Колмогоров, Драгалин - Введение в математическую логику (947386), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Высказывание «предметы х и у связаны отношением гг» .записывают: х)ту. Таким образом, х)ту=(х, у) еи)т. Если )т =МХУ, 23 то говорят, что отношение й есть отношение, определенное между элементами множеств М и Ф. Если й~МХМ, ' то говорят, что отношение Р определено на множестве М Ясно, что каждое отношение )с есть отношение, определенное между йошй и гпа'Р, и является отношением на дошЩ гпй К. Иногда говорят об отношениях принадлежности и вклю.
чения одного множества в другое, считая знаки ен и а знанами этих отношений. Следует иметь в виду, что здесь мы не имеем отношения в смысле нашего определения ' именно потому, что соответствующий класс пар не является множеством. Если бы существовало множество Е всех пар множеств (х,„у), 'для которых х~у, то существовало бы и множество бош Е. Но легко видеть', что оно было бы запретным множеством «всех множеств». Любое свойство пары предметов будем называть двуместным нредикатом. Например, знак ы есть знак двуместного предиката «быть элементом множества».
Высказывательнал форма, выражающая применимость предиката г к паре предметов (х, у). стандартно пишется Р(х, у). При такой системе записи вместо хяМ пишут ен(х, М). Если существует множество, К=((х, у) ~Р(х, у)), то Г(х, у) «=»хну. В этом случае говорят, что предикат.Р имеет график К Мы видели, что не всякий предикат имеет график. Иногда, следуя Бурбаки, отношением называют тройку (Мь Мм Р), где йс=М1ХМм н говорят, что это — отношение между элементами множеств М1 н Мь Таким образом, в само понятие отношения включаются области, откуда берутся элементы пар, Нам такое определение представляется неудобным, и мы всюду далее ему ие следуем.
3. Отношение й называется функциональным отношением, короче функциеи, если для любого х в Р содержится не более одной пары (х, у) с первым элементом х. В логической записи Р есть функция, если (ху уь )Ы/~ (х, у») ~Е'~ у1=уь Записанное здесь условие называется условием униформности (по второй координате). Таким образом, функция есть отношение, униформное по второй координате. Как для любого отношения, для функции ( определяются множества дот()) и гпй()).
Множество дош()) называется областью определения функции ), а множество гпу()) множеством значений функции 1. Функции иначе называются еще отображениями,-отображение» есть 1) отображение М на М, если М=йот(Г), »У=тпй (4); 2) отображение М в»ч', если М=йот(1), гпп()) с:-)ч'; 3) отображение из М на»)(, если йош(1)ыМ, гпд(~) =№ . 4) отображение из М в»»»', если йогп(() ~М, гпп(г) ~)ч'. Отображение типа 1) называется также сюръен»(ией М на»»». Единственный предмет у, для которого при данном халат(() имеет место (х, у) еи(„обозначается ((х).
Для любых двух отношений 1»' и 5 определяется нх «композиция» 5')г — (( х, г) ! ~у(((х, у) яЯ) Д((у, х) е5))) Уп р аж пение. Докажите, что композиция двух функций есть функция. Заметьте, что пустое множество также есть функция, «нигде не определенная функция». Отношение 5-'= ((х, у) ((у, х) ы5) называется отношением, обратным к отношению. 5. Отношение, обратное к функции, не всегда является функцией.
Если г-» — функция, то функция ) называется обратимой, или биенцией. Называя функции отображениями, говорят в этом случае о взаимно однозначном отображении йот()) на гпд((). Фиксируем натуральное число в», Функцию, область определения которой состоит из упорядоченных последовательностей ( х», ..., х ), называют функцией т переменных и вместо)((х»,...,х, )), пишут)(хь...,х ).
у Рассмотрим операции пад множествами, такие как Рх', х()у, хну, Нельзя рассматривать знак Р в выражении РХ (множество всех подмножеств множества х) как знак функ. ции„так же и знак 0 в выражении х()у нельзя рассматривать как знак функции двух переменных. Дело в том, что, например, ((х, у) (Рх=у) есть уже собственный класс, а не множество. Функция же по определению есть всегда множество. Однако если ограничить область определения операции множествами, то ограниченная таким образом операция уже является функцией. Так, если М,— множество, то ((х, у) ! хеиМ, Рх = у) также есть множество. Это — один из фундаментальных принципов образования множеств, принцип подстановки.
4. 3 а м е ч а н и е.' На практике используются иногда термы, не определенные при некоторых значениях переменных. Например, в терме Т вида 1/(х«+1982х+1) можно заранее условиться, что х — числовая переменная, ио в случае х'+1982х+1=0 выражение Т не имеет смысла. Для того чтобы- решить, при каких х это случится, надо решить уравнение пятой степени. Если желать, чтобы правила, по которым термы отличаются от «не термов», были просты и эффективно применимы, приходится либо а) признать существование «бессмыс-. ленных» терман, либо б) приписать подобным термам искусственно какой-либо смысл. В теории множеств удобно идти именно по второму пути, хотя на первый взгляд он расходится с практикой элементарной алгебры и школьной математикой.
А именно,.считают, что терм Т всегда имеет значение, но для х'+1982х+1=0 . это есть некоторое отдельное, специально выделенное значение, например некоторый формальный символ «бессмысленно». При таком подходе — = 15 ложно (так как число 15 не О / 1 равно символу «бессмысленно»), а формула 1 ( — = 15) уже '1 О истинна. й з..мАтеиАтичйские стРУктУРИ 1. С конца 19-го †,начала 20-го века укоренился обычай излагать концепции каждой специальной -математической теории на языке теории множеств. Например, теория групп изучает группы, а каждая группа есть пара (А,«), где А есть непустое множество (элементов группы) а «есть функция, сопоставляющая каждой паре (а, Ь ) элементов множества А некоторый элемент множества А, обозначаемый через а* Ь.
При этом операция * удовлетворяет хорошо известным аксиомам группы: 61. (а«Ь) «с=а«(Ь«с). 62. Существует элемент еепА, такой, что для всех а~А, а«е =е«а=а. 63. Для всякого элемента а существует элемент Ь,такой, что а«Ь=Ь«а=е. Аналогично, кольцо — эФо тройка (й, +, .), состоящая из непустого множества 1( и двух функций + и от 26 двух переменных, отображающих ЯХ)г в )г. Прн этом вы- полняются следующие требования (здесь а Ь мы коротко записываем как аЬ): й1.
а+Ь вЂ” Ь+а, й2. а+Ь(Ь+с) = (а+Ь)+с, йЗ. 'у'а~Ь31 с(а+с=Ь). Л4. а(Ьс) (аЬ)с. )х5. а(Ь+с) =аЬ+ас. Яб. (а+Ь)с=ас+Ьс. Аксиома ЯЗ гарантирует нам возможность и единственность вычитания. Знак 31 заменяет фразу: «существует н единст- венный». Прн желании мы могли бы обойтись н знаком 3, например, аксиому РЗ можно было бы записать в таком виде: 'фа~/Ь((йс(а+ с= Ь)) Л 'ус1ус,Яа+с, =Ь) Л Л (а+ с» = Ь)) =>(с1 = с»)))).
Два закона днстрибутивности умножения относительно сло- жения появились нз-за того, что в общем определении кольца не предполагается коммутативность умножения. Примеры некоммутатнвных колец. известны нз курса линейной алгебры; таковы кольца квадратных матриц порядка »2.
Интересую- щие нас далее булевы кольца, впрочем, коммутативны. Нетрудно вывеспн нз аксиом И вЂ” г(6, что в кольце сущест-' вует единственный элемент о (нуль кольца), такой что 'у' а(а+о=а), 17' а(оа=ао=о). В кольце имеется не более одного элемента е, такого, что у' а(ае=еа=а). Элемент е называют единицей кольца, Бывают кольца и без единицы: например, кольцо всех четных чисел относи- тельно обычного сложения н умножения. Кольцо называется полем, если умножение коммутатнвно н обладает свойствами группы на множестве элементов, от.
лнчных-от о. Приведем некоторые примеры колец. 1) Колько Р из двух элементов (О, 1), где операции сло- жения н умножения выполняются по пюб 2: 0+0=1+1=0, 0+1=1+0=1, 0 0=0.1=1 0=0, 1 1=1. Это кольцо является полем. 2т 2) Л= (О, 1;.2, 3). Операции задаются таблицами О!2З О12З оооо О!2З О2О2 ОЗ2! О 1 2 3 . о 1 2 3 О 1 2ЗО! 3 О 1 2 Из таблицы сложения. видно, что операция + коммутативна (И), и поскольку в любом столбце и любой строке каждый элемент встречается ровно один раз, то выполнена аксиома РЗ.
Справедливость остальных аксиом вытекает из того, что элементы ' нашего кольца складываются и умножаются как остатки.от деления на 4 и, следовательно, на них переносятся свойства ассоциативности н дистрибутивности, верные для целых чисел (проверьте!). 3) Я=(0, 1, 1, 1+4). Операции сложения и умножения задаются таблицами О 1 ! 1+! О 1 1 !+Г О 1 1 '1+1 1 О 1+1 1+1 О 1 о о о о О 1 ! 1+1 О 1 1+1 ! О 1+т 1 1+! 1+! ! ! О 1+! Опять-таки видно, что аксиома РЗ выполнена. Далее, так как в таблице умножения элементов 1, 1, 1+( в каждой строке и столбце встречается по одному разу каждый из этих элементов, то выполнима операция деления иа ненулевой элемент.
Для проверки остальных аксиом представим каждый элемент нашего кольца в виде а+Ь(, где а и Ь равны О или 1, имея в виду, что 0+0.1=0, О+1 2=1, 1+О 1=1, 1+1 1=1+!. Тогда операция сложения получает простое описание; чтобы сложить а+Ь( и с+Й, надо совершить сложение по тод2 коэффициентов (а+Ьа) + (с+гЬ) = (а+с)+(Ь+г()й цтобы перемножить а+Ь1 и с+й, надо совершить почленное умножение, воспользоваться соотлношением ем=1+1, а затем привести подобные члены (а+Ь1) (с+й)'=ас+ (Ьс+ад)3+Ьд/г= = (ас+Ьд)+(Бе+ад+Ьа)г.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
