Коротаев, Малков, Халтурина - Законы истории. Математическое моделирование исторических макропроцессов (947389), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Модели гиперболического роста: анализ 133 = г(1 — — )М й К (П1.2) которое можно также представить в виде и)у = (а,1у) — (а,Ф+ ЬФ ), (!П.З) где первая скобка соответствует числу рождений В, а вторая — числу смертей й в формуле (Ш.1), а г, К, аь аь Ь вЂ” положительные коэффициен- ты, связанные соотношениями г и Ь = К г= а~ — а2 Логика уравнения ПП.З) такова: рождаемость а, является постошпюй, таким образом, число рождений В = а,У пропорционалыю численности популяции, естествешшя смертность аз также считается постоянной, а квадратичная добавка ЬЛг в выражении для полной смертности .0 = а~% т Ь1т' возникает из-за ограниченности ресурса, пе позволяющей 2 популяции бесконечно расти.
Коэффициент Ь называют коэффициентом внутривидовой конкуренции. В итоге, динамика популяции, описываемой логистическим уравнением, имеет следующий вид. В начале, когда числешюсть животных мала, наблюдается зкспонепциальный рост с показателем г = сч — аь Затем, по мере заполнения экологической ниши, рост замедляется и, в конечном счете, численность популяции выходит па постоя~шый уровень К. Поэтому описание демографических процессов на микроуровне наталкивается на существенные проблемы, связанные, прежде всего, с неразработанностью формальных социальных законов, увязывающих экономические, политические, социально-психологические и прочие факторы, определяющие поведение малых групп людей.
Таким образом, единственным пока доступным подходом является макроописание, пе вдающееся в мелкие детали демографического процесса и описывающее динамику больших людских масс, для которых влияние человеческого фактора заметно ниже. Биологические процессы рождения и смерти характерны не только для людей, но и для любых животных. Поэтому вполне естественным шагом является попытка описания демографических моделей с применением хорошо зарекомендовавших себя популяциопных моделей, использующихся в биологии (см., например: Ризниченко 2002).
Базовой моделью, описывающей динамику популяции животных, является логистическая модель, предложенная Ферхюльстом (Чег)лйз1 1838): 534 Часть!!. Социальная макродонамика ~й — Ах — Зху гй ау — = Су -.Оу, 41! (Ш.4) где х — численность жертв, у — численность хищников, А, В, С, !з — коэффициенты. Данная модель, аналогично (1П.2), предполагает, что число рождений жертв пропорционально их численности. Число смертей хищников также пропорционально их численности. Что касается смертности жертв и рождаемости хищников, то тут имеет место системный эффект.
Считается, что жертвы в основном гибнут из-за контакта с хищником, а рождаемость хищников зависит от наличия пищи — жертв. В модели предполагается, что в среднем число контактов жертв и хищников пропорционально численности обоих популяций, что и даст выражение Влу для количества смертей жертв и Слу — для числа рождений хищников. Дюшан модель демонстрирует циклическую динамику. Рост численности жертв приводит к росту хищников, рост хищников вызывает сокращение жертв, сокращение жертв ведет к сокращению хищников, а при малом количестве хищников жертвы вновь начинают бурно размножаться.
Описанные популяционцые модели имеют чрезвычайно широкое применение в биологических исследованиях. Разумно предположить, что и для человека, коль скоро оп также имеет биологическую природу, должны выполняться подобные зависимости или их аналоги. В глубокой древности, когда предки человека мало отличались от животного, по всей видимости, модели (П1.2) — (Ш.4) могли бы быть применены в полной мере.
Однако с появлением у человека новой среды обитания — социальной, прямое применение описанных моделей уже не вполне адекватно. В частности, модель (П1.2) предполагает заданную внешними условиями емкость экологической нюни (которая в социальных моделях, часто называется потолком несущей способности земли), однако опыт Значение параметра К, называемого емкостью экологической ниши популяции, принципиально. Зта величина определяет равновесное состояние в динамике популяции прн заданных ресурсных ограничениях и определяет пределы ее роста. Другой известной популяционной моделью является модель Лотки— Вольтера (1обса 1925; то!гегга 1926; Вольтера 1976), известная как "хищник-жертва".
Она описывает динамику популяций двух взаимодействующих видов, один из которых является основной пищей для другого, и состоит из двух уравнений вида (П!.1): Экскурс 3. Модели гиперболического роста: анализ 136 развития человечества показывает, что на протяжении всей истории этот потолок постоянно полцимался, следуя собственным законам развития, и, следовательно, оп не может считаться постоянным и задаваемым внешними условиями. Человек способен преобразовывать эти условия (см., например: Гринин 2000). Что же касасгся модели (1П.4), то в прямом смысле она вообще мачо применима, так как человек на ранних этапах эволюции научился эффективно обороняться от хищников, и, слелователызо, не может являться "жертвой" в модели, а с другой стороны, оц научился в высокой степени пе зависеть от колебаний численности жертв, па которые он охотится, слелователыю, он, как правило, не может быль и "хищником", поскольку хищники в модели очень чувствительны к изменению числа жертв.
1 Тем не менее, модель (П1.4) может находить новое, нетрадиционное применение в демографических моделях. В частности, она может быль применена лля описания колебаний численности населения, обнаруженных практически во всех аграрных обществах. В роли жертвы выступает население, а в роли хищника — социальная нестабилыюстьч войны, голод, эпидемии, верояпюсть возникновения которых увеличивается по мере того, как растущее население приближается к потолку несущей способности. Демографические циклы сами по себе являются очень интересным предметом математического исследования. В последнее время эта тема активно разрабатывается (подробнее об этом см.
в Экскурсах 4-6). Гиперболический рост населения Земли. Открытие Х. фон Ферстера Модели лемографических циклов хорошо согласуются с историческими данными и описывшот динамику населения на временных масштабах порялка столетий, однако если рассмотреть тот же Лемографический процесс, па гораздо большем масштабе — если прослелить динамику человечества на протяжении всего времени его существования, то перед нами предстанет совсем иная картина.
Численность человечества растет по гиперболическому закону. Впервые этот феномен был отмечен в 1960 году Х. фон Ферстером, П. Мора и Л. Амиотом (коп гоегйег, Мота, апд Аппог 1960). Опи провели статистическую оценку демографических данных и обнаружили, что кривая роста населения Земли лучше все~о аппроксимируется кривой Все-таки нельзя полностью исключать возможной применимости чтой модели Лля некоторь|х систем специализированных охопщков-собирателей, жизнеобеспечивэющая зкономика которых в очень высокой степени основывалась на зксплуатации какого-то одного вида растений или животных (скажем, оленя карибу применительно к некоторым группам американской Субарктики (см., например; Кеьое 1992: 480 — 5651).
Часть й. Социальная макродинамика 136 ПП.5) где С и ко — константы, причем гь — соответствует 13 ноября 2026 года. Согласно этой формуле в этот день численность человечества должна уйти в бесконечность. Противоестественность такого вывода, вытекающего из четко прослеживаемой за многие тысячи лет человеческой истории тенленции, привлекла большое внимание к дашюй работе, и стимулировала появление попыток обьяснить такие парадоксальные наблюдения. В самой статье Х.
фон Ферстер с соавторами также пытается найти объяснения столь неожиданным эмпирическим наблюдениям. Он начинает теоретические нос роения, отталкиваясь от уравнений (П!.1) и (1П.З), вполне объяснимых с точки зрения популяционной динамики, однако пе описывающих процесс роста населения Земли.
Для того чтобы модель могла описать этот процесс, Х. фон Ферстер обращается к бурно развивающейся в его время теории игр и предлагает рассматривать процесс развития человечества как шру двух игроков — человека и природы. В данном случае все человечество представляет собой одну коалицию, которая ведет игру тем эффективнее (снижение естественных рисков, улучшение условий жизпи), чем болыпе числеппосп населения, формирующего эту коалшдию.
Моделирование подобной ситуации оп предлагает реализовать с помощью введения нелинейности в виде 1 (по~ ))1! й где аь ! — константы, которые лолжны быть определены из эксперимента. Собственно анализ экспериментальных данных Х. фон Ферстера определяет значения ар = 5,5 к !О и й = 0,99, что дает гиперболическое уравлз пение для роста населения: )9 А! которое, считая к равным единице, более кратко записывается как (!П.5). Характерно то, что работа Х. фоп Ферстера, П.
Мора и Л. Амиота (топ роегз!ег, Мота, апд Аппо! 1960) вышла в свет в 1960 году, в то время, когда гиперболическая зависимость выражалась наиболее явно. Начиная с шестидесктых годов ХХ века реальная динамика народонаселения Земли стала все болыпе отходить от гиперболической кривой и к настоящему времени темпы роста населения резко понизились (см. Дишрамму Ш.1). Экскурс 3.
Модели гиперболического роста: анализ 137 Гиперболический рост населения Земли и модель С. П. Капицы Несмотря на разрешение парадокса бесконечного роста, научный интерес к глобальной демографии не ослаб, наоборот, вместо одной загадки — "почему в течение всей истории наблюдался гиперболический рост народонаселения?" появилась еще и вторая: "почему сейчас, за микроскопическое по историческим масштабам время происходит нарушение закона, действовавшего тысячи и тысячи летуч Наиболее фундаме~пальными работами в области глобалыюй демографии, описывающими демографические процессы и дающими ответы на оба поставленных вопроса, по праву считаются работы С. П. Капицы (1992, 1999).
В отличие от демографических моделей, строящихся на биологических предположениях типа (Ш.1), (П1.2), что рост населения пропорционален самому населению, то есть, по суги, в предположении, что рождаемость и смертность мало меняются со временем: (Ш.б) где а — константа, С. П.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
