå ôîðìóëîéZxy(x) = u0 +f (t, u(t))dt ,x0ÿâëÿåòñÿ ñæàòèåì â C 0 . Äåéñòâèòåëüíî, ïóñòü u ∈ C 0 è |x − x0 | ≤ δ , òîãä௠x¯¯Z¯¯¯|y(x) − u0 | = ¯¯ f (t, u(t)dt¯¯ ≤ δM¯¯x0è, ñëåäîâàòåëüíî, A ïåðåâîäèò C 0 â ñåáÿ. Äàëåå,Zx|y1 (x) − y2 (x)| ≤|f (t, u1 (t) − f (t, u2 (t)|dt ≤ Lδ||u1 − u2 ||C 0 ,x0è ïîñêîëüêó δL < 1, òî A ñæàòèå è, ñëåäîâàòåëüíî, â C 0 ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííîå ðåøåíèå óðàâíåíèÿu = Au. Àíàëîãè÷íî äîêàçûâàåòñÿ îäíîçíà÷íàÿ ðàçðåøèìîñòü çàäà÷è Êîøè äëÿ ñèñòåìû óðàâíåíèé ïåðâîãîïîðÿäêà, à, ñëåäîâàòåëüíî, è äëÿ çàäà÷è Êîøè ïðîèçâîëüíîãî ïîðÿäêà.263.1.2 Êðàåâàÿ çàäà÷àÑôîðìóëèðóåì êðàåâóþ çàäà÷ó òîëüêî äëÿ óðàâíåíèé âòîðîãî ïîðÿäêà, ÿâëÿþùóþñÿ îäíîé èç ñàìûõ ñóùåñòâåííûõ.

Характеристики

Список файлов книги