Колмогоров, Драгалин - Введение в математическую логику (947386), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Например, в течение тысячелетий не удалось установить, ' пуст илн нет объем понятия «нечетное совершенное число» (совершенным называется натуральное число, у которого ! сумма отличных от него делителей равна самому числу). вз При допущении понятий с пустым обьемом правильных модусов остаются только пятнадцать (выпадают модусы, отмеченные выше звездочками). $ 3. О ПОНЯТИИ МНОЖЕСТВА 1. В математических руководствах и работах, кзк правило, имеют дело не с произвольными классами, а с множествами.
Поясним смысл этого различия. Предположим вначале, что мы не делаем различия между классами и множествами и свободно вводим в рассмотрение множества по схеме М=.(х~ Р(х)), где переменная х рассматривается как пробегающая множества (так называемая схема свертывамия). Если формула Р не содержит других свободных переменных кроме х, то терм (х!г"(х)) по самому замыслу этого обозначения должен быть именем определенного множества (переменная х при его образовании «связана»). Например, если у есть числовая переменная пробегающая множество всех действительных чисел, то (у!у'=Ц есть имя множества ( — 1, Ц.
Рассмотрим терм (х!хЖх), где х — переменная для множеств. Он является именем для' множества Й всех тех множеств, которые не являются своими собственными элемента.ми. Но свойства множества Л должны были бы быть странными. В самом-деле, по смыслу его определения для любого множества М имеем Меягг«=»М 4' М. В частности, в качестве М можно взять и сами )?, так как мы считаем, что 1г' — также полноправное множестзо. Мы получим Л Е)? «-.»ЬМ )?. Но это противоречие. В самом деле, что можно сказать о высказывании )?~)г? Если !г~)?, то )?Ф!г, и, наоборот, если )?Ф)?, то )ген!т! Мы изложили «парадокс Рассела», открытый в 1902 году Немного ранее были открыты другие парадоксы, в частности, связанные со свойствами «множества всех вещей» и «множества всех множеств».
Математики были поставлены перед необходимостью наложить запрет на способы рассуждения, приводящие к противоречиям. В случае парадокса Рассела надо было либо а) признать незаКонным само определение множества 1г' при помощи схемы свертывания, либо же б) опротестовать какое 19 либо звено дальнейших наших рассуждений. Отказаться от этих совершенно элементарных приемов рассуждения о множествах было бы затруднительно. Они часто применяются в более элементарных случаях и там не приводят к противоречиям.
Поэтому достаточно единодушно, в математике принято считать незаконным неограниченное определение с помощью схемы свертывания. Вообще было решено считать законным введение в рассмотрение новых множеств лишь в строго оговоренных случаях. 2. В общем случае считается, что схема '(х(Р(х)) определяет некоторый класс М, который, вообще говоря, может оказаться и не мнвжествотл. Важно, что переменная х пробегает по-прежнему множества, так что М вЂ” класс, элементы которого суть множества.
Для М по-прежнему выполняется определяющее соотношение -~ х(х~М~=-Р(х) ). В обычной теории множеств запрещено образование классов, элементами которых были бы собственно классы, не множеетва; если х и М вЂ” классы и имеет место хе=-М, то класс х необходимо есть множество. При таком понимании классов рассуждения в парадоксе Рассела уже не ведут к противоречиям; т( есть класс всех множеств х, таких, что х~ех, и наше рассуждение доказывает только, что класс Я не является сам множеством! 3.
Пусть Р и 6 — два предиката и х — переменная, пробегающая некоторый класс Й объектов. Будем говорить, что нредикаты Р и 6 эквивалентны, если при любых х из Р(х) вытекает 6(х) и из 6(х) вытекает Р(х): 'у' х(Р(х) ~.6(х)). Мы считаем, что два эквивалентных предиката определяют один и тот же класс: (х(Р(х)) =(х(6(х)). Это означает, что мы к понятию класса подходим с точки зрения его объема и изучаем классы с точностью до равносильности определяющих эти классы предикатов. Отсюда, если М и Ф вЂ” два класса, то М=Ж~=~'р' х(хенМ~=~хенФ). Это и есть так называемый принцип объемности (экстенсиональности).
Его можно сформулировать также следующим образом: два класса равны в том и только в том случае, ' когда каждый элемент одного из них принадлежит второму ( и, наоборот, каждый элемент второго принадлежит первому. \ 20 4. В каких же случаях классы оказываются множествамиг Сейчас мы перечислим лишь некоторые важнейшие правила образования множеств. 1) Пустой класс Я является множеством. Это множество характеризуется, тем, что ему -не принадлежит ни один предмет: 'у' х(х 5ЙЯ).
2) Для любого множества М существует множество (М), состоящее только из элемента М: 'р' у(у~(М) ---у=М). 3) Для любых двух множеств Мг и Мг можно образовать нх объединение, пересечение и разность. Это — вновь множества, характеризуемые эквивалентностями: у~Мг0Мг~ уеиМЙу~Мг, уенМг() Мг ~=г) е= Мг Л уен Мг, уяяМг" Мг~=: уяМгЛуФМг Правила 2) и 3) позволяют ввести в рассмотрение все конечные семейства множеств. Кроме того, постулируется и существование некоторых бесконечных множеств.
4) 'Существует множество ы всех натуральных чисел, множество Й всех действительных чисел, множество Е всех комплексных чисел и т. д. Фактически существование множеств Й и Е можно уже доказать исходя из существования множества а натуральных чисел, но мы не будем этим заниматься. 5) Для всякого множества М существует множество Р(М) всех подмножеств М: хеиР(М) ~=-хаМ, . .здесь хеМ р х(хя х тее= М).
Для любых множеств Мь Мг существует множество (Мг-+Мг) всех отображений из Мг в Мг. Его обозначают также черезМг ' и называют множеством-степенью Мг и Мь Вместо ~ен (Мг-+-Мг) часто пиш)()' ): Мг+.Мг. Упражнение. Пусть М, Мь Мг — конечные множества, содержащие соответственно т, тг и пгг элементов. Докажите, что Р(М) содержит 2 элементов, а (Мг-+Мг) содержит гпг' элементов. 6) Если М вЂ” множество и Р(х) — произвольный предикат теории множеств, то можно образовать множество М' с помощью следующего частного случая схемы свертывания: „М'= (х( (хыМ) ЛР(х) ).
21 й(ы вводим обозначение М'= (хенМ(Р(х)) и говорим, что М' получено по схеме выделения из множества М. Определяющее свойство М' таково:. хенМ'»= (хяМ) ДР(х). В частности, если переменная г пробегает множество К„ то-можно .образовать множество по схеме свертывания (х(р(г)), так как она в этом случае сводится к схеме выделения (г~г~Кдр(г)).
Заметим, что класс всех множеств У, характеризующийся утверждением у х(хееУ), сам множеетвом не является..Действительно, иначе множеством оказался бы и класс Рассела. Его можно было бы определить по схеме выделения (хе=У(хйе х). Некоторые дальнейшие способы образования множеств мы рассмотрим в следующем параграфе. Замвтим, что семейство множеств образует столь мощную и гибкую структуру, что в математике практически нет необходимости использовать собственные классы. Обычно в математике собственные классы используются .
лишь как способ выражения. Вместо того чтобы говорить о конкретном условии или предикате г'(х), говорят о классе (х(г(х)) объектов, определяемых этим предикатом, причем упоминания о классах можно избежать, вновь вернувшись к условию, определяющему 'рассматриваемый класс. Именно в таком стиле говорят о классе всех групп или классе всех. линейных пространств и т.
п. $4. ОТНОШЕНИЯ И ФУНКЦИИ 1. Существуют различные способы введения «упорядоченной пары» двух предметов. Мы считаем, что для всяких множеств а и в существует множество . (а, 6) — упорядоченная пара а и в. Основное свойство этого множества таково: для любых х,у,х',у'имеем . + (х, у)=(х', у')»»-(х=х')/~(у=у'). Множестио всех таких пар (х, у), что хеяМ и у~И, где М и й( — множества„называется декартовым„или прямым, произведением множеств М и )У и обозначается через МХИ. То обстоятельство, что МХй' есть именно множество, равно как и то, что упорядоченная пара есть множество, сле- дует рассматривать сейчас как правила образования новых множеств.
В следующей книге мы докажем, что эти правила выводятся из остальных. Упражнение. Пусть Мг и Мг — конечные множества, содержащие соответственно тг и тг элементов. Докажите, что МгХМг содержит ровно тг тг элементов. Кроме того, допускают, что для любого множества М .существуют множества бот (М) = (х1 1У((х, у) еиМ) ), гпа(М) =(у~ ~х((х, у)М)), всех первых элементов пар из'М и всех вторых элементов пар из М. Ясно, что если М вЂ” множество пар, то Мыбош(М) Хгпд(М). 2. Понятие отношения между двумя предметами широко употребляется в математике и за ее пределами.
Говорят об отношении параллельности н перпендикулярности между пря- мыми, строгого и, нестрогого неРавенства между числами н т. д. (обозначения а~!Ь, а1 Ь, х«..у, х<у). К отношениям в этом первоначальном, еще строго не определенном смысле слова можно, как и к понятиям, подой- ти с точки зрения объема н с точки зрения содержания.
С точки зрения содержании отношение определяется ука- занием высказывательной формы, указывающей на связь предметов в отношении: а!~Ь вЂ” «а и Ь суть прямые, лежащие в одной плоскости и не имеющие общей точки». х«:-'у ='у' х(хе=х=»хе=у). Можно образовать класс пар, связанных данным отношением как высказывательной формой, напримеР, ( (х, у) !х':-у), ио этот класс может и не быть множеством.
С точки зрения объема высказывательная форма пол- ностью характеризуется указанием класса пар объектов нм' связанных. Мы примем по определению, что отношением называется любое'множество пар. Если И вЂ” отношение (т. е..просто множество пар), то говорят, что предметы х и у связаны от- ношением.й, если пара (х, у) есть элемент й.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
