Колмогоров, Драгалин - Введение в математическую логику (947386), страница 3
Текст из файла (страница 3)
о х Родословная начинается с простых термов е, х, 1, О, которые ни из чего не «составлены». Дальнейшие термы и заключительная формула получаются прн помощи следую- щих порождающих конструкций: 1. Из термов Т1 и Т» образуется терм Т1* 2. Из термов Т~ и Т2 образуется терм Ть!Т» 3. Из термов Т~ и Т» образуется терм Т,— Т». 4. Из термов Ть Т» и Т» образуется т, г, 5. Из термов Т~ и Т, образуется формула Т1=Т» Первые четыре из встретившихся здесь порождающих конструкций служат для формирования из термов новых тер- мов. Применяя пятую, мы получаем из двух термов формулу.
Вскоре иам встретятся конструкции, создающие из формул формулы, нз формул — терм и т. д. Несмотря на краткость предыдущего изложения авторы рекомендуют читателю уже сейчас попробовать проанализи- ровать строение теремов и формул, встречающихся в специаль- ных 'математических курсах. Что за переменные мы имеем, например, в формуле дифференцирования произведения (ио)'= но'+и'о? (1) Легко понять, что (1) есть высказывательная форма, которая превращается в истинное высказывание, если вместо и и о поставить имена двух диффереицируемых функций.
Несколько труднее объяснить строение формулы (х»)'=2х. (2) Сначала кажется, что здесь х — числовая переменная. Но, подставив вместо х значение 3, получим не имеющую смысла запись (3»)'=2 3. Запись (2) является одной из тех «вольностей», которые на практике математики себе часто позволяют, Можно исправить допущенную неточность, например, так: определить функцию ) равенством )(х) =х и тогда уже законно написать ((г) 13 Занимаясь таким разбором, следует иметь в виду, что переменная есть просто знак (иногда говорят — «буква»), характеризующийся правилами его употребления. В математических книгах часто встречаются, например, указания такого типа: «далее т и и — натуральные числа, а х, у, г— действительные». Конечно, даже при подстановке вместо переменных их числовых значений в рациональные выражения могут получаться выражения, лишенные смысла.
Обра-' тим еще внимание на встретившуюся нам порождающую . конструкцию образования из трех термов х, Т~ и Тьтерма Т, равного 1пп Т,. к т, Для того чтобы терм Т имел смысл, .необходимо, чтобы терм Т1 не содержал переменной х. В терме Т переменная х— «связанная».
В терм 1нп у' е 2 можно подставить вместо у новую переменную х, но получившийся терм 1пп х' 'к 2 является именем того же числа 4. Одйой из наших задач в дальнейшем будет в некоторых случаях довести правила обращения с переменнымн до полной отчетливости. Разберем еще 'несколько примеров, относящихся.к употреблению специальных логических знаков. Как, например, записать без употребления слов обычного языка известное вам определение предела функции: пределом функции 1(х) в. точке а называется такое число В, что для любого е)0 существует такое 6)0, что разность 1(х) — В делается по модулю меньше е, если только (а — х(<6, хват Чисто символическая запись этого определения требует введения обозначений для так называемых нванторов общности и существования и знаков логического следования и равносильности по определению. Символическая запись этого определения выглядит так: !1ш)(х) =В= (!у е)0) (36)0) «~.а (О«.
(х — а( (бэ-(((х) — В ( <е). Здесь 1У вЂ” квантор общности («для всех»), 3 — квантор существования («существует»). 14 Считается, что х„а, е, 6 суть переменные для действительных чисел. Во введении уже было объяснено, почему воэмтпкность излагать -все математические определения и результаты на таком чисто символическом языке имеет принципиальное значение. Полезно уже сейчас поупражняться в чисто символической записи математических предложений.
При этом можно пользоваться кроме кванторов знаками логических связок 1. Л ~/, =».. Здесь ) А означает, что «А неверно», АДВ означает: «А и В», А~В означает: «хотя бы одно из предложений А йли В верно», А=»В означает: «если А то В», Логические связки имеют названия ) — отрицание, Д— конъюнкция, Д вЂ” дизъюнкция, =~- — импликация.
Часто употребляется также логическая связка ч ' «тогда и только тогда», эквиваленция. Она может быть выражена через остальные логические связки следующим образом: А ч='. — (А=~-В) /~ (В=:-А ) . $2. О КЛАССИФИКАЦИИ СУЖДЕНИЙ И ТЕОРИИ СИЛЛОГИЗМОВ НО'АРИСТОТЕЛЮ (1) 15 1. В качестве первого упражнения в употреблении понятий и обозначений математической логики и теории множеств изложим на современном языке фрагмент традиционной логики Аристотеля.
Традиционная логика имеет дело с понятиями. Понятия делятся на единичные и общие, Единичное поняти' — это просто имя определенного предмета. Общее понятие по содержанию определяется указанием совокупности свойств, характеризующих подпадающие под него предметы, Класс предметов, обладающих этой характеристической совокупностью свойств, образует объем понятия. Свойства предметов в математической логике называются одноместными предикатами. В этом параграфе мы будем иметь дело только с одноместными предикатами и называть их просто предикатами, обозначая буквами'Р, О, Н. Высказывательную форму «прэдмет х обладает свойством Р» будем записывать в виде Р(х). Например, если Р есть свойство «быть четным числом», то высказывания Р(10) и Р(1000) истинны, а высказывание Р(1001) ложно.
Совокупность свойств Рь ..., Р„ можно заменить свойством «обладать всеми свойствами Рю и= 1, 2,..., и». Поэтому с точки зрения содержания общее «понятие» традиционной логики есть не что иное, как одноместный предикат. Имея предикат Р, можно образовать класс М (х) Р (х)) всех предметов, обладающих свойством Р, Этот класс и характеризует объем понятия. При условии (1) для любого х имеет место эквивалентность Р(х) «=~-хенМ. Воспользовавшись квантором общности, напишем.
'у' х(Р(х) ««-АМ), «для всякого х имеет место х~М тогда и только тогда, когда Г(х)». Содержательное употребление переменных пред. полагает, что мы заранее фиксировали некоторый непустой. класс О предметов, объектов исследования, которые можно подставлять вместо переменной. И выражение «для всякого х» следует понимать как «для всякого предмета х из класса .О», Класс .О в такой ситуации называется областью изменения переменной х.
При употреблении выражений с переменными следует четко фиксировать область изменения соответствующих переменных. Например, в качестве О может выступать класс всех натуральных чисел, класс всех действительных чисел или даже класс всех множеств. Заметьте также, что О и М мы назвали классами, а не множествами. Как мы увидим позднее, не всякое свойство определяет множество объектов, хотя можно считать, что всякое свойство (записанное в некотором логика-математиче.
ском языке) определяет класс. Множества суть частные виды классов. Область изменения переменной может быть именно клас- сом, но не множеством. В теории силлогизмов Аристотеля могут фигурировать произвольные классы. Аристотель рассматривает четыре типа суждений (в на- шей терминологии — высказываний): А (5,Р) — общеутвердительное: «все 5 суть Р»; Е(5,Р) — общеотрицательное: «ни одно 5 не есть Р»„ 1(5,Р) — частноутвердительное: «некоторые 5 суть Р»; 0(5,Р) — частноотрицательное: «некоторые 5 не суть Р». Подходя к понятиям с точки зрения их объема, можно ' считать, что мы фиксировали некоторый непустой класс О предметов в качестве области изменения переменных. В на- ших словесных формулировках 5 и Р суть классы, состав- ленные из предметов класса .О. По содержанию классам 5 ' и Р соответствуют преднкаты Р и 0: ~хДх) «=»хе5), )ух(0(х) 4=: к~Р), переменная х пробегает класс О.
16 В обозначениях математической логики и. теории множеств получаем такие формы записи указанных выше тинов суждений: зВР или З~Р= И А (3, Р) 'и'х (Р(х) иь О(к)) 'их (Р(х) ~ =~ О(к)) или ~х 1(Г(х) /~О(х)) () Р=о Е ($, Р) ) (3, Р) ~к(Р(х) А б(х) ЗЙРФИ З~,Рчь а или 1 (зс Р) О (3, Р) пх(Р(х) /~ ' О(х)), А(М, Р) А(5, М) А(8, Р) Это так называемый модус силлогизма ЬАгЬАтА. *3. Какие еще существуют аналогичные правила выводар Имеются в виду правила вывода, позволяющие выводить с ждения одного из видов А(Б, Р); Е(Б, Р), 1(Б, Р) илн (Б, Р) из двух суждений типов А, Е, 1 нлн О, из которых первое связывает. понятие Р с третьим понятием М, а вто- Здесь БПР— пересечение классов Б и Р, 'у' х(ББПР«~хеБ/,хеР) .
Б~ Р— разность классов Б и Р, 'Р'х(хяБ~Рч- хяБД ~АР). Б:-Р означает: г/х(хеяБ~хеиР). 1(Бс:-Р) означает: «неверно, что Б~Рь. Я вЂ” пустое множество, Д х ~(х~Я), С помощью зтих обозначений можно формулировать общие логические законы, справедливые при любом выборе соответствующих классов. Так, для любых трех множеств Б,мир (М«=Р) Д (БыМ) =ь. (Быр). В традиционных обозначениях это. высказывание можно записать в виде рое — понятие в с тем же третьим понятием М.
Возможны четыре схемы такого рода правил (в традиционной терминологии — четыре фигуры силлогизма): 1 В ПУ 1У ° (М, Р) (Р, М) ' ° (М,,Р). (Р, М) ° (8, М) (8, М) ° (М, 8) ' (М, 8) (8, Р) (8, Р) '(8, Р) ° (8, Р) В каждой из этих схем вместо точек можно 4'=64юпособами расставить буквы А, Е, г' и О. Получается 256 возможных правил вывода ' (в традиционной терминологии — возможных модусов силлогизма). Однако не все эти правила будут состоятельны. Применение некоторых из инх приводит к ошибкам.
Модусы силлогизма, следуя которым из истинных посылок всегда получаются лишь истинные следствия, назы' ваются правильныма. В аристотелевой логике таких правильных модусов всего девятнадцать. Им даны следующие' названия: 1-я фигура 2-я фигура 3-я фигура 4-я фигура ЬАгЬАгА сЕ!АгЕп1 8Агп (Ег!О сЕвАгЕ сАтЕв!гЕв 1ЕвнпО ЬАгОсО гА!ь1 1ЕгЬО 81«АтЬ ЬОсАг)О ЧАгАр!1 в(Е!Ар(Оп сА!ЕюЕв (гЕ«1«Оп г)(пвА!Ь 'ЬАгпА !1р в(ЕвАрО Гласные буквы в этих названиях указывают на выбор букв А, Е,! или О: Например, модус )Е(АРЮп имеет вид Е(М, Р) А(М, Б) О(8, Р) "г.
е. (МПР=аЛ(М Е) )(Е Р). Эта формула превращается в ошибочное высказывание при Р=М=Ю=Я. Но легко понять, что при непустьгх множествах Р, М и Я наша импликация верна. Аристотель и его последователи вплоть до двадцатого века не признавали понятий с пустым объемом. Со своей точки зрения, онк были правы, признавая наличие девятнадцати правильных модусов. Но для математиков такая позиция крайне неудобна.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
