Коротаев, Малков, Халтурина - Законы истории. Математическое моделирование исторических макропроцессов (947389), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Объединяя наглу экстраполяцию паттерна роста населения мира, засвидетельствованного в 1990 — 2003 гг., с данными по численности населе- где 1т' — население мира (в миллиардах чел.), а 1' — относительная годовая скорость роста населения мира (в %%). С другой стороны, 96,2 % всей мировой макродемографической вариации за 1900-1970 гг. описывается Моделью 2.2, полученной при помощи аналогичного регрессионного анализа данных за соответствующий период: 26 Часть!.
Компактные макромодели эволюции Мир-Соспземы пия мира за 500 г. до ц.э. — 2003 г. н.э. (1чгешег 1993; БЯ Вшеап ог" йте Сепзиз 2004),' мы получаем следующую картину (см. Диаграмму 2.2): Диаграмма 2.2. Рост численности населения мира, 500 г. до н.э. — 2300 г. н.э., в миллионах 10000 г-. 8000 5000 7000 5000 5000 4000 1000 0 500 1000 1500 2000 2500 -500 Собственно говоря, существуег лишь одно действительно значимое различие между паттернами роста народонаселения мира в 1990 — 2003 тт., с одной стороны, и в период до 1962 — 1963 гг., с другой. В 1990-2003 гт.
мы имеем дело с исключительно сильной ОТРИЦАТЕЛЬНОЙ корреляцией между численностью населения мира и относительными годовыми темпами его роста. В период до 1962-1963 гг. мы также сталкиваемся с очень сильной корреляцией между двумя интересуюшими нас перемеппымн. Но корреляция эта — ПОЛОжИТЕЛЪНАЯ. ' Другие испопьтоптитпге источники: тьопт11паоп 1975; ггпгапа 1977; Мсткеау апа 1опег 1978: 342-51; ВнаЬеп 1980; НапЬ 1995: 5; 17Н Роро!абоп Вгняоп 2004; \Чог!4 Вап1г 2004.
Глава 2. Демографическая динамика мира до 1962 н. 27 Это, естественно, озн населения мира в период а.Кривая экспоненциального роста ВВВ Кривая гипарболичаского роста 1Вт 3ВИ ВЮ ВВВ ЮВ ии пи ВИВ ии 1иВ в. Кривая логистичаского роста 250 Г— 200 х 150 ) 100 50 0 0 100 200 300 ачасг, что долгосрочная тенденция роста народодо 1962 — 1963 гг. была ГИПЕРБОЛИЧЕСКОЙ.
ПОЯСНЕНИЕ К ГЛЛВЕ гг На страницах этой книги мы будем иметь дело со следующими видами динамики: экспоненциольной, гиперболической и логи стической. Экспонеициальпый рост представляет собой увеличение перемеююй (напр., Х) в каждый новый моме3ап времВпш на стабильный процент от величины Х в предыдущий момент времени. Кпассическими примерами экспоненциального рос3па являются рост денежного вклада, положенного в банк под процент, или рост биологической популяции ири благоприятных условиях.
Экспоненцшиьный рост описывается, в частности, формулой: дХ/д! = аХ или Х; = (1 ч а)Х; где: Х, — значение Х в определенный момент времени, а — показатель прироста Х; Х, — значение Х в предыдущий момеюп — времени. Если при экспоненциалыюм росте относительные темпы роста параметра Х (в процентах) не меняются, то при гиперболическом росте они растут пропорционально величине Х. Гиперболический рост описывается формулой дХ)д! = аХ' (см. рис. б!. Логистический рост представляет собой рост с насыщением, который дает следующую динамику: ускоряющийся рост показателя в начале процесса сменяется замедлением темпов роста и завершается стабюшзацией этого показателя на определел1юм уровне (рис. в).
28 Часть!. Компактные макромодели эволюции Мир-Системы Обьгшо динамика населения мира отображается в логарифмическом или двойном логарифмическом масштабе (мы и сами неоднократно будем прибегать ниже к этому приему, так как он дает возможность лучше увидеть многие важные детали исследуемой динамики). Однако логарифмический масштаб не дает возможность почувствовать весь драматизм произошедших собьпий, поэтому проиллюстрируем гиперболический рост населения Земли до 1962 г. и диаграммой в обычном масштабе (см.
Диаграмму 2.3): Диаграмма 2.3. Гиперболический рост населения мира, до начала 60-х гг. ХХ в., в миллионах 3000 2500 2000 1500 1000 500 0 -гаке -жсо -гоаю .ггию -гюго -гжю -гоню -гью -яюо .гаю о жю ПРИМЕЧАНИЕ: Источник — Кгегоег 1993; ьаз. Глава 3 Компактная математическая макромодель роста населения мира (до 1962 г.) Гиперболический рост населения подразумевает, что абсолютный прирост населения (Ф человек в год) пропорционален квадрату численности населения (в отличие от зкспонешгиального роста, при котором абсолютный прирост населения линейно пропорционален его численности).
Если при экспоненциальном росте при численности населения в 100 миллионов чел. наблюдался абсолютный прирост в 100 тысяч человек в год, на уровне в 1 миллиард чел. он составит 1 миллион чел. в год (т.е. рост населения в 10 раз приводит к увеличению абсолютных темпов его роста в те же 1О раз).
Если при гиперболическом росте при численности населения в 100 миллионов чел. наблюдался абсолютный прирост в 100 тысяч человек в год, то на уровне 1 миллиарда чел. абсолютный прирост населения составит уже 10 миллионов человек в год (т.е. рост населения в 10 раз приведет к увеличению абсолютных темпов его прироста в 11О к 1О] 100 раз). Отметим, что при экспоиетпшальном росте опюсительвые темпы прироста населения (О,! еуа в нашем случае) изменяться не будут, в то время как при гиперболическом росте опи будут линейно пропорциональны численности населения (в нашем примере рост населения в 10 раз приводит к увеличению относительных годовых темпов прироста населения в те же 1О раз, с 0,!ой го 1,0'4). Соответственно, тенденция роста гаселения мира, наблюдавшаяся в 1990-2003 гт.
может быть идентифицирована как ОБРАТНАЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКАЯ (т.е. логистическая~). Тот. факт, что для населения мира вплоть до 1960-х гг. был характерен гиперболический рост, был открыт уже достаточно давно (см., например: уоп Роегз1ег, Мога, апс! Аппо!! 960; топ Ноегпег 1975; Капица 1992, 1999; Кгешег 1993; и т.д.).
Полобнмг лииаиика, действительно, в некотором смысле прямо противоположна гиперболической. Если при гиперболическом росте относительные темпы прироста населения линейно растут с ростом его численности, то наблюдаемая в настоящее время тенденции яарактериауегся тем, что рост численности населения сопровожнается линейным умеиыпением относительныя темпов его роста. ЗО Часть!.
Компактные макромодели эволюции Мир-Системы Было предложено и несколько математических моделей, описывающих этот рост (см., например: чоп Роегз|ег, Мота, апг) А|и|о| 1960; Капица 1992, 1999; Кгеп|ег 1993; СоЬеп 1995; Подлазов 2000, 2001, 2002; Рой!ахоч 2004; 10Ьапаеп апй Бокле(!е 2001 и т.л.). Некоторые из этих молелей вполне компактны (см., например: Капица 1992, 1999), но не вполне объясгиют механизмы гиперболического роста; модель М. Кремера содержит такое объяснение, но, на наш взгляд, неоправданно сложна (подробный анализ предлагавшихся молелей см. ниже в Экскурсе 3). Предлагаемая вами первая компактная макромолель гиперболического роста населения исходит из следующих допущений: 1) На протяжении большей части существования человечества рост его численности па каждый данный момент времеви был ограничен потолком несущей способности земли, обусловленным наблюдаемым в Данный момент времеви уровнем развития жизпеобеспечившощих технологий (Мальтус 1993 (17981; Ма!бднз 1798; НаЬаИлй 1953; Роман 1950, 1972; Вгапг)е! 1973; АЬе! 1974, 1980; Аг|хгошн ап|1 Кого!оа 1985; Сагпегоп 1989; Кгешег 1993; Копйоз апд )йеРедоч 2002).
Потолок несущей способности Земли поныл|алея в результате роста уровня развития жизнеобеспечивающих технологий. Следовательно, на протяжении большей части существования человечества скорость роста его числе|шости была прямо пропорциональна темпам роста уровня развития жизнеобеспечивающих технологий. 2) Относи~ельные темпы роста уров||я развития жизцеобеспечива|ощих технологий прямо пропорциональны числешюсти населения Земли (лЧем больше людей, тем больше изобретателей"; при прочих равных условиях в десять раз большее число люлей будет в тепленции Делать в Десять раз болыпее число сопоставимого уровня изобретений); при этом абсолютные темпы технологического развития также пропорциональны и самому уровшо развития технологий (Кпжге|а 1960; Возегпр 1965; Бее 1986; Огоаапип апг! Не!ршап !991; АЗЬюп апд Но хоп 1992, 1998; Кге|пег 1993; Зппоп 1977, 1981, 2000; Кош!оа апе) )Челе|(оч 2002 и т.л.).
Самым простым способом математического молелирования данных допущений представляется слелующая (и, насколько пам известно, ранее не предлагавшаяся ) система из двух дифференциальных уравнений: ' Модель Дж л. Коузна (Сойсп 1995), иа наш взгляд, является ухудшенной модификапией модели М. Кремера (Кгешег 1993). Наименес удачной представляется модель А. Джохансена и Д. Сорнегга (1ойапзеп апд зогпепе 2001), которая не обладает ии компактностью моделей Х. фон Чгерстера и С.
П. Капнпм, ни обьяснигельной силой модели М. Кремера. ' Отметим, тем не менее, что близкая по сузи своей модель проплата~ась (впрочем, без развернутого обоснования и тестировшшя) С В. Цирелем (Тз1ге) 2004: Збб). Анализ дшшой модели см. ниже в Главе 4. Глава 3. Макромодель роста населения мира до 1962 а. 31 с(К1 — — =а(ЬК-Н)Н дг (3.1) (К вЂ” = сук й (3.2) Отметим, впрочем, что некоторые разяевы данных пояснений могут представлять опре1те- ленный интерес и яия читателей, математическое образование имеющих.
где Н зто население Земли, К вЂ” уровень технологического развития, ЬК соответствует потолку несущей способности Земли при данном уровне развития исьонеобеспсчивающих технологий. ПОЯСНЕНИЯ К ПЕРВОЙ КОМПАКТНОЙ МАКРОМОДЕЛИс Для читателей, не имеющих математического образования, поясним, как работает первая компактная макромодель.~ Модель записана при помощи дифференциальных уравнений. Начнем с первого уравнения: дХ!д1 = а (ЬК вЂ” Х) Х. Как мы помним, Х в нашей модели обозначает численность населения Земли. ЙХ!сИ вЂ” это изменение численности населении Земли (дХ) за предельно краткий промежуток времени дп Таким образом, рассматриваемое уравнение моделирует скорость изменения численности населения Земли.
Реальная компьютерная симуляция долгосрочных исторических процессов обычно осуществляется при помощи разностных уравнений, где моделируется изменение тех или параметров, как правило, за год. Соответственно, в качестве с)1 берется не предельно краткий, а вполне реальный промежуток времени, 1 год. Таким образом, дХ/бг оказывается изменением численности населения за год. Подставив в формулу значения К и Х за соответствующий год (т), мы можем узнать, как численность населения изменится в следующем году, а сложив дХ/дг с численностью населения в этом году Щ, мы подсчитаем, каким население мира станет к концу следующего года (Хыг). Таким образом, Хы1 = Х; + с)ХК(н Формула же для подсчета дХ)бгу нас уже естес дХтс)1 = а (ЬК вЂ” Х) Х.
Итак, зная значения Х и К за этот год, мы можем подсчитатеь каким будет население мира в следующем году (а при помощи второго уравнения модели мы моэсем подсчитать, и какой станет в следующем году несущая способность Земли, К; г). Таким образом, мы сделаем первую годичную итерацию, вычислив значения Хы~ и Кг и Теперь, зная значения Х„1 и К;.ь мы можем сделать вторую годичную итерацию (подсчет изменений переменных за год), и узнать, каким будет население и несущая способность Земли через два года (т.е. подсчитать значения Х; т и К, т), и т.д. Конечно, делать это лучше не в ручную, а, записав модель в виде компьютерной программы, запуская которую мы с;иолсем З2 Часть Ь Компактные макромодели эволюции Мир-Системы осуществлять компьютерную симуляцию долгосрочных процессов эволюции Мир-Системы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
