Филиппов - Сборник задач по дифференциальным уравнениям (947325), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Представлня правую часть в виде степенного ряда и приравнивая коэффициенты при оцинаковых степеннх х в обеих частях уравне- ния,получаем 2аг = — 1, баз = 4 — 2аг, 12а4 = 4 — Заз, ... Отсюда находим 1 аг = — —. 2 Следовательно, 1 а4 = — , 8 5 аз = — , 6 1 г 5 з 1 4 у=2-]-х — — х -]- — х + — х + 2 6 8 5. Для уравнении „,( )убя+„„( )у~"-г]+ ... +р„(.)у=О, (щ у которого все рч(х) аналитические в окрестности точки х = 0 и ро(хо) = О, т. е. коэффициент при старшей производной обращаетсн в нуль в точке хо, решений в виде степенного рида может не 218. Зависимость решения от начальных условий 113 существовать. В этом случае могут существовать решения в виде обобщенных степенных рядов оо(х — хо)'+ос(х — хо)'~ +из(х — хо) х + ...
(12) где число г не обязательно целое (см. (1), гл. К1, З 2, и. 2, нлн (4), гл. 2, З 7). Чтобы их найти, надо подставить ряд (12) в уравнение (11) н, приравняв коэффициенты прн наименьшей степени (х — хо), найти возможные значения показателя г, а затем для каждого из этих значений г определить коэффициенты аь 1056. Оценить, на сколько может измениться при 0 < х < 1 решение уравнения р' = х, + з1п р с начальным условием р(0) = до = О, если число до изменить меньше, чем на 0,01.
1057. Оценить, на сколько может измениться при 0 < 1 < Т решение уравнения маятника х+вшх = 0 с начальными условинми х(0) = О, х(0) = О, если в правую часть уравнении добавить такую функцию ~р(1), что !~р(1)! < 0,1 (т. е. если приложить некоторую внешнюю силу). 1058. Чтобы приближенно найти решение уравнения х+ в1пх = О, его заменили уравнением х + х = О. Оценить при 0 < 1 < 2 возникающую от этого ошибку в решении с начальными условиями х(0) = 0.25.
х(0) = О. если известно. что !х — в1пх! < 0,003 при !х! < 0,25. В задачах 1059 — 1063 оценить ошибку приближенного решения на указанном отрезке. 1О50. д' = —,* —, '„, р(О) = 1; д = 1 — -*„!х! < -',. 1060. х,=х — р, р=йх, х(0) =1, р(0) =0; х' 1+1+ 3 р 3 !Е! <01 1061. ди — хзр = О. у(0) = 1. д'(0) = 0: д = еи с'з. !х! < 0.5. 1062. д' = 1 + х, д(0) = 1", д = 1 + х, 0 < х < л. 1063.
д' = 2хрз+ 1, д(О) = 1; р = ~~, !х! < 1л. Указание. Сначала выделить ограниченную область, в которой содержится приближенное решение д и. предположительно, точное решение д. Для этой области оценить постоннную в условии 114 З 18. Зависииасть решения вт начальных условий В задачах 1064 — 1073 найти производные по параметру или по начальным условинм от решений данных уравнений и систем. 1064. у' = у+ рс(х+ у ), у(0) = 1; найти дл "~в=о 1065.
у' = 2х+ рсдз, у(0) = рс — 1; найти вл ая ~я=о найти — "- д ве в„о' 1066 у' = у+ уз+ хдз~ у(2) = уо; найти дв д р и=о 1067. $ = — с + 1сЬе ', х(Ц = 1; найти де д " н=о 1068. ас = х~+1сЬхз, х(0) = 1+уй 1069. х = 41д~, х(0) = О, найти — *~ у = 1+ 5рх, у(0) = 0; ~"!в=о х = ху+ 1': х(Ц = хо, 12д= — д, у(Ц = уо; во=2 х = т + у, х(0) = 1+се, 1071. найти у = 2х+ру~, у(0) = — 2; ДОта.: — =(. и Цз-рхз: х(0) = —,'. х(0) =-1; найти дв а Р „,' 1078. х= '-,— —.', .(Ц =1,;(Ц=Ь; й а*,~,, Указание. При Ь = 1 решением служит функциях = И В задачах 1074 — 1078 найти 2 — 3 члена разложения решении по степеням малого параметра сс.
1074. д' = 41лх — уз. д(Ц = 1. 1075. д' = з — 51сх, д(Ц = 2. 1076. ху' =,ихз+ 1пу, у(Ц = 1. Лившица, затем оценить )д — у!. С помощью этой оценки проверить, содержитсн ли д в выделенной оплести. З 18. Зависимость решения от начальных условий 115 1Отт. д' = -'~ — у', у(1) = 1+ Здь 1078. у' = е" *+ру, у(0) = — р. Для уравнений 1079 — 1085 с помощью метода малого параметра (см. [4), гл. 2, З 8) найти приближенно периодические решения с периодом, равным периоду правой части уравнения; р — малый параметр. 1079.
х+ Зх = 2я1пс+ рхз. 1080. х+ бх = сов 21+ рхз. 1081. х.+ Зх+ ха = 2рсоь|. 1082. х+ ха = 1+ у,яп1. 1083. х+ яп т = р яп2~. 1084*. х+ х = япЖ вЂ” яп2с+ рхз:, найти лишь нулевое приближение. 1085ь. х+ х = Ор сйпС вЂ” хз В задачах 1086 — 1090 с помощью метода малого параметра (см. [4), гл. 2, з' 8, и. 4) приближенно найти периодические решения данных уравнений. 1086. х+ х — хз = О.
1087. х+ х+ хз = О. 1089. т, + х = д(1 — хз)х. 1088. х+ япх = О. 1090. х+ х = д(х — хз). В каждой из задач 1091 — 1097 найти в виде степенного ряда решение, удовлетворяющее данным начальным условиям. Вычислить несколько первых коэффициентов ряда (до коэффициента при х4 включительно). 1091. у' = уз — х; 1092. у' = х+ 1; 1093. у' = у+хе"; 1094. у' = 2х + соэ у; 1096 „г а+уз, у(о) = 1. у(о) = 1. у(о) = О. у(о) = о. у(1) = 1.
Пб 118. Зависимость решения от начальньсх условий 1096. ун = хр' — уз; д(0) = 1, д'(О) = 2. 1097. уи = у'з + ху; у(0) = 4, у'(0) = — 2. 1098*. Построив мажорирующее уравнение (см. (2), 8 18), оценить снизу радиус сходимости степенного ряда, представляющего решение уравнении у' = уз — х с начальным условием д(О) = 1. 1099*. Оценить, с какой точностью можно получить при ~х~ ( 0,2 решение уравнения у' = е" — хзу с начальным условием у(0) = О, если в степенном ряде, представляющем решение, взять только четыре члена (до оех~ включительно).
В задачах 1100 — 1109 найти линейно независимые решенин каждого из данных уравнений в виде степенных рядов. В тех случанх, когда это легко сделать, сумму полученного ряде выразить с помощью элементарных функций. 1100. уи — хзр = О. 1101. уо — хр' — 2у = О. 1102. (1 — хз)ун — 4ху' — 2у = О. 1103. (хо + 1)до+ бху'+ Зд = О.
1104. (1 — х)дн — 2у' + у = О. 1106. (хз — х+ 1)до+ (4х — 2)д'+ 2д = О. 1106. ди — ху' -ь ту = О. 1107. ун -Ь уашх = О. 11О8. хдн+ д1п(1 — х) = О. 1109. до' — хун+ (х. — 2)у'+ у = О. В задачах 1110 — 1116 найти те решения данных уравнений, которые выражаются степенными (или обобщенными степенными) ридами. 1110. хуо+ 2у'+ ху = О. 1111. 2т ун+ (Зх — 2х~)у' — (х+ 1)у = О. З 18. Заоисилсость решения от нач льнах уилсона 117 1112.
9хгуо (хг 2)у О хгуо хгус+ (х 2)у О 1114. хгуи+ 2ху' — (хг + 2х+ 2)у = О. 1115. хуи — ху' — у = О. 1116. хуи + у' — ху = О. 1117*. Найти с точностью до О(хз) при х — + О решение уравнения хуо+у' — ху = О, линейно независимое с решением, указанным в ответе задачи 1116. В задачах 1118 — 1120 указать, имеют ли данные уравнения решение в виде степенного ряда (или обобщенного степенного ряда). 1118. хгуи + ху' — (х + 2) у = О.
1119. хгуо+ ху'+ (1 — х)у = О. 1120. хгуо+ (Зх — 1)у'+ у = О. В задачах 1121 — 1125 найти в виде тригонометрических рядов (см. (1), гл. ч'1, 8 1, п. 3 или (4), гл. 2, 2 7) периодические решения данных уравнений. 1121. уи — Зу = Дх), Дх) = (х! при ~х~ ( л, Х(х + 2з ) = Дх). 1122. уи + у' + у = ( зйс х!. 1128. уо' — у' — у = 5 — 4 соя х' Указание.
Разложение в ряд Фурье правой части уравнения 1123 имеет еид 2 2 "зшпх. 1124. уо — лгчу = 1(х), 1(х) = х(1 — х) при 0 ( х ( 1, У(х+1) - =У(х). о1н 2ях ь=с В задачах 1126 †11 с помощью метода ломаных Эйлера (с итерациями или без них, см.[4), гл. 1, 2 6, 8 7) найти 118 518. Зависимость решения от начальных условий приближенно на указанном отрезке решении данных уравнений с указанными начальными условиями. Вычисления вести с двумя или тремн деснтичкыми знаками после запятой с шагом А = 0,2 или 5 = 0,1. 1126. у' = уз + х,, 0 < х < 1; у(0) = 0,3. 1127. у' = 1+ х.
О < х < 1; у(0) = 1. 1128.у'= — — у, 0<х<1; у(0)=1. 1129.у'=,, 1<х<2: у(1)=0. В задачах 1130 — 1135 с помощью метода Адамса или Штермера (см. (4], гл. 1, у 7) вычислить приближенно решения написанных ниже уравнений на указанном отрезке. Вычисления вести с тремя знаками после запятой. Значения решения в начальных точках вычислить с помощью степенного рида. 1130.у'=у. 0<х<1: у(0)=1.
1131. у'= уз — х, 0 < х < 1; у(0) =0,5. 1132. у'= 1 — х, 0 <х< 1; у(0) =1. 1133. у'= ха — уз, 1 < х. < 2; у(1) = 1. 1134. уи=ху, 0<х< 1; у(0) =1, у(0) =О 1135. хуи+у'+ху=О, 0<х< 1; у(0) =1, у'(О) =О. Задачи 1136 — 1140 можно решить, сравнивая наклон поля направлений (определяемого уравнением у' = Г(х, у)) в точках некоторых кривых у = уо;(х) с наклоном этих кривых. 1136*. Оценить сверху и снизу решение уравнения у' = = 2+ шпх — уз, 0 < х < +со, у(0) = 1. (На плоскости х, у построить полосу сь < у < р', из которой не может выйти это решение.) 1137". Оценить сверху и снизу решение уравнения у' = = 1— + 2х, 0 < х <+со, у(0) = 1. 1138*. Доказать, что решение уравнения у'=х — уз с начальным условием у(4) = 2 удовлетворяет неравенствам исх — 0,07 < у(х) < ч/х прн 4 < х, < со.
119 з 19. Нелинейные сисзпемы 1140*. Оценить сверху н снизу то периодическое решение уравнения р' = 2рг — созг Пх, которое лежит в области р ( О. 9 19. НЕЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ 1. Систему дифференциальных уравнений можно свести путем исключения неизвестных к одному уравнению (иногда к нескольким уравнениям с одной неизвестной функцией в каждом).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
