Колмогоров, Драгалин - Введение в математическую логику (947386), страница 6
Текст из файла (страница 6)
У п р а ж н е н и е. Пользуясь этими замечаниями, прове- дите самостоятельно проверку выполнения оставшихся ак- сиом. Другой путь проверки выполнения аксиом кольца вытекает из следующего замечания: элементы О, 1, г', 1+1 могут рас- сматриваться как остатки от деления многочленов от пере. менной 1 на многочлен 0+1+1, при этом сложение и умно- жение остатков в точности отвечает нашим, операциям в кольце.
Отметим, что полученное кольцо является полем'. 4) Р=((0, 0), (1, 0), (1, 0), (1, 1)). Операции сложения и умножения выполняются почленно в соответствии с правилами 0+0=1+1=0, 0+1=1+0=1, 0 0=0 1=1 0=0, 1 1=1, т. е. члены пары (а, Ь ) рассматриваются как элементы кольца Гг. В соответствии с этим кольцо )г обозначают 0'.
Пример 4) является частным случаем такой общей кон- струкции новых .колец. Пусть дано кольцо (Р, +, ), Образуем множество Я всех упорядоченных:последователь- ностей (хь хв ...,х ) длины гп элементов из Р (сокращенно — «гп-ок элементов из Й»). Операции сложения и умножения в Л™ будем выпол- нять почленно: (хь ..., хт) + (уь ..., уп~) = (х~+уь ..., хп~+у~г ) ( хь ..., хт ) ' (уь .", ут) = (х1 уь ...~ хщ'утд) ° Легко понять, что получается новое кольцо, котороа также обозначается через Й™".
2, Группы и кольца являются примерами математических структур. В качестве следующего примера рассмотрим струк- туру упорядоченного поля. Так называется структура вида (й, + ., <) где (й, +, ) является полем, а «ест; отношение на множестве Р, удовлетворяющее следующим аксиомам строгого упорядочения: 1) 1 (а(а); 2) а(Ь/~Ь(с=~-а -с; 3) а< Ь\/а=Ь~/Ь(а; 4) а(Ь=~-а+с(Ь+с; 5) о(аЛЬ(с=таЬ(ас.
Например, множество действительных чисел с естествен ными операциями и упорядочением образуют структуру-упо рядоченного поля. 3. Общее определение математической структуры доста точно громоздко. Ограничимся определением математиче ской структуры первого порядка. Такая структура представляет собой набор объектов, состоящий из 1) некоторого конечного запаса основных множеств Мь ...,М причем каждое из множеств Мь непусто; 2) конечного запаса отображений- из декартовых произ. ведений Мь в Мь т. е.
отображений вида Г:Мь,х... хМ;„- М;, 3) конечного запаса отношений на Мь, т. е. конечного запаса подмножеств й Мь,х ...хм;,. Таким образом, структура первого порядка 5 имеет вид (М, -, Мй 1о -., 1; )~, - Я ) где Мь ..., Мь — основные множества 5; ьь, ..., ) — операции 5 и йь, ...,˄— отношении Л. Обычно рассматривают целый класс структур, удовлетво- 'ряющих одним и тем же условиям.
Такой класс образует род структур, Например, кольца — это один род структур, груп- пы — другой род структур. В математической логике условия, определяющие род структур, записывают в виде формул в точных логико-мате- матических языках. Для структур первого порядка с этой целью используются языки первого порядка. Математические структуры играют роль интерпретаций, моделей таких языков. 4. В качестве примера структуры, не являющейся структу- рой первого порядка, рассмотрим определение гопояогиче- ского пространства.
Топологическим пространством назы- вается пара '(Х, Т), где Х вЂ” непустое множество, элемен. ты которого называются точками топологического пространст. ва. Т есть семейство подмножеств Х, Т~Р(Х)', элементы которого называются открытыми подмножествами Х. Само семейство Т называется топологией пространства (Х, Т), При этом должны выпвлняться следующие требования: 1) ЯенТ, ХенТ, 2) Уь |3зенБ~ИьПБьеиБ, 3) для произвольного семейства (Уь ~ ьы)) открытых множеств их объединение 0 ььь также открыто. зо Типичным примером тдпологического пространства является множество действительных чисел, если .
открытыми множествами считать все возможные объединения открытыяинтервалов. 5 В. БУЛЕВА АЛГЕБРА' 1.. Для математической логики особое значение имеют структуры, называемые булевыми кольцами и булевыми ре. тетками. Эти структуры тесно связаны между собой. Булевы кольца выделяются из всех других двумя допол- нительными аксиомами: Р7.
~еу'а(ае=еа=а), В1г8, у'а(па=а). Аксиома В7 есть аксиома существования единицы. Из аксиом И вЂ” Я7 легко выводится, что единица в кольце только одна. Более специфична аксиома В)78. У пр а ж н е н и я. а) Проверьте, что новые аксиомы )77 и В1(8 выполнены в кольце Р, так что кольцо 0 — булеза. б) Докажите, что если  — булево кольцо, то В'" — так- же булево кольцо для всякого натурального т~О. в) Докажите, что булево кольцо 0 имеет 2 элементов. Его единица есть т-ка (1, 1,...,1), а нуль (О, О,,О).
Мы увидим вскоре, что каждое конечное булеза кольцо изоморфно какому-либо из колец Р"'. 2. С каждым множеством Е, .состоящим из т элементов, связаны два кольца, изоморфные Р, 1) .кольцо Рв определенных на Е функций со значе- ниями из Р. 2) кольцо Р(Е) всех подмножеств множества Е с опера- циями А+В= (АЦВ)~ (АЙВ), А В=АПВ.
Естествейное изоморфиое отображение Р(Е) иа Рв уста- навливается, если подмножеству Ас: — Е поставить в соответст- вие его характеристическую функцию ( 1, если хеи А, ! О, если хд А. Чтобы получить изоморфное отображение Рв на Р'", рас- положим элементы Е в определенном порядке: еь ем...,е . Функции )( из Ре поставим в соответствие набор (х(е1), Х(ез), ..., Х(е„)) енР .. В кольце Р(Е) рассматривается унарная операция взятия дополнения ЫЕ А =Е+А.
Очевидно, ' А=А, А Х=Я. Операцию объединения множеств в Р(Е) можно определить через операции кольца: А()В= (А+В)+АВ. Свойство А~В можно записать в виде А В=А илн А()В=В. Отношение включения. обладает следующими свойствами: АыС/~ВыС=»А+Вс:-С. Сделаем еще одно замечание. Всякое непустое подмножество А может быть получено как объединение одно- элементных подмйожеств множества Е. Поскольку объединение непересекающихся множеств совпадает с их суммой » » Ц Аь = А» 0 () А» = 1)' Аг = А» + .
+ А» г=! ьм получаем А = ~~' (а). а ел Заметим, что одноэлементные подмножества (а) могут быть определены как минимальные элементы отношения Й, т. е. такие подмножества А, что А~=Я и, кроме того, В~А="-(В=Я) ~/(В=А). 3. Описанные нами выше свойства булева кольца подмножеств тривиальны н непосредственно следуют из содержательного смысла введенных операций сложения и умножения. Замечательно то, что все приведенные выше построения можно произвести в любом конечном булевом кольце, опнраясь на аксиомы булева кольца.
Результатом таких построений явится теорема' о том, что всякое конечное булево кольцо устроено как булево кольцо всех подмножеств некоторого конечного множества. Л ем м а. В любом булевом кольце имеют место свойства (1) а+а=о; . (2) а+Ь=о=ь.а=Ь; г (3) а Ь=Ь а. Р Подставим в ВР8 вместо а сумму с+а и в левой части раскроем скобки (е+а) ° (е+а) =е е+а е+е а+а.а= =с+а+а+а= (е+а)+(а-1-а) =е+а, Из единственности вычитания (РЗ) получаем а+а=о. Из единственности вычитания из (1) получаем (2).
Докажем (3). По ВР8 имеем (а+Ь) Са+Ь) =а+-Ь, Преобразовав левую часть, получим (а+Ь) (а+Ь) =а+Ьа+аЬ+Ь= = (а+Ь) + (Ьа+аЬ) =а+Ь, откуда Ьа+ аЬ = о, т. е. в силу (2) аЬ=Ьа. П Элемент а+е называется дололнением к элементу а и обозначается а. Для дополнений имеем (4) а=а; (5) а+а=е; (6) аа«=о. б а= (а+с) +с=а+ (е+е) =а.
а+а=а+ (а+е) = (а+а)+е=е. аа=а(а-(-е) =а+а=о. П Введем отношение к, положив а~6= аЬ=а. Скажем, что а<Ь, если а~Ь и аФЬ, (7) а~ЬЛЬ кс=ь.а~с. (> Действительно, если аЬ=а, Ьс=Ь, то ас,= (аЬ)с=а(Ьс) =аЬ=а, П Свойство (7) транзитивности отношения ~ означает, что отношение ~ устанавливает в В «частичный порядокь. Легко проверить, что отношение также траизитивно. Специфи. ческим свойством этого отношения частичного порядка яв- ляется следующее.'' ' (8) а.«, с Л Ь «с с=ьа+ Ь м; с, (9) аЬ~а.
г Проверим (8), Дано ас=а, 6с=Ь«тогда ас-(-Ьс = а+ Ь, т. е. (а+Ь)с=а+Ь. Проверим (8) Имеем (аЬ)а= (аа)6 =аЬ. П Минимальные элементы по отношению ~ называются ~томами. Иными словами, элемент а~В, аМо называется атомом, если Ь~а=ь (Ь=оУЬ=а). Л е м м а. Если  — конечное булево кольцо и Ь~В, ЬФо, то существует, атом а, а~Ь.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
