Колмогоров, Драгалин - Введение в математическую логику (947386)
Текст из файла
А. Н. Колмогоров. А. Г. Драгалин ВВЕЛ,ЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКУЮ ЛОГИКУ донунтено т ашгмстерством высшего и среднего сиецнааьногю образования СССР в качестве учебного оособвя для студентов математических оиациальяостей вузов у~ Г ИЗДАТЕЛЬСТВО атосковского университета 1282 УДК 517.1 Колмогоров А. Н,, Драгалии А. Г. Введение' в математическую логику. — М.: Иад-во Моск, ун«та„1989. — 120 с. Учебное пособие предназначено для начинающих математиков, которые желают ознакомиться со строением мате.
матического языка и математичесиих теорий. Наряду с накальными понятиями теории множеств излагачотся основы логики выскбзыпамкй и леньки предикатов. Изложение не предполагает специальных знаний и рассчитано на студентов младших курсов, Виблиогр. 9 наив. Ил. 2 Репензен,ты: ка«Рещра высшей митемвтиии № 2 Ленинградского политохнического института; чл..кор.
АН СССР В. Я. КОЗЛОВ Андрей Ннколаевич Колмогоров, Альберт Григорьевич Драгалии ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКУЮ ЛОГИКУ Заведуююпа реавюзиеа С. И. Вел енскна. Редактор А. А. Локшинн Мл, редактор О. М. Д си исав а. Художествеиныа редактор Л. В. Мук ни а. Такивческна реввктор К С. Чистякова. Корректоры Л. А. А алерое кона.
Т. С. И~инякова ' те атычес иа план пмз г, м 19 ИБ За 10»з сдаво в ааеор тает.зт. подписано к певала 00.1злз, оорват 60Хзоум Буыага ччм. М 3, Гарквсура жюврвтурвая. Высокая печать Уел, печ. л. Т,Ш. Уч.-изд. л. 0,00. Заи. Зта. Тираж ГЗ ИНГ зкз. Пене За коп. Изд. ЗЬ 0540. Ордена «Знак Почечв» вздвтепьсзво Московсиого университета. 1Окни, мооква, ул. Герпеиа, злк Т1кпография ордвна «злак почета» иад-ва МГУ.
Москва, Лене«говне горы © Издательство Московского университета, 1982 г. ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие Введение Глава ! Глава П. Глава 11Е Р 116 !18 120 Прилож Прилож Литерат ура НАЧАЛЬНЫЕ ПОНЯТИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛО* ГИКИ И ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ...... 10 $1. Синтаксис языка математяческвх и логических знаков . . . .. . . . , . . .
10 $2. О классификации суждений н теории силлогизмов по Аристотелю . . . . . . . . . 15 $3. О понятии множества . . . , . .- . 19 $4. Отношения и функции . . . . . . . 22 $ 5. Математические структуры . . . . ', . 26 $6. Булеза алгебра . . . . . . . . . 31 6 7. Логика высказываний . . . . , . , 41 $8. Исчисление высказываний . . .
. . . . 45 $9. О логике предикатов . . . . . . . . 49 ЛОГИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ЯЗЫКИ. ЛОГИЧЕСКИЕ ЗАКОНЫ.......... 52 $1. Язык первого порядка. Форнулы и термы .. 52 $2. О правильной подстановке тернов в формулы . 65 3. Семантика язмка. Истинность в модели... 70 4. Примеры языков и моделей...... 77 $5. Логические законы........
83 6 6. Приложения теории логмко-математических языков, Предвареиная форма. Дизъюиктнвнан и коньюиктивмая нормальная форма. Язык логики вы. сказываний и логики преднкатов..., . 91 ФОРМАЛЬНЫЕ АКСИОМАТИЧЕСКИЕ ТЕОРИИ .. 95 1. Исчисление предикатов . . . . . . . 95 2. Теорема о дедукции. Техника естественного вывода . 100 3. Формальные аксноматические теории. Приме ы формальных аксиоматнческих теорий е вне 1.
Кодирование с исправлением. ошибок ение 2. Прмменевмн к. контактным схемам предисловие Эта книга задумана как первоначальный курс чатематичесйой логики. Она возникла в результате обработки конспектов лекций (читавшихся обоими авторами) семестрового . курса математической логики для студентов первого курса механико-математического факультета Московского университета.
Авторы стремились познакомить читателя с основными понятиями математической логики, полезными в работе математика любой специальности. Большое внимание уделе-' но правильному использованию точных обозначений математической логики для записи математических суждений, логическим законам, началам. теории множеств и теории алго-' рифмов. Настоящая книга представляет собой первую часть задуманного авторами учебника и содержит три главы. Первая глава сама по себе является некоторым минимальным ознакомительным курсом математической логики. К этой же главе примыкают два небольших приложения, помещенные в конце книги, посвященные применениям математической логики в теории контактных, схем и в теории кодирования.
Во второй главе в уточненной форме излагаются основы семантики логико-математических языков. Третья глава посвящена изложению выводимости в логике предзкатов и теориям первого порядка. Уже здесь мы стремились обсудить некоторые важные результаты математической логики, отложив полные доказательства до'второй части, в которой предполагается изложить начала теории множеств и теории алгорифмов, теорему Геделя о полноте исчисления предикатов, обсудить программу Гильберта обоснования математики.
' Изучение курса логики предполагает выполнение упражнений на семинарских занятиях. С этой целью следует использовать специальные задачники, например ~91. Все упражнения в тексте легкие, обязательны для выполнения, предназначены для самоконтроля и не могут заменить такого рода задачника. В книге используются следующие обозначения. Знак в тексте отмечает начало доказательства, а знак Б — его окончание. Знаки =, =~-, «=.
заменяют словесные обороты «есть по определению», «если, то», «тогда и толы;о тогда, когда» соответственно. Звездочкой отмечены пункты и параграфы, не обязательные при первом чтении. 4 ' Мы' предприняли.попытку концентрического нзложения предмета, когда важнейшие темы обсуждаются в процессе обучения несколько раз, постепенно приобретая полную' ясность.
Учебник разбит на две книги. Во второй книге, принятой к печати издательством Московского университета, предполагается большее внимание уделить фундаментальным результатам математической логики. Мы вновь вернемся к рассмотрению понятия множества, но уже на базе формальной аксиоматнческой теории Цермело — Френкеля.
Таким образом, мы надеемся дать неспециалисту представление о классических результатах математической логики н подготовить будушего специалиста к изучению более подробных руководств. ВВЕДЕНИЕ 1. Логика — наука очень старая. Она возникла тогда, когда развитие специальных наук и вообще человеческого мышления сделало актуальным вопрос о том, как надо рас. суждать, чтобы получить правильные выводы.
Несомненен' интерес к логике среди математиков и философов эпохи расцвета греческой культуры в Ч1 — 11г вв, до н. э. Но первое дошедшее до нас большое сочинение, посвященное специально логике («Аналитики» Аристотеля, 384 — 322 гг, до н. э.), принадлежит уже позднегреческой эпохе. Независимо возникла буддистская логика, но дальнейшее развитие Логики в Европе имеет своим исходным-пунктом изучение Аристотеля. Математическая логика с внешней стороны отличается от «обычной» тем, что она широко пользуется языком математических и логических знаков, исходя из того, что в принципе они могут совсем заменить слова обычного языка и принятые в обычных живых языках способы объединения слов в предложения. Довольно рано возникла идея о том, что, записав все исходные допущения на языке специальных знаков, похожих на математические, можно заменять рассуждение вы числением гТочно же сформулированные правила таких логических вычислений можно перевести на язык вычислительной машины; которая тогда будет способна автоматически выдавать интересующие нас следствия из введенных в нее исходных допущений.
Своего рода «логическую машину» сконструировал еще в средние века Раймунд Луллий- (1235— 1315), дав ей, впрочем,,лишь совершенно фантастические применения. Более определенный и близкий к реально осуществленному впоследствии замысел универсального логического исчисления развивал Лейбниц (1646 — 1716). Лейбниц надеялся даже, что в будущем философы вместо того, чтобы бесплодно спорить, будут брать бумагу и вычислять, кто из них прав.
.Начало созданию того аппарата математической логики, который теперь мы называем логикой высказываний, положил Джордж Буль (1815 — 1864). Логико-математические языки и теория их смысла были затем значительно развиты в работах Фреге (1848 — 1925). Широко задуманное изложе. ние больших разделов математики на языке математической логики было предпринято в работах Пеано (1858 — 1932) н особенно в фундаментальной трехтомной монографии Рассела и Уайтхеда, изданной на 1910 †19 гг.
В двадцатых годах нашего века с программой обосйования математики на базе математической логики. выступил знаменитый математик Гильберт (1862 †19). С этого времени и начинается современный этап развития математической логики, характеризующийся применением точных математических методов при изучении формальных аксиоматических теорий.
Заметим, что роль логического исчисления как средства открытия новых истин даже в области математики долго оставалась более чем скромной. Зато символический язык математической логики оказался на границе девятнадцатого и двадцатого веков очень важным подспорьем в изучении логических основ математики, поскольку он позволял избегать всякой неточности мысли, которая легко проскальзывает при использовании слов обычного языка, смысл которых дается не точным определением, а созданием привычки к при.
Характеристики
Тип файла DJVU
Этот формат был создан для хранения отсканированных страниц книг в большом количестве. DJVU отлично справился с поставленной задачей, но увеличение места на всех устройствах позволили использовать вместо этого формата всё тот же PDF, хоть PDF занимает заметно больше места.
Даже здесь на студизбе мы конвертируем все файлы DJVU в PDF, чтобы Вам не пришлось думать о том, какой программой открыть ту или иную книгу.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
