ИродовЗадачник (947483), страница 74
Текст из файла (страница 74)
6.63. а) л гг(+(/с/(/ 1051 б) (//(/с за!/т)(2+т!)=50. 6.64. Е„=гРл'й'/2тр, где л=1, 2, ... 6.66. 1 !Ое, 1 10 и 1 10 м см/с. 6.67. Ло и/гп!=1 10в и/с; от=2,2 1Ое и/с. 6.69. Л( — гул/з/и — 1О зе с. 6.70. Тчпп йз/2гпр=1 эВ. Здесь взято р меЛр и Лх=1. 6.71. Ло/о й/1 )12глТ=! ° 10 ц 6.72. Р йз/т/з. 6.73.
Имея в виду, что р Лр й/Лх й/х, получим Е=Т+(/~ тел /2тхз+йх'/2, Из условия бЕ/ах=О находим хр и затем Е„„„= й ггй/гл = йю, где ш — круговая частота асцнллятара. Точный расчет дает йы/2. 6.74. Имея в виду, что р Лр й/Лг и Лг г, получим Е=рз/2т— — ез/г й-'/2тгз — е-"/г. Из условия 8Е/8г=О находим г 44 йз/тез=53 пм, Е„чн — те'/2йз = — 13,5 эВ. 6.75. Ширина изображения Л -8+Л'-5+и//рб, где Л' — дополнительное ушнрение, связанное с неопределенностью импульса Лре (при прохождении через щель), р — импульс пала!ащих атомов водорода.
Функция Л(5) имеет минимум при 6=)гй//то=0,01 мм. 6.76. Решение уравнения Шредингера ищем в виде Чг=ф(х) /(1). Падстановкз этой функции в исходное уравнение и разделение переменных х и 1 приводит к двум уравнениям. Их решения: ф(х) е!ь", где й='гг2тЕ/й, 336 Š— энергнв частицы, и ((1) е™, где ю=Е)». В рез>льтате Ч'=пег1»х где п — некоторая постоянная. 6.77. Р=к(а+ Рг»32л=061.
Асов(лпх(1), если и=1, 3, 5, ..., 6.78. А зШ(лпк)1), если п=2, 4, 6, ... Здесь А=$/211. 6.80. дй",дЕ=(1,'и») т' ~п~2Е; пРн Е=1 эВ величина бМ)дЕ=0,8 101 уровней/эВ. 6.61. а) В этом случае уравнение Шредингера имеет вид —, + —.+УА Р=О, »»=2, Е1». дзф д-'ф дхз дуз Возьмем начало координат в одном из углов ямы.
На сторонах ямы функция 1р(х, у) должна обращаться в нуль (по условию), поэтому внутри ямы ее удобно искать сразу в виде ф(х, у)=а з1п»,х ° мп»зу, так как иа двух сторонах (х=О и у=О) автоматически ф=О. Возможные значения»1 н», найдем вз условия обращения ф в нуль на противоположных сторонах ямы: ф(10 у)=0, »,=-+-(л11)пп п»=1, 2, 3, „,, ф(х, 1з)=0, »з=-~- (л/1з) лз, па=1, 2, 3, ... Подстановка волновой функции в уравнение Шредингера приводит к соотно. шению»з+И;'=»з, откуда Е, = (и- "11"- -1- п»11зз) лз»з)з т.
б) 9,87, 24,7, 39,5 и 49,4 единиц»з(тР. 6.62. Р=т(з — У'3,'4л=)9,5оо 6.63. а) Е=(па+аз+п))лз»з)2гпп"-, где пю и„, пз — целые числа, не равные нул~о; б) ЛЕ=лз»з(я|аз; в) для 5-га уровня и',-1-и',+и',=14 и Е 7ла»з(та'; число состояний равно шести (оно равна числу перестановок тройки чисел 1, 2 и 3). 6.84. Проинтегрируем уравнение Шредингера по малому интервалу каор динаты х, внутри которого имеется скачок У (х), например в тачке х=О: +а — (+ 6) — — ( — 5) = ~ — (Š— У) ф дх. дф дф Г 2т дк ' д.с д»з — а Ввиду конечности скачка У при Ь-» 0 интеграл тоже стремвтся к нулю. Дальнейшее очевидно. 6,65. а) Запишем уравнение Шредингера для двух областей: 0(х(1, ф;+»зф»=0, »з=йтЕ1»з, х)1, ф, — изфз— - О, не=2т (Ур — Еу»з.
Их общие решении фт(х)=аз)п(»х+а), фз(х)4 бе-лк ( еях. яолжны удовлетворять стандартным н граничным условиям. Из условия ф,(0)=0 н требованяя конечности волновой функции следует, что а=О и И наконец, из непрерывности ф (х) н ее производной в точке к= 1 72 и. н.ивалов 337 получим (й й)= — й/и. откуда ы= *ы г392-.у.
Изобразив графически левую и правую части последнего уравнения (рис. 48), найдем точки пересечения прямой с синусоидой. Прн этом корни данного уравнения, отвечающие собственным значениям энергии Е, будут соответствовать тем точкам пересечения (й!)г, для которых 1й(й!)г«сй, т. е, корим этого уравнения будут изходнться в четиыя четвертях окружности (этн Ряс. 45. участки осн абсцисс выделены на рисунке жирными отрезками). Из графика видно, что корни уравнения, т. е. связанные состояния частицы, существуют не всегда.
Пунктиром показано предельное положение прямой, б) (!зУз)т„аз пзйз78ш. (!з(то)амза=(2п — 1) пзйз(йт. 6.86. Пусть Ра н Р! — вероятности нахождения частицы вне и внутри ямы. Тогда ) (Ле зкгая Ра ! 2 ! 2-(-Зп ' аз мпз Ах ол где отношение о!а можно определить из условия чр! (!) =тра (!). Остается учесть, что Р +Рз=1; тогда Р„=2!(4+Зя)=14,9,4. Возможность нахожденил частицы в области, где ее энергия Е(У, представляет собой чисто квантовый эффект. Он является следствием волновых сзойств частицы, исключающих одновременно точные значения координаты и импульса, а следовательно, и точное разделение полной энергии частнаы на потенциальную и кинетическую, Последнее можно сделать только в пределах точности, даваемой соотношением неопределенностей. 6.87.
В результате указанной подстановки получим )(" ( Иу=б, где йз=2шЕ(йз. Решение этого уравнения ищем в виде у=а мп (Аг-)-а). Из требования конечности волновой функции ф в тачке г=б следует, что а=б. Таким образом, ф=(а(г) апйг, Из граничного условия ф(гз)=0 получим йгз=пя, где л 1, 2, ... Отсюда Е„=лзпгйз(2глгз,, 688. а) ф(г)=, и=1, 2, ° "1 б) гаер=~э/2' ЗОВ ° )' 2ягз г 6.89. а) Решения уравнения Шредикгера для функции )((г): г <гв, )(т=д зш(йг+м), где й ег 2жа/ц. г) ге, у =Вене+Се-нг, где и=)"2т(У« — Е)/й.
Из требования ограниченности функции ф(г) во всем пространстве следует', что а=О н В=О. Таким образом: ямйг е "' ф,=д — ф,=с— е Из условия непрерывности ф и ее производной в точке г = гз получим 18йге= — й/н, или з(п йгз=-е ')' я'/2тг'„У,«ге. Зто уравнение, как показано в решении задачи 6,88, определяет дискретный спектр собственных значений энергии. б) ге«Уз=паде/8т. 6.90. а=ты/хя, Е=йы/2, где еь='ггй/т, 6.91. Е.= — тее/8я', т.
е. уровень с главным квантовым числом п=2. 6.92. а) ]Вероятность нахождения электрона на расстоянии г. г+е(г от ядра ЙР=фз(г) 4пгзг/г. Из условия максимума функции г)Р/бг получим гаер — — гг; б) (Р) =2е'/г;', в) (У) = — ет/гт. 6.93. фе — — ~ (р/г) 4пг' е(г=с/гв где р =ефэ — объемиан плотность заряда, ф †нормированн волновая функция. 6.94. а) Запишем решения уравнения Шредингера слева и справа от гра ницы барьера в следующем виде: х < О, фг (х) =пгещ'е-1- Ьге Г«'е, где Ьт = )/2тЕ/и.
х ) О, фз (х) = о,ег«ы+ Ьте г«*е, где йз —— )г2т (Š— Уе)/я. Будем считать, что падающая волна характеризуетсн амплитудой ов а отра жсннаа — амплитУдой Ьт. Так как в области х=. 0 имеетсЯ только пРоходл- гцая волна, то Ь, О. Коэффициент отражения Я представляет собой отиоше. ние отраженного потока частиц к падающему потоку, или, другими словами, отношение квадратов зьчплитуд соответствующих полн. Из условия непрерыв- ности ф и ее производной в точке х=О имеем аг+Ь«=яз и аг — аз=(««А) ае откуда /( = (Ьт/а,)*= (Ь, — йе)е/(«т + йз)з. б) В случае Е < Уз решение уравнения Шредингера справа от барьера имеет вид фз (х) =озенх-~-ьзе ™, где н= гг2т (Уе — е)/я.
Из требования конечности ф(х) следует, чта а.,=0. Плотность вероятности нахождения частицы под барьером Рз(х)=фее(х) е вех, Отсюда х«46=1/2н. вн. е е е(- — ГОР.=е)]; 2/ й б) 0 ~ ехр ~ — — (Уз — Е) 11. 81 у 2гп 3/21 ЗЬУ, п( /2т 6.96. 0 е= ехр ~ — 1г/ — (Уе — Е)1. Уе 6.97. — 0,41 для 5-терна и — 0.04 для Р-герма. 339 6.98, аз=а йИ/(Ев — г~ра) — 3= — 0,88. 6 99 Еса=йр/(УИХа) /2псйй — 1)в=5,3 зВ. 6.100. 0,82 мкм (ЗБ — 2Р) и 0,88 мкм (2Р-г.25). 6.101. ЛЕ=Зпйсйа/аз=2,0 мэВ. 6.102.
бы=1,05 ° 1О'о рад/с. 6,103. ЗВа/, ЗР,/ . ЗР,/, 3(З„, ЗВаб. 6.104. а) 1,2,3,4,5; б) О, 1,2, 3,4,5,6; в) а/„в/а ь/а, о/а в/з. 6.105. для состояния 'Р: й ргЗ/2, й)/15/2 н й)/35/2; для состояния йсЕп О, й !' 2, й )/ б, й )/ 12, й Рг20. 6.!06 а) Рс/Р Ммаас = й )/ 63/2; б» Ро' М~анс = 2й ) 6.107. В Г-состоянии М,=й)'б; для )2-состояния можно лишь устано- вить, что Ма й)с б. 6.108.
3. 4 5. 6.109. а) 1, 3, 5, 7, 9; б) 2, 4, б; в) 5, 7, 9. 6.110. 31'. 6.111. з/Зз. 6.!12, ЬР„аРо, ьра, зРо ! з, зРа „, зр,, в а 6Л13. Те же, что в предыдущей задаче. 6.114. Второй и третий, 6.115. 8=4+6=10, 6.1!6. 4, 7 и 10, 6.!17. зрз 6.!18. Аз. 6.119. а) аЯ,/ ', б) ор . 6.120. а) ар,/ й)/!5/2 б) ар 83)/11/2. 6.121. а) Два с/-электрона; б) пить р-электронов; в) пять а(-электронов.
6.122. а) вро б) аР,/. 6 !23 ара/, 6'124' р=рв)/35(оВа ) 6.125. ц=п'е лм/» =3 10 ~в, где ы=/7 (1 — 1/пз). 6.126. И/Ась=(а/Ов)Е Г"/От=1,14 !О а, ГДЕ и И до — СтатиетИЧЕСКИЕ Ваеа (кратности вырождения) уровней ЗР и ЗВ соответственно (п=б, Во=2). 6.127. с=//о!пь)=13 мкс. 6.128. И=ЫР/Злой=7 ° 10в. 6.129. ь =(пйы/Р) (я/йо) е л"/ог =65 ис, где 8 и йо — кратности вырожде- ния резонансного и основного уровней. 6.130.
а) Р„„ /Р,„=1/(е мог — !) 1О зо, где и=о/ар; б) Т=!,7 10ь К. 6.131. Пусть 1 — интенсивность проходящего света. Убыль этой величины при прохождении слоя вещества толщины бл равна — Л = и/ с/л=(ИаВаз — ИвВза) (1/с) йы а(х, где И, и Из — концентрации атомов на нижнем и верхнем уровнях, В„и Лв, — коэффициенты Эйнштейна. Отсюда и = (йы/с) И, В,ь (1 — яаИа/явИа). йТ (прм 3=001 я обоих б) В= 341 Далее следует учесть распределение Больцмана н тот факт, что й»ы~ этом А/»мв Ага †полн концентрации атомов). 6.132 Лвеввв/Л)»вет ~ 4лтоввр/)» -в !Ов где оввр =У2РТ»М, 6.133.
Х= !54 пм. 6.134. а) 843 пм для А1, 180 пм для Со; б) =5 кэВ. 6.135. Трк, 6.136. (/= !5 кВ, 6.137. Да, 6.138. 2 ='1+2 )' (л — !) е(/»/ЗйР (и — (/»/(/в) = 29, 6.139. 2=1+рг4Лю/ЗР=22, титан. 6.140. Е, =в/,йР (г — !)в+2 йР.,=5,5 - В, 6.141. Е =ям/(2лс/ыЛ)» — !) ~0,5 кэВ, где ы='/»Р (Š— !)в. 6.142. Т=в/,йР (2 — !)' — 2лей/)в =1,45 кэВ, о=2,25 !От м/с. 6.143.
а) п=2, за исключением сннглетного состояния, где б) а=1. 6.144. а) — 2/3; б) 0; в) 1; г) 5»2; д) О/О. 6. 145. а) )/ 12)»в б) 2 )г 3/5рв в) (8/)гЗ ) р !. О.ИО. М»=2)/'Зй. 6.147. )»=(8/)ГЗ) рн. 6.148. р=З рг7/5)»н. 6 149' р (5 ) 5/2) рв. 6 150. М=й)г 3/2. 6.151. в»й»ч 6.152. ы=)» ЕВ/й= 1,2 ° 10'в рад/с, где й — фактор Ланде. 6.153. Е =Рп !дВ/де',=(3/ 8)л/д3(»п/ег»=4 !0»! Н.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
